2023-2024学年江苏省常州市新北区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省常州市新北区八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．下列剪纸图案中，为轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，△ABC≌△DBC，AC＝2，则DC等于（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，直线MN是四边形MANB的对称轴，点P在MN上．则下列结论错误的是（）A．∠ANM＝∠BNM B．∠MAP＝∠MBP C．AM＝BM D．AP＝BN4．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝4，b＝5，c＝65．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（）A．PQ＜5 B．PQ＞5 C．PQ≥5 D．PQ≤56．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点，△ABC的周长为23，ABD的周长为15，则EC的长是（）A．3 B．4 C．6 D．87．如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，并且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的度数是（）A．100° B．110° C．120° D．150°8．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连接CD，则∠BCD的度数是（）A．10° B．120° C．10°或100° D．60°或120°二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9．如图，已知BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为．（答案不唯一，只需填一个）10．如图，已知D是AB上一点，DF交AC于点E，AE＝EC，CF∥AB．若AB＝9cm，CF＝6cm，则BD＝cm．11．等腰三角形的顶角为40°，则其底角为度．12．若一个等腰三角形的周长是20，底边长是8，则等腰三角形的腰长是．13．若n＞1，△ABC三边长分别是n2﹣1，2n，n2+1，则△ABC是三角形．14．如图，已知点D，E分别在AB，AC上，AD＝AE，BD＝CE．若∠BDC＝100°，则∠AEB＝°．15．如图，在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若CD＝2，则AC2+BC2＝．16．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝8，DE＝2．则△BCE的面积等于．17．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE．若点D恰好落在边BC上，且AD＝CD，则∠E＝°．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3．直线BE∥AC，D是BE上一动点．则AD+CD的最小值是．三、解答题（本大题共7小题，第19，20，21，22，23题每小题8分，第24，25题每小题8分，共64分）19．利用网格线画图：（1）在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等；（2）在射线AP上找一点Q，使QB＝QC．20．已知：如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AE∥BF，且AE＝BF．求证：AC＝BD．21．已知：如图，AB＝DC，AC＝DB，AC，DB交于点O，∠AOB与∠OBC有怎样的数量关系？证明你的结论．22．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在BD上，点G在CA的延长线上，且GE∥AD，GE交AB于点F．（1）求证：AG＝AF；（2）连接BG，若BE2+GE2＝BG2，判断△ABC的形状，并说明理由．23．如图，折叠长方形纸片ABCD，使得点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知AB＝DC＝6，AD＝BC＝10．求：（1）CF的长；（2）EC的长．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是边BC的中点，E是边AB上一点，且DE＝DC．（1）用直尺和圆规在边AC上作点F，使得△CDF≌△EDF；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下：①求CF的长；②线段DF与线段AB的数量关系是，位置关系是．25．已知：如图，C是线段AB上一点，直线AM⊥AB，射线CN⊥AB，AC＝3，CB＝2，在直线AM上取一点D，在射线CN上取一点E，连接BD，ED，BE．（1）如图，若△ABD≌△CEB．①判断△BDE的形状，并证明你的结论；②求△BDE的面积；（2）若△ABD与△BDE全等，求CE2的值．

参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．下列剪纸图案中，为轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：选项A、B，C中的剪纸图案都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；选项D中的剪纸图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．所以选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．如图，△ABC≌△DBC，AC＝2，则DC等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据全等三角形的性质解答即可．解：∵△ABC≌△DEC，∴DC＝AC＝2，故选：B．【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应边相等解答．3．如图，直线MN是四边形MANB的对称轴，点P在MN上．则下列结论错误的是（）A．∠ANM＝∠BNM B．∠MAP＝∠MBP C．AM＝BM D．AP＝BN【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论．解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，∴点A与点B对应，∴AM＝BM，AN＝BN，∠ANM＝∠BNM，∵点P是直线MN上的点，∴∠MAP＝∠MBP，∴A，B，C正确，而D错误，故选：D．【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．4．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝4，b＝5，c＝6【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断．解：A、∵c2＝9，a2+b2＝5，∴c2≠a2+b2，故A不能够构成直角三角形，B、∵c2＝16，a2+b2＝13，∴c2≠a2+b2，故B不能够构成直角三角形，C、∵c2＝25，a2+b2＝25，∴c2＝a2+b2，故C能够构成直角三角形，D、∵c2＝36，a2+b2＝41，∴c2≠a2+b2，故D不能够构成直角三角形．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，注意是最长边的平方要等于另外两条边的平方和．5．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（）A．PQ＜5 B．PQ＞5 C．PQ≥5 D．PQ≤5【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答．解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，∴点P到OB的距离为5，∵点Q是OB边上的任意一点，∴PQ≥5．故选：C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．6．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点，△ABC的周长为23，ABD的周长为15，则EC的长是（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】由在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，可得AD＝CD，又由△ABC的周长是23cm，△ABD的周长是15cm，即可求得答案．解：∵在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，∴AD＝CD，∵△ABC的周长是23cm，△ABD的周长是15cm，∴AB+AC+BC＝23cm，AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝15cm，∴AC＝8（cm），∴CE＝AC＝4cm．故选：B．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．7．如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，并且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的度数是（）A．100° B．110° C．120° D．150°【分析】根据等边三角形的性质，得∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP＝∠CAQ＝30°，从而求解．解：∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ．又∵∠BAP+∠ABP＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP，∴∠BAP＝∠CAQ＝30°．∴∠BAC＝120°．故∠BAC的度数是120°．故选：C．【点评】此题主要考查了运用等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连接CD，则∠BCD的度数是（）A．10° B．120° C．10°或100° D．60°或120°【分析】分两种情况画图，由作图可知得AC＝AD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．解：如图，点D即为所求；在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，由作图可知：AC＝AD，∴，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°；由作图可知：AC＝AD'，∴∠ACD'＝∠AD'C，∵∠ACD'+∠AD'C＝∠BAC＝80°，∴∠AD'C＝40°，∴∠BCD'＝180°﹣∠ABC﹣∠AD'C＝180°﹣40°﹣40°＝100°．综上所述：∠BCD的度数是10°或100°．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9．如图，已知BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为AC＝CD．（答案不唯一，只需填一个）【分析】可以添加条件AC＝CD，再由条件∠BCE＝∠ACD，可得∠ACB＝∠DCE，再加上条件CB＝EC，可根据SAS定理证明△ABC≌△DEC．解：添加条件：AC＝CD，∵∠BCE＝∠ACD，∴∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（SAS），故答案为：AC＝CD（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．10．如图，已知D是AB上一点，DF交AC于点E，AE＝EC，CF∥AB．若AB＝9cm，CF＝6cm，则BD＝3cm．【分析】利用全等三角形的性质，这是一般思路．根据ASA证明△AED≌△CEF求解．解：∵AB∥CF，∴∠A＝∠ECF．在△AED与△CEF中，，∴△AED≌△CEF（ASA）．∴AD＝CF＝6cm，∴BD＝AB﹣AD＝9﹣6＝3（cm）．故答案为：3．【点评】本题考查三角形全等的判定方法即平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．11．等腰三角形的顶角为40°，则其底角为70度．【分析】由已知等腰三角形的顶角为40°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．解：由题意，得（180°﹣40°）÷2＝70°故此等腰三角形的底角为70°．故填70．【点评】此题主要考查的是等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．利用等边对等角式解答本题的关键．12．若一个等腰三角形的周长是20，底边长是8，则等腰三角形的腰长是6．【分析】利用等腰三角形的性质进行计算，即可解答．解：∵一个等腰三角形的周长是20，底边长是8，∴等腰三角形的腰长＝＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．13．若n＞1，△ABC三边长分别是n2﹣1，2n，n2+1，则△ABC是直角三角形．【分析】利用较短两边的平方和与较长边的平方比较即可判断三角形的形状．解：∵（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，（n2+1）2＝n4+2n2+1，∴（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，∴△ABC是直角三角形，故答案为：直角．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，掌握利用较短两边的平方和等于较长边的平方即可得到三角形是直角三角形是解题的关键．14．如图，已知点D，E分别在AB，AC上，AD＝AE，BD＝CE．若∠BDC＝100°，则∠AEB＝80°．【分析】由“SAS”可证△ADC≌△AEB，可得∠ADC＝∠AEB＝80°．解：∵∠BDC＝100°，∴∠ADC＝80°，∵AD＝AE，BD＝CE，∴AB＝AC，在△ADC和△AEB中，，∴△ADC≌△AEB（SAS），∴∠ADC＝∠AEB＝80°，故答案为：80．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．15．如图，在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若CD＝2，则AC2+BC2＝16．【分析】根据斜边的中线长求出斜边，根据勾股定理求出AC2+BC2＝AB2，即可求出答案．解：∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，且CD＝2，∴AB＝2CD＝4，∵由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2＝16，故答案为：16．【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上中线性质的应用，解此题的关键是求出斜边长，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．16．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝8，DE＝2．则△BCE的面积等于8．【分析】先作辅助线EF⊥BC交BC于点F，然后根据角平分线的性质，可以得到DE＝EF，再根据三角形的面积公式，即可求得△BCE的面积．解：作EF⊥BC交BC于点F，∵CD是AB边上的高，∴CD⊥BA，∵BE平分∠ABC，∴DE＝EF，∵DE＝2，∴EF＝2，∵BC＝8，∴S△BCE＝＝＝8，故答案为：8．【点评】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是作辅助线EF⊥BC，求出EF的长．17．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE．若点D恰好落在边BC上，且AD＝CD，则∠E＝24°．【分析】由旋转的性质可知AD＝AB，由AD＝DC，推出∠ADB＝∠B，∠C＝∠DAC，设∠C＝x，则∠ADB＝∠C+∠DAC＝2x，利用三角形内角和定理，构建方程求出x即可．解：由旋转的性质可知AD＝AB，∠C＝∠E，∵AD＝DC，∴∠ADB＝∠B，∠C＝∠DAC，设∠C＝x，则∠ADB＝∠B＝∠C+∠DAC＝2x，∵∠C+∠B+∠BAC＝180°，∴3x+108°＝180°，∴x＝24°，∴∠E＝24°．故答案为：24．【点评】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3．直线BE∥AC，D是BE上一动点．则AD+CD的最小值是5．【分析】延长CB到E，使CB＝BE，则E与B关于直线BE对称，连接AE，则当A、D、E共线时，AD+CD＝AE最小，根据勾股定理可得结论．解：∵∠ACB＝90°，BE∥AC，∴CB⊥BE，延长CB到E，使CB＝BE，则E与B关于直线BE对称，连接AE，交BE于E，此时CD＝DE，则AD+CD＝AD+DE＝AE，AD+CD的值最小Rt△ACE中，AC＝3，CE＝4，∴AE＝＝5，∴AD+CD的最小值是5，故答案为：5．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行线的性质，勾股定理，明确两点之间线段最短是解题的关键，并利用了数形结合的思想．三、解答题（本大题共7小题，第19，20，21，22，23题每小题8分，第24，25题每小题8分，共64分）19．利用网格线画图：（1）在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等；（2）在射线AP上找一点Q，使QB＝QC．【分析】（1）作∠CAB的角平分线AT交BC于点P，点P即为所求．（2）作线段BC的垂直平分线交AT于点Q，点Q即为所求．解：（1）如图，点P即为所求．（2）如图，点Q即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质．20．已知：如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AE∥BF，且AE＝BF．求证：AC＝BD．【分析】根据垂直的定义得到∠ADE＝∠BCF＝90°根据平行线的性质得到∠A＝∠B，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：∵ED⊥AB，FC⊥AB，∴∠ADE＝∠BCF＝90°，∵AE‖BF，∴∠A＝∠B，在△ADE与△BCF中，，∴△ADE≌△BCF，∴AD＝BC，∴AC＝BD．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解此题的关键是推出△AED≌△BFC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．21．已知：如图，AB＝DC，AC＝DB，AC，DB交于点O，∠AOB与∠OBC有怎样的数量关系？证明你的结论．【分析】结论：∠AOB＝2∠OBC．证明△ABC≌△DCB（SSS），推出∠ACB＝∠DBC，可得结论．解：结论：∠AOB＝2∠OBC．理由：在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠ACB＝∠DBC，∵∠AOB＝∠OBC+∠OCB，∴∠AOB＝2∠OBC．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．22．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在BD上，点G在CA的延长线上，且GE∥AD，GE交AB于点F．（1）求证：AG＝AF；（2）连接BG，若BE2+GE2＝BG2，判断△ABC的形状，并说明理由．【分析】（1）由角平分线定义得到∠BAD＝∠CAD，由平行线的性质推出∠G＝∠CAD，∠AFG＝∠BAD，因此∠G＝∠AFG，即可证明AG＝AF；（2）由勾股定理的逆定理推出∠BEG＝90°，由平行线的性质推出∠ADB＝∠BEG＝90°，求出∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，得到∠ADB＝∠ADC，又∠BAD＝∠CAD，由三角形内角和定理推出∠ABC＝∠C，因此AB＝AC．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵GE∥AD，∴∠G＝∠CAD，∠AFG＝∠BAD，∴∠G＝∠AFG，∴AG＝AF；（2）解：△ABC是等腰三角形，理由如下：∵BE2+GE2＝BG2，∴∠BEG＝90°，∵AD∥GE，∴∠ADB＝∠BEG＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠ADC，∵∠BAD＝∠CAD，∴∠ABC＝∠C，∴AB＝AC．【点评】本题考查平行线的性质，角平分线定义，等腰三角形的判定，勾股定理的逆定理，关键是由平行线的性质，角平分线定义推出∠G＝∠AFG；由勾股定理的逆定理推出∠BEG＝90°．23．如图，折叠长方形纸片ABCD，使得点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知AB＝DC＝6，AD＝BC＝10．求：（1）CF的长；（2）EC的长．【分析】（1）由矩形的性质得∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质得AF＝AD＝10，FE＝DE＝6﹣EC，根据勾股定理得求得BF的长为8，则CF的长为2；（2）在Rt△CEF中，由CF2+EC2＝FE2，得22+EC2＝（6﹣EC）2，求得EC即可．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质得AF＝AD＝10，FE＝DE＝6﹣EC，∴BF＝＝8，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，即CF的长为2；（2）在Rt△CEF中，由勾股定理得CF2+EC2＝FE2，∴22+EC2＝（6﹣EC）2，解得EC＝，∴EC的长是．【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明FE＝DE＝6﹣EC并且求得CF＝2是解题的关键．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是边BC的中点，E是边AB上一点，且DE＝DC．（1）用直尺和圆规在边AC上作点F，使得△CDF≌△EDF；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下：①求CF的长；②线段DF与线段AB的数量关系是DF＝AB，位置关系是平行．【分析】（1）作∠CDE的平分线交AC于F，则∠CDF＝∠EDF，加上DE＝DC，DF为公共边，则根据“SAS”可判断△CDF≌△EDF，从而可确定F点满足条件；（2）①证明