中考数学几何模型重点突破讲练：专题08 三角形中的倍长中线模型（学生版）

专题08三角形中的倍长中线模型【模型1】如图，已知AD是的边BC的中线，延长AD至点E，使得AD=DE，连接BE，结合BD=CD，，可证得≌。【模型2】如图，已知点D是的边BC上的中点，点E是边AC上的一点，连接ED并延长ED至点P，使得ED=DP。结合BD=CD，，可证得≌。【例1】如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4【例2】如图，中，，，，为边的中点，则______．【例3】（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______；（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF．一、单选题1．如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（）A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤82．在中，，中线，则边的取值范围（

）A． B． C． D．3．如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（

）．A．2 B． C． D．34．如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为A． B． C． D．以上都有可能5．在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（

）A． B． C． D．6．如图，在中，，是中线，是角平分线，点是上任意一点（不与，重合），连接、．给出以下结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（

）A．个 B．个 C．个 D．个二、填空题7．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是________．8．在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EF⊥AE，若点F在BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）9．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝__．10．在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB＝3cm，AC＝5cm，则AD的取值范围是_______．11．如图，在正方形中，分别是、边上的点，将四边形沿直线翻折，使得点、分别落在点、处，且点恰好为线段的中点，交于点，作于点，交于点．若，则________．12．如图，为AD上的中点，则BE＝______．三、解答题13．如图，为中边上的中线．（1）求证：；（2）若，，求的取值范围．14．如图，已知，点是的中点，且，求证：．15．如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝．（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝，求OB的长；（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．16．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC．【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．17．如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．①请证明△CED≌△ABD；②中线BD的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．18．（1）如图1，已知中，AD是中线，求证：；（2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：；（3）如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：．19．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图1，延长AD到E点，使，连接BE．根据______可以判定______，得出______．这样就能把线段AB、AC、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是．【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法．【问题解决】（2）如图2，在中，，D是BC边的中点，，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：．【问题拓展】（3）如图3，中，，，AD是的中线，，，且．直接写出AE的长＝______．20．在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM＝BM，点D是线段AM上一动点．（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MD＝MC，连接AC，若BD＝17，求AC的长；（2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．（3）如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE，AE＝EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）21．已知：等腰和等腰中，，，．（1）如图1，延长交于点，若，则的度数为；（2）如图2，连接、，延长交于点，若，求证：点为中点；（3）如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，直接写出的面积．22．（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是；（2）推广应用：应用旋转全等的方