新高考数学二轮复习圆锥曲线专题突破提升练习第11讲 坐标法秒解离心率问题（解析版）

第11讲坐标法秒解离心率问题参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．已知椭圆SKIPIF1<0左右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线交椭圆于点SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，已知椭圆的离心率为SKIPIF1<0，则双曲线的离心率SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：椭圆SKIPIF1<0左右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，椭圆的离心率为SKIPIF1<0，不妨令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以椭圆方程为：SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线交椭圆于点SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，可设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，双曲线的离心率为：SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．2．双曲线SKIPIF1<0的中心在坐标原点SKIPIF1<0，右顶点SKIPIF1<0，虚轴的上端点SKIPIF1<0，虚轴下端点SKIPIF1<0，左右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0点，若SKIPIF1<0为锐角，则双曲线SKIPIF1<0的离心率的取值范围为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：设双曲线的方程为SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立方程组，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为锐角，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．3．双曲线SKIPIF1<0的中心在坐标原点SKIPIF1<0，右顶点SKIPIF1<0，虚轴的上端点SKIPIF1<0，虚轴下端点SKIPIF1<0，左右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0点，若SKIPIF1<0为钝角，则双曲线SKIPIF1<0的离心率的取值范围为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解答】设双曲线的方程为SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立方程组，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是钝角，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．4．已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，SKIPIF1<0为该椭圆的右顶点，过SKIPIF1<0作垂直于SKIPIF1<0轴的直线与椭圆交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方），若SKIPIF1<0，则椭圆的离心率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由对称性可知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0△SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．5．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，直线SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴且过SKIPIF1<0的右焦点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：如图，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．直线SKIPIF1<0方程：SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故选：SKIPIF1<0．6．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，SKIPIF1<0为椭圆上一点，且SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴．若SKIPIF1<0，则该椭圆的离心率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆上一点，且SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴．若SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．7．如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的右焦点，直线SKIPIF1<0与椭圆交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，则该椭圆的离心率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：设右焦点SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入椭圆方程可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，化简为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．8．如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆上一点（在SKIPIF1<0轴上方），连结SKIPIF1<0并延长交椭圆于另一点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：设椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入椭圆方程可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．9．如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的四个顶点，SKIPIF1<0为其右焦点，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0与椭圆的交点SKIPIF1<0恰为线段SKIPIF1<0的中点，则该椭圆的离心率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：对椭圆进行压缩变换，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，椭圆变为单位圆：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．延长SKIPIF1<0交圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0易知直线SKIPIF1<0斜率为1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由割线定理：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（负值舍去）SKIPIF1<0易知：SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0方程：SKIPIF1<0令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0横坐标即原椭圆的离心率SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．10．平面直角坐标系SKIPIF1<0中，双曲线SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（不同于SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0取最大值时双曲线的离心率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【解答】解：SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆的方程为SKIPIF1<0，双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，代入圆的方程可得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，取得等号．则双曲线的离心率为SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．11．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，设双曲线SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴正半轴上，半径为双曲线的实轴长SKIPIF1<0，若圆SKIPIF1<0与双曲线的两渐近线均相切，且直线SKIPIF1<0与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：设圆心SKIPIF1<0，双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0与双曲线的一条渐近线SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则圆心坐标SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圆SKIPIF1<0与双曲线的两渐近线均相切，SKIPIF1<0圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0即SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．12．设直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0两条渐近线分别交于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：双曲线SKIPIF1<0两条渐近线分别为：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可求SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的中点是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0的斜率是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的斜率是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以该双曲线的离心率是SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．13．设直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线分别交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为SKIPIF1<0，分别与SKIPIF1<0联立，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．14．设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，与双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线分别交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，则该双曲线的离心率是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【解答】解：双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．15．设SKIPIF1<0，已知直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线分别交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【解答】解：由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．16．已知双曲线SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，双曲线渐近线上存在一点SKIPIF1<0，使得顺次连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0构成平行四边形，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【解答】解：由双曲线方程知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，渐近线方程为SKIPIF1<0；①若点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，可设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0顺次连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0构成平行四边形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不合题意；②若点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，可设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0顺次连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0构成平行四边形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；综上所述：双曲线的离心率SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．17．已知双曲线SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为双曲线渐近线上一点，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【解答】解：联立SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以双曲线SKIPIF1<0的离心率为2．故选：SKIPIF1<0．18．已知双曲线SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【解答】解：SKIPIF1<0双曲线的左顶点为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．二．填空题（共7小题）19．设直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线分别交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率是SKIPIF1<0．【解答】解：双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线方程为SKIPIF1<0，则与直线SKIPIF1<0联立，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．20．已知双曲线SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，双曲线的渐近线上存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0顺次连接构成平行四边形，则双曲线SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<02．【解答】解：由双曲线的方程可得SKIPIF1<0，设双曲线的半焦距为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，由平行四边形SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在渐近线SKIPIF1<0上，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0联立，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：2．21．已知双曲线SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为圆心的圆与双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线相切于第一象限内的一点SKIPIF1<0．若直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0．【解答】解：由题意可知SKIPIF1<0，经过第一象限的渐近线方程为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且与渐近线垂直的直线相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．22．设SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的右焦点，SKIPIF1<0为坐标原点，以SKIPIF1<0为直径的圆与双曲线SKIPIF1<0的其中一条渐近线交于点SKIPIF1<0（不同于SKIPIF1<0，若双曲线SKIPIF1<0右支上存在点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0．【解答】解：如图所示：双曲线对称性，设渐近线的方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，右焦点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0到渐近线的距离SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以可求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则可得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入双曲线SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．23．设SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的右焦点，SKIPIF1<0为坐标原点，以SKIPIF1<0为直径的圆与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若