专训13.1.1 线段垂直平分线的性质+判定-简单数学之2021-2022学年八年级上册考点专训（解析版）（人教版）

专训13.1.1线段垂直平分线的性质+判定一、单选题1．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为，，则的周长为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，即可得到、的周长为，即可求解．【详解】解：∵DE为BC的垂直平分线，∴，，∵的周长为，，∴，∴的周长为，故选：B．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的定义与性质是解题的关键．2．如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（）A．10.5 B．12 C．15 D．18【答案】C【分析】由垂直平分线的性质可得DC=BD，再计算△ACD周长即可．【详解】解：∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，∴BD=DC∴AB=AD+BD=AD+DC=9∵AC=6∴△ACD的周长=AD+DC+AC=9+6=15故选：C【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．3．如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，则△ABD的周长为（）A．8 B．11 C．16 D．17【答案】B【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴，∴的周长，故选：B．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线性质，并将周长转化成已知边得长度是解题的关键．4．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为F、G．若BG＝4，AC＝5，则△ABC的周长是（）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【分析】连接AD、DC．证明Rt△DGA≌Rt△DFC（HL），Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），得出AG=CF，BG=BF．则可求出答案．【详解】解：连接AD、DC．∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC，∴DG=DF．∵D在AC的中垂线上，∴DA=DC．在Rt△DGA与Rt△DFC中，∵DG=DF，DA=DC，∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）．∴AG=CF，∵DG=DF，BD=BD，∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL）．∴BG=BF．又∵AG=CF，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=BG-AG+BF+FC+AC=2BG+AC=2×4+5=13，故选B．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（）A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④【答案】B【分析】证明△BDF≌△ADC，可判断①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延长CF交AB于H，证明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判断③；根据①可以得到E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④．【详解】解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，∠ABC=45°，∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，而∠ADB=∠ADC=90°，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴BF=AC，FD=CD，故①正确，∵∠FDC=90°，∴∠DFC=∠FCD=45°，∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，∴∠FCD≠∠DAC，故②错误；延长CF交AB于H，∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，∴CH⊥AB，即CF⊥AB，故③正确；∵BF=2EC，BF=AC，∴AC=2EC，∴AE=EC=AC，∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，BA=BC，∴△FDC的周长=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，即△FDC的周长等于AB，故④正确，综上：①③④正确，故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．＜6．如图，已知，求作一点P，使P到的两边的距离相等，且、下列确定P点的方法正确的是（）A．P为两角平分线的交点 B．P为两边上的高的交点C．P为两边的垂直平分线的交点 D．P为的角平分线与的垂直平分线的交点【答案】D【分析】首先根据P到∠A的两边的距离相等，应用角平分线的性质，可得P为∠A的角平分线；然后根据PA=PB，应用线段垂直平分线的性质，可得P为AB的垂直平分线，所以P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点，据此判断即可．【详解】解：∵P到∠A的两边的距离相等，∴P为∠A的角平分线；∵PA=PB，∴P为AB的垂直平分线，∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．故选：D．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质的应用，以及线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握．7．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，，PGAD交BC于F，交AB于G，①；②S△PAC：S△PAB＝PC：PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中正确的有（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③【答案】B【分析】利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行一一判断，从而求解．【详解】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，∴∠PAB=∠CAB，∠PBE=∠CBE，∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，∠PBE=∠PAB+∠APB，∴∠ACB=2∠APB；故①正确；过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，∴PM=PN=PS，∴PC平分∠BCD，∵S△PAC：S△PAB=（AC•PN）：（AB•PM）=AC：AB；故②不正确；∵BE=BC，BP平分∠CBE∴BP垂直平分CE，故③正确；∵PG∥AD，∴∠FPC=∠DCP∵PC平分∠DCB，∴∠DCP=∠PCF，∴∠PCF=∠CPF，故④正确．本题正确的有：①③④故选：B．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等．8．到三角形三个顶点距离相等的点是（）的交点．A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条高的交点C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条角平分线的交点【答案】A【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等即可判断．【详解】解：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，故选：Ａ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是：掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．9．下列说法错误的是（）A．，是线段的垂直平分线上的两点，则，B．若，，则直线是线段的垂直平分线C．若，则点在线段的垂直平分线上D．若，则过点的直线是线段的垂直平分线【答案】D【分析】根据垂直平分线的性质和判定逐项判断即可．【详解】解:、是线段的垂直平分线上的点，，．故正确，不符合题意；、若，在的垂直平分线上．同理在的垂直平分线上．直线是线段的垂直平分线．故正确，不符合题意；、若，则点在线段的垂直平分线上，故正确，不符合题意；、若，则点在线段的垂直平分线上．但过点的直线有无数条，不能确定过点的直线是线段的垂直平分线．故错误，符合题意．故选：．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与判定，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质与判定，准确进行推理判断．10．如图，在中，，平分，，，、为垂足，则下列四个结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由题意易得，然后可判定①，进而可证，最后可求解问题．【详解】解：∵平分，，，∴，，∴，故①正确；∵AD=AD，∴（HL），∴，故②正确；∴垂直平分，故③正确；由已知及①②③的结论无法得出垂直平分，故④错误；∴正确的个数有3个；故选C．【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定、等腰三角形的判定及线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握直角三角形全等的判定、等腰三角形的判定及线段垂直平分线的判定定理是解题的关键．11．给出下面两个命题：①如图1，若，，则垂直平分；②如图2，若点到，的距离，相等，则平分．其中真命题是（）A．① B．② C．①② D．无【答案】C【分析】①根据线段垂直平分线的判定定理，可得P在AB的垂直平分线上，Q在AB的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，即可知PQ垂直平分AB；②由点P到OA，OB的垂线段PC，PD相等，利用HL可证得Rt△PCO≌Rt△PDO，即可得OP平分∠AOB．【详解】解：①∵PA=PB，QA=QB，∴P在AB的垂直平分线上，Q在AB的垂直平分线上，∴PQ垂直平分AB；②∵点P到OA，OB的垂线段PC，PD相等，∴∠PCO=∠PDO=90°，PC=PD，在Rt△PCO与Rt△PDO中，，∴Rt△PCO≌Rt△PDO(HL)，∴∠POC=∠POD，即OP平分∠AOB．故选：C．【点睛】此题考查了角平分线与线段垂直平分线的判定．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．12．如图，，，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④【答案】B【分析】先通过“SSS”判定两三角形全等，再利用线段垂直平分线的判定和性质即可得到正确结论．【详解】解：在和中，，，故①正确；，，垂直平分，，，故②③正确；由已知和图形无法判断，故④错误；故选：．【点睛】该题考查了全等三角形的判定和线段的垂直平分线的判定与性质，解决本题的关键是牢记相关概念，该题较基础，考查了学生对教材基础知识的理解与应用，以及学生的推理分析的能力．13．下列说法中，不正确的有（）①不在角的平分线上的点到这个角的两边的距离不相等；②三角形两内角的平分线的交点到各边的距离相等；③到三角形三边距离相等的点有1个④线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等，⑤到三角形三个顶点距离相等的点有1个A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质逐一进行判断即可．【详解】①根据角平分线的判定可知①正确；②根据角平分线的性质可知②正确；③缺乏前提条件：在三角形内部，若不限制条件，到三角形三边距离相等的点有4个，故③错误；④根据垂直平分线的性质可知④正确；⑤缺乏前提条件：在平面内，若不在平面内到三角形三个顶点距离相等的点有无数个，故⑤错误，∴错误的有2个，故选：C．【点睛】本题主要考查角平分线的性质和判定及垂直平分线的性质，掌握角平分线的性质和垂直平分线的性质是解题的关键．14．如图，若记北京为地，莫斯科为地，雅典为地．若想建立一个货物中转仓，使其到、、三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（）A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点【答案】A【分析】依题意，对实际问题进行数学模型化处理，需要寻找一个点，到三点的距离相等；结合三角形垂直平分线的性质，即可求解．【详解】由题，对建立货物中转仓到A、B、C三地距离相等；进行数学模型转换为：在△ABC中找一点到三点距离相等；依据三角形垂直平分线的性质，可知，三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个点的距离相等；∴中转仓位于三边垂直平分线的交点；故选A．【点睛】本题考查三角形垂直平分线、角平分线、高线、中线的性质，重点在于掌握实际问题的数学模型化．15．如图，在中，已知点D在上，且，则点D在（）A．的垂直平分线上 B．的平分线上C．的中点 D．的垂直平分线上【答案】A【分析】因为，，所以，点在的垂直平分线上，据此作答．【详解】解：∵，，，∴点在的垂直平分线上，故选：A．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，正确理解线段垂直平分线的判定定理是解此题的关键．二、填空题16．如图，在中，DE垂直平分BC交AB于点E，若，的周长为31，则的周长为_________．【答案】21【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB=EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵DE是BC的垂直平分线，BD=5，∴EB=EC，BC=2BD=10，∵△ABC的周长为31，∴AB+AC+BC=31，∴AB+AC=21，∴△ACE的周长=AC+AE+EC=AC+AE+EB=AB+AC=21，故答案为：21．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得出EB=EC是解题的关键．17．如图，在中，，AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，则的周长等于________．【答案】【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得：，再根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：由的中垂线交于，的中垂线交于，，则的周长，故答案是：．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是：掌握线段的垂直平分线的性质，再利用等量代换计算即可．18．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是___．【答案】【分析】根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到，进而得出和的数量关系．【详解】解：平分，平分，，，，即；如图，连接．点是这个三角形三边垂直平分线的交点，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．19．如图，在中，，分别作，两边的垂直平分线、，垂足分别是点、．以下说法正确的是______（填序号）．①；②；③；④点到点和点的距离相等．【答案】①②④【分析】根据垂直的定义、四边形内角和等于360°计算，判断①；根据线段垂直平分线的性质得到EC=EA，FB=FA，进而得到∠EAC=∠C，∠FAB=∠B，经过计算判断②；根据等腰三角形的性质判断③，根据线段垂直平分线的性质判断④．【详解】解：∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴∠PMA=∠PNA=90°，∠BAC=120°∴∠P=360°-90°-90°-120°=60°，①说法正确；∵∠BAC=120°，∴∠B+∠C=180°-120°=60°，∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴EC=EA，FB=FA，∴∠EAC=∠C，∠FAB=∠B，∴∠EAF=∠BAC-∠EAC-∠FAB=∠BAC-（∠B+∠C）=120°-60°=60°，∴∠EAF=∠B+∠C，②说法正确；△ABC不一定是等腰三角形，∴PE与PF的大小无法确定，③说法错误；连接PC、PA、PB，∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴PC=PA，PB=PA，∴PB=PC，即点P到点B和点C的距离相等，④说法正确，故答案为：①②④．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．20．“又是一年三月三，风筝飞满天”．如图是一个燕子形风筝的图案，已知它是轴对称图形，对称轴为，则的度数为__，与的数量关系为__．【答案】【分析】根据轴对称图形的性质解题．【详解】对称轴为，与是对应点，是的垂直平分线，，，的度数，与的数量关系为，故答案为：；．【点睛】本题考查轴对称图形的性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．21．已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则下列作法正确的是________．①作∠APB的平分线PC交AB于点C②过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC③取AB中点C，连接PC④过点P作PC⊥AB，垂足为C【答案】①③④【分析】利用判断三角形全等的方法判断四个选项是否成立即可．【详解】解：①利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，故正确；②过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，故错误；③利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，故正确；④利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，故正确；故答案为：①③④．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．22．已知：如图，点在线段外，且，求证：点在线段的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则下列作法正确的是________．①作的平分线交于点②过点作于点且③取中点，连接④过点作，垂足为【答案】①③④【分析】利用判断三角形全等的方法判断四个选项是否成立即可．【详解】解：①、利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，故正确；②、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，故错误；③、利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，故正确；④、利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，故正确；故答案为：①③④．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．23．如图，△ABC中∠BAC＝60°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，连接C′D与C′C，∠ACB的角平分线交AD于点E；如果BC′＝DC′；那么下列结论：①∠1＝∠2；②AD垂直平分C′C；③∠B＝3∠BCC′；④DC∥EC；其中正确的是：________；(只填写序号)【答案】①②④【分析】根据折叠的全等性质,垂直平分线的性质,平行线的判定定理,外角的性质等判断即可【详解】解：如图，∵△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，∴∠1=∠2，A=AC，DC=D，∴AD垂直平分C′C；∴①，②都正确；∵B＝D，DC=D，∴B＝D=DC，∴∠3=∠B，∠4=∠5，∴∠3=∠4+∠5=2∠5即∠B＝2∠BC；∴③错误；根据折叠的性质，得∠ACD=∠AD=∠B+∠3=2∠3，∵∠ACB的角平分线交AD于点E，∴2（∠6+∠5）=2∠B，∴∴D∥EC∴④正确；故答案为：①②④.【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，外角的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各种基本性质是解题的关键.三、解答题24．如图，在中，，，求证：是直角三角形．【答案】证明见解析．【分析】可作线段的垂直平分线，垂足为，且与相交于点，如图所示，再利用全等三角形的性质即可求解．【详解】证明：如图，作线段的垂直平分线，垂足为，且与相交于点，

∵ED垂直平分AB，∴EA=EB，ED=ED，AD=BD，∴（SSS）．∴，．∵，，∴．在和中，，，，∴（SAS）．∴．∵，∴，故是直角三角形．【点睛】本题考查了直角三角形的判定与性质以及三角形全等的判定与性质，关键在于作出辅助线，借助垂直平分线的性质进行证明．25．如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，于，的延长线于．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到，根据证明，即可解答；（2）由证明，得出，证出，即可解答.【详解】（1）证明：连接，，如图所示：∵是的平分线，，，∴.∵垂直平分线，∴.在和中，∴（HL），∴.（2）解：由（1）得，.在和中，∴（HL），∴.∵，，∴，∴，∴.【点睛】本题考查了平分线的性质和线段垂直平分线的性质，证明直角三角形全等，运用角平分线的性质是解题的关键．26．（1）如图，已知为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点．使．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在上图中，如果，则的周长是_______．【答案】（1）见解析；（2）9．【分析】（1）直接根据垂直平分线-尺规作图方法作图即可；（2）根据（1）中可知，即可求得的周长．【详解】（1）作法：如图所示，①连接（用虚线），②作的垂直平分线交于，③标出点即为所求，（2）∵，∴，∴的周长＝9．【点睛】本题主要考查垂直平分线的做法－尺规作图，熟知垂直平分线的性质是解题的关键．27．如图，，，点在线段的垂直平分线上，点在线段上．求证：．【答案】见解析．【分析】根据，点在线段的垂直平分线上，可证得，利用可证得，可得．【详解】证明：，．∵点在线段的垂直平分线上，．在与中，，．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键．28．下面是小明设计的“三角形一边上的高”的尺规作图：已知：求作：的边上的高作法：（1）分别以和为圆心，，为半径作弧，两弧相交于点，（2）作直线交于点所以，线段就是所求作的高根据小明的作法解决下面问题：（1）利用直尺和圆规补全图形（要求保留作图痕迹）（2）小明给出作图设计的理由如下：连接，点在线段的垂直平分线上（依据1）同理可证：点也在线段的垂直平分线上垂直平分（依据2）线段是的边上的高．上面说理过程中的“依据1”，“依据2”分别指什么？【答案】（1）见解析；（2）上面说理过程中的“依据1”，“依据2”分别指：与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．【分析】（1）利用几何语言画出对应的几何图形；（2）利用作法得到BA=BE，CA=CE，则根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理得到点B、点C在线段AE的垂直平分线上，从而得到BC垂直平分AE．【详解】解：（1）如图，AD为所作；（2）证明：连接BE，CE．∵BA=BE∴点B在线段AE的垂直平分线上（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）同理可证，点C也在线段AE的垂直平分线上∴BC垂直平分AE（两点确定一条直线）∴AD是△ABC的高．上面说理过程中的“依据1”，“依据2”分别指：与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．【点睛】本题考查了作图-基本作图和线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握基本作图，灵活运用垂直平分线的性质是解题关键．29．如图，中，边的垂直平分线交于点P．（1）求证：．（2）点P是否也在边的垂直平分线上？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）在，理由见解析【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可求得，PA=PB，PB=PC，则PA=PB=PC．（2）根据线段的垂直平分线的性质的逆定理，可得点P在边AC的垂直平分线上．【详解】解：（1）证明：∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC．∴PA=PB=PC．（2）∵PA=PC，∴点P在边AC的垂直平分线上．【点睛】此题主要考查线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．30．如图，，，求证：．【答案】见解析【分析】根据线段垂直平分线的判定可得到点A、P分别在BC的垂直平分线上，可证得结论．【详解】证明：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上，∵PB=PC，∴点P在线段BC的垂直平分线上，∴直线AP是线段BC的垂直平分线，∴BD=CD．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的判定和性质，掌握到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．31．如图，在和中，，，与的延长线交于点．（1）求证：；（2）求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）证明△ABC≌△ABD，即可证明BC=BD；（2）根据△ABC≌△ABD得到AC=AD，BC=BD，从而证明AB垂直平分CD，可得AE⊥CD．【详解】解：（1）在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（AAS），∴BC=BD；（2）∵△ABC≌△ABD，∴AC=AD，BC=BD，∴AB垂直平分CD，∵点E在AB延长线上，∴AE垂直平分CD，∴AE⊥CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，解题的关键是证明△ABC≌△ABD，得到垂直平分线的判定条件．32．如图，是的角平分线，，垂足分别是连接与相交于点G．（1）求证：是的垂直平分线；（2）若，求的面积．【答案】（1）见解答；（2）8【分析】（1）先根据角平分线的性质得到DE=DF，则证明Rt△ADE≌Rt△ADF得到AE=AF，然后根据线段垂直平分线的判定定理得到结论；（2）先得到DF=DE=2，然后根据三角形面积公式计算．【详解】解：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵AD=AD，DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE=AF，∴AD是EF的垂直平分线；（2）∵DF=DE=2，∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=×2×3+×2×5=8．【点睛】本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的判定，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学定理证明三角形全等．33．已知，如图在中，OM．ON分别是AB、BC边的垂直平分线．（1）求证：；（2）点O是否在AC边的垂直平分线上？请说明理由．（3）由上述结论你能总结出一个新的结论吗？【答案】（1）见解析；（2）点O在AC边的垂直平分线上，理由见解析；（3）三角形三边的垂直平分线相交于一点【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等解答即可；（2）根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上解答即可；（3）由（2）结合题干可得出结论．【详解】解：（1）∵OM，ON分别是AB、BC边的垂直平分线，∴OA=OB，OB=OC，∴；（2）由（1）得：OA=OC，∴点O在AC边的垂直平分线上；（3）由（2）结合题干可得：三角形三边的垂直平分线相交于一点．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质和判定，熟练掌握性质是解答本题的关键．34．如图，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，BE、CD交于F．（1）求证：BE＝CD；（2）连接CE，若BE＝CE，求证：从“①DE⊥AC”、“②DE∥AB”中选择一个填入（2）中，并完成证明【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据“SAS”证