高考复习2数学课件

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系

如果两条直线没有公共点，则这两条直线为异面直线.此说法正确吗？提示:不正确.如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面.1.下列命题正确的个数为（）①经过三点确定一个平面②梯形可以确定一个平面③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.（A）0（B）1（C）2（D）3【解析】选C.经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确；命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确.2.三条两两平行的直线可以确定平面的个数为（）（A）0（B）1（C）0或1（D）1或3【解析】选D.三条两两平行的直线可以在同一平面内，若不在同一平面内就可以确定三个平面.3.若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c是（）（A）异面直线（B）平行直线（C）相交直线（D）以上三种情况都有可能【解析】选D.把直线放在正方体内可知a与c可以异面、平行或相交.4.两个不重合的平面可以把空间分成______部分.【解析】当两个平面平行时，把空间分成三部分，当两个平面相交时，把空间分成四部分.答案:3或45.已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断：①MN≥(AC+BD)；②MN>(AC+BD)；③MN=(AC+BD)；④MN<(AC+BD).其中正确的是_____.【解析】如图，取BC的中点O，连接MO、NO，则OM=AC，ON=BD，在△MON中，MN<OM+ON=(AC+BD).∴④正确.答案:④1.关于3个公理的作用（1）公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内.（2）公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件.（3）公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线.2.平面内的结论推广到空间后的几种情况（1）平面内的一些结论推广到空间后不成立，如：在平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，推广到空间不成立，在空间垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面.（2）平面内的一些结论推广到空间后还成立，如：在平面内平行于同一条直线的两条直线互相平行，推广到空间依然成立.3.点、线、面的位置关系的符号表示（1）点A在直线l上，也在平面α内：A∈l,A∈α.（2）点A不在α内：A

α.（3）直线l在平面α内：l

α.（4）直线l不在平面α内：l

α.（5）直线l与平面α交于点A：l∩α=A.（6）平面α与β交于直线l：α∩β=l.∉

⊂

⊄

4.关于公理2的几个推论（1）经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面.（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面.【例1】（2011·台州模拟）以下四个命题中①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是（）（A）0（B）1（C）2（D）31平面的基本性质【审题指导】根据确定平面的公理及推论进行判断.【自主解答】选B.①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.【规律方法】判断由所给元素(点或直线)确定平面时，关键是分析所给元素是否具有确定惟一平面的条件，如不具备，则一定不能确定一个平面.【变式训练】(2011·合肥模拟)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（）（A）3（B）4（C）5（D）6【解析】选C.根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件.故选C.【例2】（2011·银川模拟）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）求A1C1与B1C所成角的大小；（2）若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.【审题指导】充分利用正方体中的平行关系，转化成两相交直线所成的角.异面直线所成的角2【自主解答】(1)如图，连接AC、AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.由AB1=AC=B1C可知∠B1CA=60°,即A1C1与B1C所成角为60°.（2）如图，连接AC、BD，由AA1∥CC1，且AA1=CC1可知A1ACC1是平行四边形，∴AC∥A1C1.∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD,∴EF⊥AC,即所求角为90°.【规律方法】求异面直线所成角是常考题型.求解时需将异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的锐角或直角，这一过程一般是通过平行转移或补形来实现的，并且尽量以平移为主，有些问题表面上看来虽然是成角问题，但实质上是垂直问题.异面直线所成角的范围是也应引起我们的注意.【互动探究】求本例图中A1C1与AB、BC与C1D1所成角的大小.【解析】∵AB∥A1B1，∴∠C1A1B1是A1C1与AB所成的角.又∵∠C1A1B1=45°，∴A1C1与AB所成的角为45°.∵D1C1∥DC,∴∠BCD是BC与C1D1所成的角.又∵∠BCD=90°,∴BC与C1D1所成的角为90°.【变式训练】如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）（A）（B）（C）（D）【解析】选D.设AB=1，则AA1=2.连接D1C，则A1B∥D1C，连接AC,∴∠AD1C就是异面直线A1B与AD1所成的角.在△D1AC中，D1A=，D1C=，AC=，∴cos∠AD1C===.【例3】如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.（1）求证：E、F、G、H四点共面；（2）设EG与FH交于点P.求证：P、A、C三点共线.三点共线、四点共面问题3【审题指导】利用题目中的中点及比例关系推出平行，利用两平行线确定一个平面证明四点共面；证明三点共线就是证明三点同时在两个平面内.【自主解答】(1)∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD.在△BCD中，==,∴GH∥BD.∴EF∥GH.∴E、F、G、H四点共面.(2)∵EG∩FH=P,P∈EG,EG

平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P为平面ABC与平面ADC的公共点.又平面ABC∩平面ADC=AC，∴P∈AC,∴P、A、C三点共线.【规律方法】1.证明四点共面的基本思路有：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可.2.要证明点共线或线共点的问题,关键是转化为证明点在直线上,也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上.或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上.【变式训练】已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1、C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：（1）D、B、F、E四点共面；（2）若A1C交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线.【证明】(1)如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面.（2）在正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点，所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R，所以R∈A1C,R∈α且R∈β，则R∈PQ，故P、Q、R三点共线.【例】如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1，CG∶GD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于点H.（1）求AH∶HD；（2）求证：EH、FG、BD三线共点.三线共点问题【审题指导】（1）利用比例关系得平行，利用平行线分线段成比例定理得结论；（2）只需证明直线EH与FG的交点在直线BD上即可.【规范解答】（1）∵==2,∴EF∥AC,∴EF∥平面ACD，而EF平面EFGH，平面EFGH∩平面ACD=GH，∴EF∥GH，∴AC∥GH.∴==3.∴AH∶HD=3∶1.(2)∵EF∥GH，且=，=，∴EF≠GH,∴EFGH为梯形.令EH∩FG=P,则P∈EH,而EH

平面ABD,又P∈FG,FG

平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.【规律方法】证明三线交于一点常用的方法：（1）证明其中两线的交点在第三条直线上.将直线归为两平面的交线，交点归为两平面的公共点，由公理3证明点在直线上.（2）证明直线a与b的交点和b与c的交点重合.【变式备选】在空间四边形ABCD中，E、G分别是BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3，求证：EF、GH、BD交于一点.【证明】如图，连接EG、HF.∵E、G分别是BC、AB的中点，∴GE∥AC.又∵DF∶FC=2∶3,DH∶HA=2∶3,∴HF∥AC,∴GE∥HF.故G、E、F、H四点共面.又∵EF与GH不平行，∴设EF∩GH=O,由O∈平面ABD，O∈平面BCD，∴O在平面ABD与平面BCD的交线BD上，∴EF、GH、BD交于一点O.【典例】(2010·江西高考）过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作（）(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条忽视正方体中的隐含条件【审题指导】充分利用正方体棱的平行关系和正方体的体对角线与同一顶点出发的三条棱所成的角相等.【规范解答】选D.如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB、AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条.【误区警示】解答本题易误选答案A.失误的原因主要是：忽视正方体棱的平行关系.此外，求空间直线所成的角时，常犯以下错误：1.不能挖掘题中的平行关系，找不到其所成的角；2.线多、图形复杂、空间想象力不够，感觉无从下手；3.忽视异面直线所成角的范围.【变式训练】设正四棱锥S-ABCD的侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是（）（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°【解析】1.(2010·上海春招）若空间三条直线a、b、c满足a⊥b,b⊥c,则直线a与c（）（A）一定平行（B）一定相交（C）一定是异面直线（D）平行、相交、是异面直线都有可能【解析】选D.三条直线共面时，直线a与c一定平行；当直线a与c共面且直线b不在直线a与c所在平面内时，直线a与c平行或相交；当a⊥b，b⊥c时，还有可能直线a与c异面.故选D.2.（2011·郑州模拟）在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M,那么（）（A）M一定在直线AC上（B）M一定在直线BD上（C）M可能在直线AC上，也可能在直线BD上（D）M既不在直线AC上，也不在直线BD上【解析】选A.平面ABC∩平面ACD=AC，M∈平面ABC，M∈平面ACD，从而M∈AC.3.(2011·济南模拟)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为______(注：把你认为正确结论的序号都填上).【解析】直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误；直线BN与MB1是异面直线，直线AM与DD1也是异面直线，故③④正确.答案:③④4.（2011·天津模拟）如图，正四面体S-ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是____.【解析】设正四面体的棱长为2，如图，设AC的中点为E，连接DE、BE，则DE∥SA.∴∠BDE是直线BD与SA所成的角或其补角.在△DEB中，DE=1，BE=，BD=，∴cos∠BDE==.答案:

一、选择题（每小题4分，共20分）1.下列命题中正确的个数是（）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.②若l不平行于平面α,且l

α，则α内不存在与l平行的直线.③若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行.④若两条直线分别在两个不同的平面内，则两条直线异面.（A）0（B）1（C）2（D）3【解析】选B.对于①，l也可能与α相交；对于②，由题意，l与α相交，∴α内不可能存在直线与l平行，∴②正确；对于③，这两条直线也可能相交或异面；对于④，如果这两个平面相交，则这两条直线可能相交，也可能平行，若这两个平面平行，则这两条直线也可能平行；故只有②正确.2.在正方体AC1中，M为DD1的中点，O为正方形ABCD的中心，P为棱A1B1上的任意一点，则OP与AM所成的角为（）（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°【解析】选D.取AD中点Q，在正方形ADD1A1中，A1Q⊥AM，从而易证AM⊥平面A1B1OQ，又OP

平面A1B1OQ，∴AM⊥OP，故OP与AM所成的角为90°.3.（2011·台州模拟）对于空间中的两条直线，“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（）(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件【解析】选A.若这两条直线为异面直线，则这两条直线一定没有公共点，反之，若这两条直线没有公共点，则这两条直线不一定异面，它们还可能平行.4.（2010·全国Ⅰ高考）直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°【解题提示】将直三棱柱补成四棱柱后易于找角.【解析】选C.如图，可补成一个正方体，则AC1∥BD1.∴∠A1BD1是异面直线BA1与AC1所成的角.在正方体中，△A1BD1为正三角形.∴∠A1BD1=60°.5.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是（）（A）①②（B）③④（C）②③（D）①③【解题提示】把展开图还原为正方体，在正方体中研究相应的结论.【解析】选D.将展开图还原为正方体，由于EF∥ND，而ND⊥AB，∴EF⊥AB；显然AB与CM平行；EF与MN是异面直线，MN与CD也是异面直线，故①③正确，②④错误.二、填空题（每小题4分，共12分）6.如果两条异面直线称为一对，那么在长方体的十二条棱中，异面直线共有______对.【解析】先确定一条棱,和其异面的棱共有4条，逐一去数，每一对被数了两遍，故共有=24(对).答案:247.（2011·泉州模拟）空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD=1,则AC的取值范围是______.【解析】如图所示，△ABD与△BCD均为边长为1的正三角形，当△ABD与△CBD重合时，AC=0，将△ABD以BD为轴转动,到A，B，C，D四点再共面时，AC=，故AC的取值范围是0＜AC＜.答案:(0,)8.在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为____.【解析】折成空间图形的直观图如图.设EF的中点为K，连结IK，JK，由题意，GH∥DF∥JK，∴∠IJK是GH与IJ所成的角.由题意，△IJK是正三角形.∴∠IJK=60°.答案:60°三、解答题（每小题9分，共18分）9.如图，在四面体ABCD中作截面PQR，PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求证：M、N、K三点共线.【证明】

M、N、K在平面BCD与平面PQR的交线上，即M、N、K三点共线.10.（2011·龙岩模拟）已知正三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱长都为2，E是A1B的中点，F在棱CC1上.(1)当C1F=CF时，求多面体ABCFA1的体积;(2)当点F使得A1F+BF为最小时，求异面直线AE与A1F所成的角.【解析】(2)将侧面BCC1B1展开到侧面A1ACC1得到矩形ABB1A1，连接A1B，交C1C于点F，此时点F使得A1F+BF为最小.此时FC平行且等