人教版八年级数学上册《全等变化模型-半角模型》专题练习-附含答案

第页人教版八年级数学上册《全等变化模型-半角模型》专题练习-附含答案【模型展示】【模型条件】【模型结论】证明：证明：【模型应用】【模型巩固】【例6-1】如图正方形ABCD中∠EAF的两边分别与边BC、CD交于点E、FAE、AF分别交BD于点G、H且∠EAF＝45°．（1）当∠AEB＝55°时求∠DAH的度数；（2）设∠AEB＝α则∠AFD＝（用含α的代数式表示）；（3）求证：∠AEB＝∠AEF．【解答】解：（1）由ABCD为正方形则∠DAB＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°当∠AEB＝55°时∠EAB＝90°﹣∠AEB＝90°﹣55°＝35°∴∠DAH＝90°﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣35°＝10°（2）由四边形ABCD为正方形可知∠ABE＝∠ADF＝∠BAD＝90°∵∠AEB＝α∴∠EAB＝90°﹣α∴∠DAF＝∠BAD﹣∠EAB﹣∠EAF＝90°﹣（90°﹣α）﹣45°＝α﹣45°∴∠AFD＝90°﹣∠DAF＝90°﹣（α﹣45°）＝135°﹣α．故答案为：135°﹣α．（3）证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABI可得E、B、I三点共线由旋转可知∠DAF＝∠BAIAF＝AI∵∠DAF+∠EAB＝90°﹣∠EAF＝45°∴∠BAI+∠EAB＝45°＝∠IAE在△EAF和△EAI中∴△EAF≌△EAI（SAS）．∴∠AEF＝∠AEI＝∠AEB．【例6-2】在正方形ABCD中已知∠MAN＝45°AH⊥MN垂足为H若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动．①试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系．②求证：AB＝AH．【解答】解：①DN﹣BM＝MN．证明如下：如图在DC上截取DF＝BM连接AF△ABM和△ADF中∴△ABM≌△ADF（SAS）∴AM＝AF∠BAM＝∠DAF∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝90°即MAF＝∠BAD＝90°∵∠MAN＝45°∴∠MAN＝∠FAN＝45°在△MAN和△FAN中∴△MAN≌△FAN（SAS）∴MN＝NF∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM∴DN﹣BM＝MN；②∵△MAN≌△FAN∴∠HNA＝∠DNA∵∠H＝∠D＝90°AN＝AN∴△AHN≌△ADN（AAS）∴AD＝AH∵AD＝AB∴AH＝AB．【例6-3】如图（1）在平面直角坐标系中AB⊥x轴于BAC⊥y轴于C点C（04）A（44）过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点（1）若OF+BE＝AB求证：CF＝CE．（2）如图（2）且∠ECF＝45°S△ECF＝6求S△BEF的值．【解答】解：（1）证明：∵AB⊥x轴AC⊥y轴∴∠ABO＝∠ACO＝90°∵∠BOC＝90°∴∠A＝360°﹣∠ABO﹣∠ACO﹣∠BOC＝90°∴∠A＝∠BOC∵C（04）A（44）∴OC＝AC＝AB＝4∵OF+BE＝ABAB＝AE+BE∴OF＝AE在△COF和△CAE中∴△COF≌△CAE（SAS）∴CF＝CE．（2）将△ACE绕点C顺时针旋转90°则FG＝AE+OFCG＝CE∠ACE＝∠GCO∵∠ECF＝45°∴∠ACE+∠FCO＝∠ACO﹣∠ECF＝90°45°＝45°∴∠GCF＝∠GCO+∠FCO＝∠ACE+∠FCO＝45°∴∠GCF＝∠ECF在△GCF和△ECF中∴△GCF≌△ECF（SAS）∵S△ECF＝6∴S△GCF＝6∴S△ECA+S△OCF＝6∵由（1）知四边形OBAC为边长为4的正方形∴S四边形OBAC＝4×4＝16∴S△BEF＝S四边形OBAC﹣S△ECF﹣S△ECA﹣S△OCF＝16﹣6﹣6＝4∴S△BEF的值为4．【例6-4】如图在正方形ABCD中M、N分别是射线CB和射线DC上的动点且始终∠MAN＝45°．（1）如图1当点M、N分别在线段BC、DC上时请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；（2）如图2当点M、N分别在CB、DC的延长线上时（1）中的结论是否仍然成立若成立给予证明若不成立写出正确的结论并证明；【解答】解：（1）BM+DN＝MN理由如下：如图1在MB的延长线上截取BE＝DN连接AE∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°∴∠ABE＝90°＝∠D在△ABE和△ADN中∴△ABE≌△ADN（SAS）∴AE＝AN∠EAB＝∠NAD∴∠EAN＝∠BAD＝90°∵∠MAN＝45°∴∠EAM＝45°＝∠NAM在△AEM和△ANM中∴△AEM≌△ANM（SAS）∴ME＝MN又∵ME＝BE+BM＝BM+DN∴BM+DN＝MN；（2）（1）中的结论不成立DN﹣BM＝MN．理由如下：如图2在DC上截取DF＝BM连接AF则∠ABM＝90°＝∠D在△ABM和△ADF中∴△ABM≌△ADF（SAS）∴AM＝AF∠BAM＝∠DAF∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°即∠MAF＝∠BAD＝90°∵∠MAN＝45°∴∠MAN＝∠FAN＝45°在△MAN和△FAN中∴△MAN≌△FAN（SAS）∴MN＝NF∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM∴DN﹣BM＝MN．【模型拓展】【拓展6-1】如图已知轴于且满足（1）求点坐标；（2）分别以为边作等边三角形和如图1试判定线段和的数量关系和位置关系．（3）如图2过作轴于分别为线段上的两个动点满足试探究的值是否发生变化？如果不变请说明理由并求其值；如果变化请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得：且解得：则的坐标是；（2）且．如图1连接的坐标是是等边三角形在直角中是等边三角形即是的角平分线且平分故且．（3）不变．延长至点使连接在与中在与中．【拓展6-2】如图1点、在轴正半轴上点、分别在轴上平分与轴交于点．（1）求证：；（2）在（1）中点的坐标为点为上一点且如图2求的长；（3）在（1）中过作于点点为上一动点点为上一动点（如图当点在上移动、点在上移动时始终满足试判断、、这三者之间的数量关系写出你的结论并加以证明．【解答】（1）证明：．在和中．．（2）解：由（1）知过作于点如右图所示：在和中．在和中可知：；．（3）．证明：由（1）知：在轴的负半轴上取连接如右图所示：在和中．．．在和中．．【拓展6-3】如图1为等腰三角形点在线段上（不与重合）以为腰长作等腰直角于．（1）求证：；（2）连接交于若求的值；（3）如图2过作交的延长线于点过点作交于连接当点在线段上运动时（不与重合）式子的值会变化吗？若不变求出该值；若变化请说明理由．【解答】（1）证明：为等腰三角