2024版高考复习A版数学考点考法练习：二次函数与幂函数

高考

数学函数的概念与基本初等函数二次函数与幂函数基础篇考点一二次函数1.(2023届兰州五十五中开学考,8)函数f(x)=x2-2|x|+5的单调增区间是

(

)A.(-∞,-1)和(0,1)B.(-∞,-1)和(1,+∞)C.[-1,0]和[1,+∞)D.(-1,0)和(0,1)答案

C

2.(2022湖南三湘名校、五市十校联考,5)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,则

“a>b>c”是“函数f(x)=ax2+bx+c有两个零点”的

(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案

A

3.(多选)(2022广东普宁段考,10)已知函数f(x)=x2-3x-4,则

(

)A.函数f(x)的图象与x轴有两个不同交点B.函数f(x)有最大值C.对任意x∈R,f(x)≥-

恒成立D.∃x∈R,使得函数f(x)=π答案

ACD

4.(2021广东深圳一模,13)已知函数的图象关于y轴对称,且与直线y=x相

切,则满足上述条件的二次函数可以为f(x)=

.答案

x2+

(答案不唯一)5.(2022北京,14,5分)设函数f(x)=

若f(x)存在最小值,则a的一个取值为

;a的最大值为

.答案

([0,1]中任意一个实数都可以,答案不唯一)

16.(2023届安徽六安新安中学开学考,22)已知函数f(x)=x2+ax-2,a∈R.(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若关于x的不等式f(x)≥(2a-1)x-6在(0,2]上恒成立,求a的最大值.解析

(1)当a=1时,由f(x)<0得x2+x-2<0,即(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1,所以不等式的解集为(-2,1).(2)由f(x)≥(2a-1)x-6得x2+(1-a)x+4≥0,所以问题转化为x2+(1-a)x+4≥0在

(0,2]上恒成立,即a≤x+

+1在(0,2]上恒成立,因为x∈(0,2],所以x+

+1≥2

+1=5,当且仅当x=

,即x=2时取等号,所以x+

+1的最小值为5,所以a≤5,所以a的最大值为5.考点二幂函数考向一幂函数的图象问题1.(多选)(2022江苏盐城阜宁中学段测,9)若点A(m,n)在幂函数y=xa(a∈R)

的图象上,则下列结论可能成立的是

(

)A.

B.

C.

D.

答案

ABC

2.(2021河北唐山二模,3)不等式

≤

的解集是

(

)A.

B.

C.

D.

答案

B

3.(2022广东普通高中质检,15)若幂函数y=f(x)的图象过点(8,2

),则函数f(x-1)-f

2(x)的最大值为

.答案-

4.(2022河北保定重点高中月考,14)若函数f(x)=(m+2)xa是幂函数,且其图象

过点(2,4),则函数g(x)=loga(x+m)的单调增区间为

.答案

(1,+∞)考向二幂函数性质的应用1.(2021北京延庆一模,7)已知定义在R上的幂函数f(x)=xm(m为实数)的图象

过点A(2,8),记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(m),则a,b,c的大小关系为

(

)A.a<b<c

B.a<c<b

C.c<a<b

D.c<b<a答案

A

2.(2022湖南邵阳、郴州二模,4)“

<

”是“-2<a<

”的

(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案

A

3.(2023届兰州五十五中开学考,15)幂函数f(x)=

(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是减函数,则m=

.答案

14.(2018上海,7,5分)已知α∈

-2,-1,-

,

,1,2,3

.若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=

.答案-15.(2021新高考Ⅱ,14,5分)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):

.①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0;③f'(x)是奇函数.答案

f(x)=x4(x∈R)(答案不唯一)综合篇考法一求二次函数在闭区间上的最值(值域)的方法1.(2023届江西上饶、景德镇六校联考,19)函数f(x)=ax2+bx-3的图象与x轴

交于点(3,0)且f(1-x)=f(1+x).(1)求该函数的解析式;(2)当x∈[-1,m]时,函数f(x)=ax2+bx-3有最小值2m,求m的值.解析

(1)因为f(1-x)=f(1+x),所以函数f(x)=ax2+bx-3的图象关于直线x=1对

称,所以-

=1,即b=-2a,又函数f(x)=ax2+bx-3的图象与x轴交于点(3,0),所以9a+3b-3=0,解得a=1,b=-2,所以f(x)=x2-2x-3.(2)f(x)=x2-2x-3图象的对称轴为直线x=1且开口向上.①若-1<m<1,则当x=m时,函数f(x)=x2-2x-3取得最小值,即m2-2m-3=2m,解得

m=2-

或m=2+

(舍去),②若m≥1,则当x=1时,函数f(x)=x2-2x-3取得最小值,即2m=-4,解得m=-2(舍去).综上所述,m的值为2-

.2.(2022河北保定重点高中月考,20)设函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知f(x)<

0的解集为(-1,3).(1)求b,c的值;(2)若函数g(x)=f(x)-ax在区间[0,2]上的最小值为-4,求实数a的值.解析

(1)由f(x)<0的解集为(-1,3)可知x=-1和x=3是关于x的一元二次方程

x2+bx+c=0的解,故

解得b=-2,c=-3.(2)g(x)=f(x)-ax=x2-(a+2)x-3的图象开口向上,对称轴为直线x=

.(i)当

≥2,即a≥2时,函数g(x)在[0,2]上单调递减,g(x)min=g(2)=-2a-3=-4,解得a=

(舍);(ii)当

≤0,即a≤-2时,函数g(x)在[0,2]上单调递增,g(x)min=g(0)=-3≠-4(舍);(iii)当0<

<2,即-2<a<2时,函数g(x)在[0,2]上先减后增,g(x)min=g

=-3-

=-4,解得a=-4(舍)或a=0.综上,a=0.3.(2022山东烟台莱州一中测试,21)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,且满足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x+1.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若关于x的方程f(x)-m=0在x∈[-1,2]上有解,求实数m的取值范围;(3)当x∈[t,t+2](t∈R)时,求函数f(x)的最小值(用t表示).解析

(1)∵f(x+1)-f(x)=2x+1,∴a(x+1)2+b(x+1)+c-ax2-bx-c=2ax+a+b=2x+1,

∴

解得a=1,b=0,又f(0)=2,∴c=2,∴f(x)=x2+2.(2)由f(x)-m=0得,方程x2+2=m在x∈[-1,2]上有解,如图,由图可知2≤m≤6,

∴m的取值范围为[2,6].(3)∵x∈[t,t+2],∴①t≥0时,f(x)的最小值为f(t)=t2+2;②t<0且t+2>0,即-2<t<

0时,f(x)的最小值为f(0)=2;③t+2≤0,即t≤-2时,f(x)的最小值为f(t+2)=(t+2)

2+2=t2+4t+6.综上,t≥0时,f(x)的最小值为t2+2;-2<t<