高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入单元过关检测 文试题

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入单元过关检测（四）(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z=(i为虚数单位),则z的虚部为 ()A.-1 B.0 C.1 【解析】选C.因为z====i,故虚部为1.【变式备选】(2018·珠海模拟)若复数z满足(1+i)z=2,则z的虚部为()A.-1 B.-i C.i D.1【解析】选A.因为复数z满足(1+i)z=2,所以(1-i)(1+i)z=2(1-i),所以2z=2(1-i),z=1-i,则z的虚部为-1.2.已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当a=b=1时,(a+bi)2=(1+i)2=2i,反之,若(a+bi)2=2i,则有a=b=-1或a=b=1.3.复数z=+2i的共轭复数= ()A.-1-2i B.1-2iC.-1+2i D.1+2i【解析】选B.因为z=(-i)4+2i=1+2i,所以=1-2i.【变式备选】复数z=的共轭复数是 ()A.2+i B.2-I C.-1+i D.-1-i【解析】选D.因为z==-1+i,所以z的共轭复数为-1-i.4.(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m= ()A.-8 B.-6 C.6 【解析】选D.a+b=(4,m-2),因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=12-2(m-2)=0,解得m=8.5.已知a,b,c是平面向量,下列命题中真命题的个数是 ()①(a·b)·c=a·(b·c); ②|a·b|=|a||b|;③|a+b|2=(a+b)2; ④a·b=b·c⇒a=c.A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选A.由平面向量的基础知识可知①②④均不正确,只有③正确.6.与向量a=(3,4)同方向的单位向量为b,又向量c=(-5,5),则b·c= ()A.(-3,4) B.(3,-4)C.1 D.-1【解析】选C.因为与向量a=(3,4)同方向的单位向量为b,所以b=,又向量c=(-5,5),所以b·c=·=1.7.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b= ()A.1 B.2 C.3 【解析】选A.因为4a·b=（a+b）2-（a-b）2=10-6=4,所以a·b8.已知向量a=(1,2),b=(-2,m),若a∥b,则|2a+3b|等于A. B.4 C. 【解析】选B.因为a=(1,2),b=(-2,m),a∥b,所以1×m-(-2)×2=0⇒m=-4,于是,2a+3b则|2a+3b|==4.9.在复平面内,把复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转,所得向量对应的复数是 ()A.2 B.-2iC.-3i D.3+i【解析】选B.因为复数3-i对应的向量为=(3,-),如图,把按顺时针方向旋转后恰好到y轴负半轴上的向量=(0,-2),所以所得向量对应的复数是-2i.【变式备选】复数z1,z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称,且z1=3+2i,则z2= ()A.3-2i B.2-3iC.-3-2i D.2+3i【解析】选D.复数z1在复平面内关于直线y=x对称的点表示的复数z2=2+3i.10.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC与BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,则下列说法错误的是 ()A.=+B.=-C.=+D.=+【解析】选D.排除法.由题干图知,=+,故A正确.=-,故B正确.==(+)=+,故C正确.【变式备选】若O为平面内任一点且(+-2)·(-)=0,则△ABC是 ()A.直角三角形或等腰三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形但不一定是直角三角形D.直角三角形但不一定是等腰三角形【解析】选C.由(+-2)·(-)=0,得(+)·(-)=0.所以-=0,即||=||.所以AB=AC,即△ABC一定是等腰三角形.11.已知点A,B,C三点不共线,且有==,则有 ()A.<<B.<<C.<<D.<<【解析】选B.设A,B,C所对的边分别为a,b,c,由题意,根据向量数量积得,accosB=abcosC=-(2+)bccosA,又由正弦定理得,tanC=tanB,tanA=-(2+)tanB,因为在△ABC中,则有tanB>tanC>0,tanA<0,所以A>B>C,所以<<.12.(2018·福州模拟)已知⊥,||=,||=t,若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于 ()A.13 B.15 C.19 【解析】选A.建立如图所示的平面直角坐标系,则B,C(0,t),=,=(0,t),=+=t+(0,t)=(1,4),所以P(1,4),·=·(-1,t-4)=17-≤17-2=13,当且仅当t=时,取“=”.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.对于复数z1,z2,若(z1-i)z2=1,则称z1是z2的“错位共轭”复数,则复数-i的“错位共轭”复数为________. 【解析】设复数-i的“错位共轭”复数为z,由(z-i)=1,可得z-i==+i,所以z=+i.答案:+i14.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=________.

【解析】因为平面向量a=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m+4,2m+2),因为c与a的夹角等于c与b的夹角,所以所以=,解得m=2.答案:215.平行四边形ABCD中,E为CD的中点,动点G在线段BE上,=x+y,则2x+y=________.

【解析】由题意,根据向量的线性运算,可知=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ=+λ,记+λ=x+y,所以则2x+y=2.答案:216.若向量a=(1,),且向量a,b满足=1,则|b|的取值范围是________.

【解析】由向量运算的几何意义可知,b的终点在以(1,)为圆心,1为半径的圆周上.故|b|的范围满足2-1≤|b|≤2+1即|b|∈[1,3].答案:[1,3]三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知复数z=(m2+m)+(m+1)i,其中i为虚数单位. (1)问:实数m为何值时,复数z为纯虚数.(2)若m=-2,求的共轭复数的模.【解析】(1)复数z为纯虚数,需满足解得m=0.故实数m的值为0.(2)当m=-2时,令复数z1=,化简,得z1=,故|z1|=||=.故的共轭复数的模为.18.(12分)设,不共线,且=a+b(a,b∈R).(1)若a=,b=,求证:A,B,C三点共线.(2)若A,B,C三点共线,问:a+b是否为定值?并说明理由.【解析】(1)当a=,b=时,=+,所以(-)=(-),即2=,所以∥,所以A,B,C三点共线.(2)a+b为定值1,证明如下:因为A,B,C三点共线,所以∥,不妨设=λ(λ∈R),所以-=λ(-),即=+λ,又=a+b,且,不共线,由平面向量的基本定理,得所以a+b=1(定值).【变式备选】如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上两个三等分点,·=4,·=-1,求·的值.【解析】令=a,=b,则=-b,=2a,=3a,则=3a-b,=3a+b,=2a-b,=2a+b,=a-b,=a+b,则·=9a2-b2,·=a2-b2,·=4a2-b2,由·=4,·=-1可得9a2-b2=4,a2-b2=-1,因此a2=,b2=,因此·=4a2-b2=-=.19.(12分)已知△OAB的顶点坐标为Ο(0,0),A(2,1),Β(4,-3),且=λ,点Q是直线ΟΒ上一点. (1)若λ=1,且·=0,求点Q的坐标.(2)若已知点Μ(3,2),向量与夹角为锐角,求λ的取值范围.【解析】(1)由λ=1,知Ρ是ΑΒ的中点,所以点Ρ(3,-1).设点Q(4x,-3x),则=(4x-3,-3x+1),又=(3,-1),则由·=0,得3(4x-3)-(-3x+1)=0⇒x=,所以点Q.(2)由=λ,可得P,因为向量与夹角为锐角,所以⇒求得λ>-1或λ<-且λ≠-,故λ的取值范围为λ>-1且λ≠-或λ<-.20.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知向量m=,n=(cos,-2sin),m·n=-1.(1)求cosA的值.(2)若a=2,b=2,求c的值.【解析】(1)因为m=,n=,m·n=-1,所以2cos2-2sin2=-1,所以cosA=-.(2)由(1)知cosA=-,且0<A<π,所以A=.因为a=2,b=2,由正弦定理,得=,即=,所以sinB=.因为0<B<π,B<A,所以B=.所以C=π-A-B=,所以C=B,所以c=b=2.【变式备选】已知向量m=(sinx,cosx),n=(cosx,cosx),p=(2,1).(1)若m∥p,求sinx·cosx的值.(2)设△ABC的三边a,b,c满足b2=ac,且边b所对的角θ的取值集合为M.当x∈M时,求函数f(x)=m·n的值域.【解析】(1)因为m∥p,所以sinx=2cosx.所以tanx=2.所以sinx·cosx===.(2)f(x)=m·n=sinxcosx+cos2x=sin2x+(1+cos2x)=+sin.在△ABC中,cosθ==≥=,所以0<θ≤,即M=,所以<2x+≤.所以≤sin≤1.所以1≤f(x)≤,故函数f(x)的值域为.21.(12分)设平面上向量a=(cosα,sinα)(0°≤α<360°),b=.(1)试证:向量a+b与a-b垂直.(2)当两个向量a+b与a-b的模相等时,求角α.【解析】(1)(a+b)·(a-b)=·(cosα+,sinα-)=+(sinα+)(sinα-)=cos2α-+sin2α-=0,所以(a+b)⊥(a-b).(2)由|a|=1,|b|=1,且|a+b|=|a-b|,平方得(a+b)2=(a-b)2,整理得2a2-2b2+4a·b=0①因为|a|=1,|b|=1,所以①式化简得a·b=0,a·b=(cosα,sinα)·=-cosα+sinα=0,即cos(60°+α)=0.或tanα=,因为0°≤α<360°,所以可得α=30°,或α=210°.22.(12分)已知平面上的两个向量,满足||=a,||=b,且⊥,a2+b2=4.向量=x+y(x,y∈R),且a2+b2=1.世纪金榜导学号37680775(1)如果点M为线段AB的中点,求证:=+.(2)求||的最大值,并求出此时四边形OAPB面积的