高考数学一轮复习 第十九单元 算法初步、复数、推理与证明双基过关检测 理试题

“算法初步、复数、推理与证明”双基过关检测一、选择题1．若z＝i(3－2i)(其中i为复数单位)，则eq\x\to(z)＝()A．3－2i B．3＋2iC．2＋3i D．2－3i解析：选D由z＝i(3－2i)＝2＋3i，得eq\x\to(z)＝2－3i.2．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝eq\f(a－3i,1－i)在复平面上对应的点在y轴上，则a为()A．－3 B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3) D．3解析：选A∵z＝eq\f(a－3i,1－i)＝eq\f(a－3i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(a＋3－3－ai,2)，又复数z＝eq\f(a－3i,1－i)在复平面上对应的点在y轴上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3＝0，,3－a≠0，))解得a＝－3.3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”索的因应是()A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：选Ceq\r(b2－ac)<eq\r(3)a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a⇔(a－c)(a－b)>0.4．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是()A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.eq\f(2k＋1,k＋1)D.eq\f(2k＋3,k＋1)解析：选B当n＝k(k∈N*)时，左式为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)；当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)，则左边应增乘的式子是eq\f(2k＋12k＋2,k＋1)＝2(2k＋1)．5．(2017·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A．2 B.eq\f(3,2)C.eq\f(5,3) D.eq\f(8,5)解析：选C运行该程序，k＝0，s＝1，k<3；k＝0＋1＝1，s＝eq\f(1＋1,1)＝2，k<3；k＝1＋1＝2，s＝eq\f(2＋1,2)＝eq\f(3,2)，k<3；k＝1＋2＝3，s＝eq\f(\f(3,2)＋1,\f(3,2))＝eq\f(5,3)，此时不满足循环条件，输出s，故输出的s值为eq\f(5,3).6．若数列{an}是等差数列，bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为()A．dn＝eq\f(c1＋c2＋…＋cn,n)B．dn＝eq\f(c1·c2·…·cn,n)C．dn＝eq\r(n,\f(c\o\al(n,1)＋c\o\al(n,2)＋…＋c\o\al(n,n),n))D．dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)解析：选D因为数列{an}是等差数列，所以bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)＝a1＋(n－1)·eq\f(d,2)(d为等差数列{an}的公差)，{bn}也为等差数列，因为正项数列{cn}是等比数列，设公比为q，则dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)＝eq\r(n,c1·c1q·…·c1qn－1)＝c1q，所以{dn}也是等比数列．7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是eq\f(99,199)，则判断框内应填的内容是()A．n<98? B．n<99?C．n<100? D．n<101?解析：选B由eq\f(1,4n2－1)＝eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1)，可知程序框图的功能是计算并输出S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,2n＋1)的值．由题意令eq\f(n,2n＋1)＝eq\f(99,199)，解得n＝99,即当n<99时，执行循环体，若不满足此条件，则退出循环，输出S的值．8．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是()A．(7,5) B．(5,7)C．(2,10) D．(10,1)解：选B依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有eq\f(nn＋1,2)个“整数对”，注意到eq\f(10×10＋1,2)＜60＜eq\f(11×11＋1,2)，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．二、填空题9．M＝eq\f(1,210)＋eq\f(1,210＋1)＋eq\f(1,210＋2)＋…＋eq\f(1,211－1)与1的大小关系为__________．解析：因为M＝eq\f(1,210)＋eq\f(1,210＋1)＋eq\f(1,210＋2)＋…＋eq\f(1,211－1)＝eq\f(1,210)＋eq\f(1,210＋1)＋eq\f(1,210＋2)＋…＋eq\f(1,210＋210－1)所以M<1.答案：M<110．若复数z＝eq\f(a＋i,i)(其中i为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a＝________.解析：因为复数z＝eq\f(a＋i,i)＝eq\f(ai＋i2,i2)＝1－ai，所以－a＝1，即a＝－1.答案：－111．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝________.解析：a＝14，b＝18.第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2.答案：212．设n为正整数，f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，计算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)＞2，f(8)＞eq\f(5,2)，f(16)＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：∵f(21)＝eq\f(3,2)，f(22)＞2＝eq\f(4,2)，f(23)＞eq\f(5,2)，f(24)＞eq\f(6,2)，∴归纳得f(2n)≥eq\f(n＋2,2)(n∈N*)．答案：f(2n)≥eq\f(n＋2,2)(n∈N*)三、解答题13．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求证：eq\r(d)＋eq\r(a)＜eq\r(b)＋eq\r(c).证明：要证eq\r(d)＋eq\r(a)＜eq\r(b)＋eq\r(c)，只需证(eq\r(d)＋eq\r(a))2＜(eq\r(b)＋eq\r(c))2，即证a＋d＋2eq\r(ad)＜b＋c＋2eq\r(bc)，因为a＋d＝b＋c，所以只需证eq\r(ad)＜eq\r(bc)，即证ad＜bc，设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，故ad＜bc成立，从而eq\r(d)＋eq\r(a)＜eq\r(b)＋eq\r(c)成立．14．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1＋\r(2)，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))所以d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2))．(2)证明：由(1)，得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2).假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则beq\o\al(2,q)＝bpbr，即(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(