六年级数学上册奥数培优 第02讲 整除问题综合（学生版）

第2讲整除问题综合第2讲整除问题综合六年级秋季知识点知识点数论综合提高一（六上）1、整除

（1）整除定义：

如果整数a除以整数b（b不等于0），除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b|a．

（2）

特殊数的整除特征

（a）尾数判断法

（b）截断求和法

能被9、99、999及其约数整除的数的特征．

（c）截断求差法

能被11、101、1001及其约数整除的数的特征．

（d）分解判定法

一些复杂整数的整除性，例如63、72等，可以把它们分拆成互质的整数，分别验证整除性．

特别地：7×11×13=1001，abcabc=abc×1001

（3）常用整除性质

性质1：如果c|a，c|b，那么c|(a+b)、c|(a-b)．

性质2：如果bc|a，那么b|a，c|a．

性质3：如果b|a，c|a，且（b，c）=1那么bc|a．

性质4：如果c|b，b|a，那么c|a．

（4）整除的一些基本方法

（a）分解法

分解得到的数有整除特性．

两两互质．

（b）数字谜法

被除数的末位已知

除数变为乘法数字谜的第一个乘数．

（c）试除法

除数比较大．

被除数的首位已知．

（d）同除法

被除数与除数同时除以相同的数．

简化后的除数有整除特征．2、质数合数

（1）质数与合数的定义

质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其他数整除的数．

（2）分解质因数

分解质因数是把一个数写成质因数相乘的形式．典型题型1、整除

（1）基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是9和11这种常见数字．

（a）9的考点：乱切法；

（b）11的考点：

奇位和减偶位和；

两位截断求和；

三位截断，奇段和减偶段和．

（2）整除的性质和使用；

（3）

整除与位值原理

（4）整除方法在数字迷中的应用2、质数合数

（1）质数合数填数字：注意2和5的特殊性；

（2）判断大数是否为质数：逐一试除法；

（3）末尾0的个数问题：层除法．备注备注本讲主要包括与整除、分解质因数相关的内容，需要熟练掌握所有相关知识点，大部分题型之前已经接触过．一些题目可能涉及多个知识点，或者利用代数式、方程求解．课堂例题课堂例题整除性判断1、（1）五位数没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数可能是多少？（2）如果六位数能被624整除，则三个方格中的数是多少？（3）末三位是999的自然数能被29整除，这个数最小是多少？2、（龙校六年级秋季）将自然数1、2、3、…、N依次写下去组成一个数“12345678910111213…”，该数恰好能被36整数，N最小是________，如果N小于200，共有_______种这样的情况．最值问题3、一个各位数字互不相同的五位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除，这个五位数的最小值等于多少？最大值呢？4、（龙校五年级春季）六位数中各位数字互不相同，它能被11整除，那么这样的六位数最小是多少？乘积的整除性或分解形式5、已知是495的倍数，其中a，b，c分别代表不同的数字．请问：三位数是多少？6、72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数．这个三位数最大是多少？乘积末尾0的个数7、设，请问：（1）N的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？（2）用N不断除以12，直到结果不能被12整除为止，一共可以除以多少次12？8、在数列1，4，7，10，13，16，19，……中，如果前n个数的乘积的末尾0的个数比前个数的乘积的末尾0的个数少3个，那么n最小是多少？分解质因数9、两名运动员进行一场乒乓球比赛，采取三局两胜制．每局先得11分者为胜，如果打到10平，则先多得2分者为胜．结果三局比赛下来，单方最高得分都不超过20分，把每人每局得分乘在一起恰为480480．请问：各局的比分分别是多少？（按大比小的方式写出）10、（2008年金帆六秋）101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是__________．其它11、在6和15之间插入30，可以得到6、30、15这样一串数，其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积．请你在3与4之间插入两个非零自然数，使得其中每相邻两个数的和可以整除它们的乘积．12、（2012高思杯六年级）小羊的手机密码是一个四位数，其中每个数字都是1到5中的数字，已知这个四位数满足以下条件：（1）没有重复数字；（2）是3的倍数；（3）是5的倍数；（4）相邻两数之差不超过2．根据以上条件，可以算出小羊的密码是__________．13、（龙校六年级秋季）某商店仅有红蓝两种不同的笔，同种颜色的笔的单价相同，两种笔的单价均是整数元，且两种笔的单价之和为19元．又知若用65元钱去该店买笔，无论怎样买都不可能把钱恰好花光．求两种笔的单价之差．

随堂练习随堂练习1、（1）六位数没有重复数字，如它能被36整除，那么这个六位数是多少？（2）如果六位数能被324整除，则三个方格中的数是多少？（3）末三位是999的自然数能被23整除，这个数最小是多少？2、（龙校六年级秋季）将自然数1、2、3、…、N依次写下去，形成一个多位数“12345678910111213…”，该数能被45整数，N最小是________；如果N小于2012，共有________种这样的情况．3、2011年，海淀区，某顶级大学附中）已知是396的倍数，其中、、分别代表不同的数字．请问：三位数是．4、一个各位数字互不相同的四位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的两位数可以被29整除，这个四位数的最大值等于多少？最小值呢？5、（2014年金帆五秋）在2009后面补上三个数字，组成一个七位数，使得这个七位数能被2，3，4，5，6整除，那么当补上的三个数字的和最大时，所补的三个数字是__________．6、（金帆六年级秋季）有8个盒子，各盒中分别装有奶糖9，13，24，28，30，31，37，44块．甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁三人取走．已知乙、丙取走的糖的块数相同且为丁的两倍，问：甲取走的一盒中有多少块奶糖？课后作业课后作业1、五位数没有重复数字，如果它能被225整除，那么这个五位数是选项（）．A．38025B．37025C．380752、已知六位数是99的倍数，那么这个六位数是______．A．260172B．250173C．2001023、的末尾有________个连续的0．4、两个连续自然数的乘积是1190，则这两个数中较小的是___________________．5、太上老君炼仙丹，第一次炼一丹，第二次炼三丹，第三次炼五丹，第四次炼七丹，……，颗颗炼成不老长生丹．然后装入金葫芦，每个葫芦六十丹，恰装满葫芦若干．已知丹数不足千，问共炼________仙丹．6、在等差数列1，8，15，22，29，36，43，中，如果前n个数乘积的末尾0的个数比前个数乘积的末尾0的个数少3个，那么n最小是多少？7、51个连续的非零自然数的和恰好是三个不同的质数的积，那么这个最小的和是________．