2023年河北省保定市第一高级中学高三数学理月考试卷含解析

2023年河北省保定市第一高级中学高三数学理月考试

卷含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA、PB是圆C：x*/-2y=0的两

条切线，A、B为切点，若四边形PACB面积的最小值是2,则k的值是()

A.V2B.2C.2D.2M

参考答案：

C

【考点】圆的切线方程.

【分析】由圆的方程为求得圆心C,半径r,由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距

离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA,PB最小”，最后利用点到直线的

距离求出直线的斜率即可.

【解答】解：•••圆的方程为：x2+(y-1)Ji,

圆心C(0.1),半径r=l.

根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，

即距离为圆心到直线1的距离最小时，

切线长PA,PB最小.切线长为2,

.,.PA=PB=2,

圆心到直线1的距离为d=泥.直线方程为y+4=kx,即kx-y-4=0,

1-4-11

.\V5=Vl+k2,解得k=±2,

：k>0,.♦.所求直线的斜率为：2.

故选C.

2.如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是()

A.(8+2泥)兀B.(9+2粕)兀C.(10+2遍)兀D.(8+2«)兀

参考答案：

A

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积.

【分析】由已知可得该几何体是一个圆柱与圆锥的组合体，其表面积相当于圆锥的表面积

与圆柱侧面积的和，进而得到答案.

【解答】解：由已知可得该几何体是一个圆柱与圆锥的组合体，

其表面积相当于圆锥的表面积与圆柱侧面积的和，

圆柱的底面直径为2,半径r=l,高h=2,故侧面积为：2nrh=4n；

圆锥的底面直径为4,半径r=2,高h=l,母线长为：娓,故表面积为：nr(r+1)=

(4+2V5)n；

故组合体的表面积S=(8+2V5)JT；

故选：A

3.若连掷两次骰子，得到的点数分别为掰、«，记向量”如加)与向量°=(1•一D的夹

角为8,则I2」的概率是

7y_5_5

A.12B.2c.12D.6

参考答案：

A

略

4.若则下列不等式不成立的是()

A.a+4<2y[abB,a*>b'C.lna>IniD.03a<03>

参考答案：

A

略

r(1、

9cP*(COSXwj———

5.已知a=(sin%1),2,函数/(*)=。(。-3，下列四个命题：①是

r-Zi_iii

其最小正周期为②当时，有最小值JL

周期函数,2-'=2/CO2；③8'8

是函数/(X)的一个单调递增区间；④点"I'”是函数/(X)的一个对称中心.正确命题的

个数

是

()

A.0B.1C.2D.3

参考答案：

D

②③④

试题分析：

・,，33j3

/(x)-a(a-A)・(sinx.1)(22nnx-corx.-)-anx(anx-cosx)*lx--nnx-野nxcosx*-

l-cos2x1..31・。1A今M方、。

-sin2x*一■——Jin2x—-cos2x♦2-,一―($in2x♦cos2x)♦2,—-an(2x♦-)♦2

2-2222224

函数/（X）的周期为一J"”①为错误的；当i时，/（x）取得最小值

------♦22x+一■一■*■2kx,(A€Z)x»—1*左斤,(无eZ),

2,此时42，即8,当上-0时,

x«——+2Jk<S2x+—S—+2krc(keZ)

8,'②为正确的；令242，解得

—+左*S*S—+k>t{k€Z)f(、[—+kx,---•■无*]伏GZ)

8,.函数/(x)的增区间为188,，当

r21_3x.2x+-

士--l时，函数的增区间为广了'.了，：③为正确的；令彳=**伏€2）,

xktrKkx

解得'=-丁丁（"，,函数/（*）的对称中心为“『+彳”（€,当人・。

时，得点5]'”是函数/（X）的一个对称中心，④为正确的；综上所述，②③④是正确

的命题.故答案为②③④.

考点：命题的真假；三角函数的性质.

,,44

cos（a+^）=一•

6.已知65（a为锐角），贝情ma=（）

3员43+4—3・4存

A.10B.10C10

3的・4

D.10

参考答案：

D

略

7.某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图三棱柱ABC-AiBiCi的六个

顶点上各安装一个灯泡，要求同一条线段的两端的灯泡颜色不同，则每种颜色的灯泡至少

用一个的安装方法共有

54

C.216种D.288种

参考答案:

C

2cos2—#0

/W=2

8.函数乩、="在1=0处不连续是因为

()

A、“x)在x=0处无定义B、蚣/("不存在

tai/(x)#bm,/Wn6»/W*/(Q)

C>xrOD、I。

参考答案：

D

f(x)-an(x+—)cos(x+—)

9.设函数6。，则下列判断正确的是()

A./(X)的最小正周期为2月B.〃力的一条对称轴为”~6

(工

C.f(x)的一个对称中心为13oJ\D.将〃x)向右平移？-后得g(x),以力是奇

函数

参考答案：

C

10.(1)复数z满足(z-3"2.i)=5(i为虚数单位)，则z的共辄复数为()

A.2+iB.2-iC.5+iD.5-i

参考答案：

D

z=J_+3=-5(2+，)+3=巫+3=2+计3=5+，

由(z-3)(2-i)=5，得2-i(2-i)(2+i)5，所以

z=5r,选D.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.已知随机变量4口M”/),若Rf<2)=08,则町<-2)=.

参考答案：

0.2

略

x+y<4

y<x

12.在区域乂={(X，)，)|卜>°}内撒一粒豆子，落在区域N={(x,>)口-2)2+'252}

内的概率为。

参考答案：

开

5。

本题为几何概型，与区域的面积有关。根据几何概型公式得概率

13.已知/OOd+lo&x*[叫，则函数"["）『+，（，’）的值域为.

参考答案：

[6J3]

14.一次研究性课堂上，老师给出函数"”"丽（xeR）,四位同学甲、乙、丙、丁

在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f（x）的值域为（-1,1）；乙：若

XiWx”则一定有f（xi）有f（X2）；丙：若规定工阻（力，工㈤），1+川引

对任意〃N*恒成立；丁：函数g（x）=/（x）-x在&上有三个零点。上述四个命题中

你认为正确的是（用甲、乙、丙、丁作答）。

参考答案：

甲、乙、丙

略

15.已知正项等差数列｛五｝的前n项和为Sn，S10=40,则a3?as的最大值为.

参考答案：

16

【考点】等差数列的前n项和.

【分析】利用等差数列的前n项和公式求出a3+a8=8,由此利用基本不等式的性质能求出

a.3?a8的最大值.

【解答】解：•.・正项等差数列｛a0｝的前n项和为Sn，Sio=4O,

&3>°

,a8>0

2

.a3+a8=40X—=8

・・・当且仅当a?二ag时，a3?a8的最大值为64.

故答案为：16.

【点评】本题考查等差数列中两项积的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注

意等差数列的性质及基本等式的合理运用.

16.已知抛物线广-2pe>0),过定点(P.O)作两条互相垂直的直线21与抛物

线交于只Q两点，々与抛物线交于两点，设4的斜率为七.若某同学已正确

卫+P

求得弦PQ的中垂线在y轴上的截距为Ek，则弦MN的中垂线在y轴上的截距

为一

参考答案:

略

17.在(x2+2x+y)$的展开式中,的系数为.

参考答案：

60

【考点】DB：二项式系数的性质.

【分析】把(x，2x+y)s化简成二项式机构，利用通项公式可得答案.

【解答】解:由(x?+2x+y)s化简为|V+2x)+y],

由通项公式T,产Cgyr(x2+2x)5r,要出现广...『2.

二项式(x?+2x)°展开式中出现x。

k20-k)kk

由通项公式Tx/rx2nx,

，2(3-k)+k=5,

可得：k=l.

...x5y2的系数为C£X2XC260.

故答案为：60.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(本小题满分12分)在aABC中，角火、3、C的对边分别为b、C,设S为

△ABC的面积，满足4s.依.

(1)求角C的大小;

1+tanX2c

(H)若+记占“了，且后诙求c的值.

参考答案：

(7=工

⑴3；(11)4.

(I)S.严&£且■独皿。.2分

因为4s=黄("+〃-〃),

所以4必C,2&abc8c

3分

所以tenC・J,4分

因为0<C<vf

(7,

所以6分

(II)由.tanBb得：

cosjfsuiBfan^cosB2c

cosAsinBb,7分

sinC2e

，，，・s_

即co$j4sinfb,8分

CO5J4«-

又由正弦定理得2,9分

：.A^6(T,

...△ABC是等边三角形，10分

J.ABOBC•rxcxcotl20fl--8,11分

所以。・4.12分

19」选修4-5：不等式选讲］

已知函数侬=上+2|・|2不・4aeJt

(1)当。=1,解不等式“0A2；

（2）求证:—即

参考答案：

解：⑴当a=l,/3=卜+4,疝

_—

万4-2

<=>22

-3x-3A2或-x+l>2或3x^3>2

“N——

<=>x4—2或—2<<4-1或3

—产W

（x|x4—）

所以不等式的解集为3

(2)

/(x)=|x+2|+|2x+a|=卜*2|*|“#|日；|耳2-：|+|日自42-自q：-2|

=|(a-2)--a|^a-2|-|-a|=|a-2|--|a|

///

20.本小题满分12分）

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收

费标准是每车每次不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足

一小时的按一小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该自行车租车点租车骑游

（各租一车一次）.设甲、乙两人两小时内还车的概率分别为15,两小时以上

11

且不超过三小时还车的概率分别为5、4,两人租车时间都不会超过四小时.

⑴求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率。

（H）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量4,求J的分布列和数学期望

利.

参考答案:

析，D由巨豆两甲、乙两人在三小时以上且不超过园小时还车的货率分别为•…2分

记•甲•乙育人所村的租车费用相同”为事件A.

.115

*TXvT16-

。甲•乙两人所付管用车费用相同的概率为才.

R，0风变■S的所从可能取侦为0、2、4.6、8.且

PU-o）-lx«-1,

4t81

4

X

4416

3

T?1

10分

162・…12分

略

21.（本小题满分12分）已知函数〃X）=由.（。-1八-『+%-1，36火）.

（I）若函数/（笛在（2,3）上单调递增，求实数4的取值范围；

（II）若a=0,设g"）=丁"n'-x,斜率为尢的直线与曲线y=g（x）交于

4%仍），8（孙乃）（其中近＜为两点，证明：（为+今求＞2

参考答案：

(i)f(x)=[ox3+(a2+l)x+a]e1I分

当。20时，：工€（2,3）,二八只在（2,3）上单调递噌；2分

当。<0时.•.•〃力在。，分上的阴a*,二八*>=«（乂+。）（X+1）一2。

a

1）当一I<Q«0W，得一a4x4-』，（2,3）QF「一•利一一40<。|•……―—・3分

aL0」3

1

U）当。=-4时.r^0»不甘CM・仓去t•……………・《4分

iii）当。<-1电・得—4*4y依题塞却（2.3）U—一・"•得。4-3」……………“S分

嫌上纵0e卜;・*KD)........分

《U)JSo=0时.g(x)=-4h>x-xsUx-L'h-勺.......。7分

要史(巧+巧*>2,即证(七+与)乂±3>2，...........•1分

巧f

Xi-D

VJCJ-J%>0<KXIb^>>—5-----(21>|)•………•’分

若iUlA

4

令*CO=h»x-^^(x>D♦第#(力=1------a-D>0.----------“分

xaflx(x-t-iyWx+1)'

2（3・D

；.A（力SE（L*D》・调景―.A（x）>/i（l）«0=h>">"BP（马♦巧*>2mz.•—12分

马方”

q

兀如

22.（1）求点M（2,T）到直线P二sin8求口s，上点A的距离的最小值.

_(x二一1+cos8

C：<C（8为参数）

(2)求曲线I尸sin8关于直线y=l对称的曲线的参数方程.

参考答案:

考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化.

专题：直线与圆.

——(2c