2023年高考考前押题密卷-数学（全国乙卷文）（全解全析）

2023年高考考前押题密卷（全国乙卷）

文科数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证

号填写在答题卡上。

2.回答第1卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第I[卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题

目要求的.

1.已知集合4=国-14不43｝,8=｛小=历（4-/）｝,则（）

A.（-oo,-l]u[2,+oo）B.[—1,2）

C.[-1,3]D.（-2,3]

【答案】D

【详解】由题意可得：4一/>0=8=（-2,2）=48=（-2,3]

故选：D

2.已知复数z满足（i-l）z=2,给出下列四个命题其中正确的是（）

A.忖=2B.z的虚部为_]C.z=l+iD.£■=-2i

【答案】B

22(-1)=]

【详解】•；（i—l）z=2,.•「=」故z的虚部为-1,

(i-l)-(-i-l)-

则|z|=J(—I)，+(—1)2=0/2，z=-1+i>z~=(-1—i)=2i,所以B正确，A,C,D不正确.

故选：B.

3.已知命题/下:eR,e'=0.1;命题q：直线乙：x-ay=0与4：2x+ay-1=0相互垂直的充要条件为a=亚,

则下列命题中为真命题的是（）

A.pcqB.p/\（F）C.（rp）vgD.（-1p）A（-1^）

【答案】B

【详解】令x=ln0.1,则e*=0.1，所以p为真命题；

若4与4相互垂直，则2-/=0,解得a=±忘，故q为假命题，

所以只有。人（「4）为真命题.

故选：B.

4.函数〉=28$2]-1（》€11）的最小正周期是（）

A.-B.兀C.2瓦D.4兀

2

【答案】C

Y97T

【详解】因为y=2cos2]—l=cosx,y=cosx的最小正周期7=宁=2无，

所以函数y=2cos25-l（xeR）的最小正周期是2兀.

故选：C.

2y—x—2<0,

5.设实数x,>满足约束条件卜x+3y-12W0,则目标函数z=8x+6y的取值范围是（）

x+2y+2>0,

A.[4,24]B.[4,30]C.（-16,24）D.（-16,24]

【答案】D

【详解】作出可行域，如图,ABC内部（含线段8C不包含顶点的部分），

作直线/：8x+6y=0,在直线z=8x+6y中，J是直线的纵截距，

6

34

因此直线向上平移时，z增大，由于2=3*0,因此直线/与5c平行，

68

所以平移直线/,当它与直线BC重合时，z=8x+6y取得最大值3x8=24,

若直线过点4,z=—2x8+6x0=76,

所以目标函数的值域为（-16,24].

故选：D.

所以tan（。-；

I711兀4

7、-1tan0—+tan_p]

所以tan，=tan[=--------^T=-7-

L（4）MiTanL」1an工14

I4j43

故选：A.

7.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图（含乾、坤，巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一

卦由三根线组成（表示一根阳线，■■表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根

线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（）

坤

3

CD.

-IU

【答案】B

【详解】从八卦中任取两卦，共有C；=28种情况,

其中这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线，则必有一卦为乾，另一卦从兑、离、巽中选出一卦，故共

有C=3,

3

故这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为5.

故选：B

8.已知函数y=log,(x+b)(〃，人为常数，其中a>0且"1)的图象如图所示，则下列结论正确的是()

C.a=0.5,b=0.5D.a=2,6=0.5

【答案】D

【详解】解：由图象可得函数在定义域上单调递增，

所以。>1,排除A,C；

又因为函数过点(050),

所以匕+0.5=1,解得b=0.5.

故选：D

9函数/Q)=(Je：)cosx的部分图象大致为()

［详解］因为/(%)=cosx(e^A-ev),/(-x)=cos(一x)(e*-e~x)=-cosx(e—-e"),

所以/(-%)=-〃%),故函数的为奇函数，排除BD；

Xxe^lcosx>0,eJ-er<0,所以〃x)<0,故A错误.

故选：C

10.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖腌.在鳖席A-8CD中AB工平面8CZ),

BC1CD,RAB=BC=CD=2,则鳖牖A—88外接球的表面积为()

19

A.—nB.6兀C.127rD.16K

3

如图，取AO的中点为0,连接80,C。，

因为AB工平面BCD,8E>u平面88,故ABLE),

同理ABLCD.

因为AO的中点为。，故OA=OB=OD.

而BC，。，故8c1平面A8C,

而ACu平面ABC,故COLAC,

故OC=。。，所以。为三棱锥A-BCD外接球的球心,

乂AB=BC=CD=2,故8。=2血，所以4£>=J4+8=26，

故三棱锥A-B8外接球半彳仝为G,故其外接球的衣面积为12兀.

故选：C.

11.已知A,8是椭圆E:[+y2=i(a>i)的上、下顶点，尸为E的一个焦点，若AAB尸的面积为2&，则E

a

的长轴长为()

A.3B.6C.9D.18

【答案】B

【详解】由题可知匕=1,则处xc=20,所以c=2&，所以a=J廿+o2=3,

故E的长轴长为2a=6.

故选：B

12.函数/(x)的定义域为R,满足/(x)=2〃x—l),且当时，〃x)=x(l—x).若对任意

都有/(司43，则”的最大值是()

11「14-32n41

A.—B.—C.D.—

551515

【答案】A

【详解】因/(x)=2/(x-l),又当xw(O,l]时，f(x)=-(x-；)2+；e[0,；],

当xe(ZM+l],keN",时，x-Ae((),l],

贝]I/(X)=2/(XT)=22/(X-2)=…=2&/(x1%),

(2%+1、22k

f(x)=2&(X-k)(1-4+6=-2[X-一—J+彳£[°，2“2],

当(一匕一1+1],keN*,时，x+Ac(0,l],

则f(x)=2T/(x+l)=2-2/(x+2)=…=2*f(x+k),

f\x)=2-k(x+k)(\-x-k)=-2-4x+”)+白G[0,2+2],

作出函数/(x)的大致图象,

对任意X€(ro,m],都有行，

设机的最大值为，，

则〃。卷,且2＜用＜|

所以一22k—*1+1="，解得「=二

I2J255

所以"的最大值为

故选：A.

第II卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量a=(-4,M,6=(L-2),E.(a-2b)lb,贝！]机=.

【答案】-7

【详解】由题设a-26=(-6,m+4),且(4一%)J■石,

所以-6xl+(—2)x(,〃+4)=0,则m=-7.

故答案为：-7

14.点M(5,3)到抛物线》=«?的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是一

【答案】i=12、或炉=-36〉.

【详解】将、=以2化为/=：〉，

当。＞0时，准线＞=-」-,由已知得3+，-=6,所以』=12,所以。=上；

4ct4aa12

当a＜0时，准线y=由己知得3+J-=6,所以&=一」或(舍),

4a4a3612

所以抛物线方程为f=12y或f=_36y.

故答案为：/=12丫或炉=-36〉

15.在08c中，角A,B,C所对的边分别为〃也c,其中c=4,且满足cosC=sinC,2sin[8+：J=c-2GcosA,

则边。等于.

【答案】2&

【详解】由cosC=sinC,显然cosCxO,则l=@^£=tanC,

cosC

又c«o,兀)，则C=(,

由2sin(8+：)=2sin(3+C)=c-2>/^cosA,

又A+8+C=TT,贝ij2sinA=4-2\/3cosA,整理得sin(A+g]=1,

371)r.t,.兀(八13兀、广广八,4兀兀ZO,冗

又Aw0,7-，则A+7w0,-^~,所以A+；=7，得4=吃，

14，3\12732o

C.41/T

.....................ac、a=-----------sinA=x—=2v2

又由正弦定理有二一-=-^—，贝!JsinCy[22.

sinAsinC

2

故答案为：2庭.

16.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，异面直线AB与CQ的夹角为.

【答案】60°

A

如图所示，把展开图恢复到原正方体.

连接AE,8E.由正方体可得且CE=A£>,

二四边形4。(?£是平行四边形，〃0C.

/.—B4E或其补角是异面直线A8与CQ所成的角.

由正方体可得：AB=AE=3E,.,.一43E是等边三角形，，N&4E=60。.

.,.异面直线AB与C£>所成的角是60。.

故答案为：60°

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都

必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.某校随机抽出30名女教师和20名男教师参加学校组织的“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜

利75周年”知识竞赛(满分100分)，若分数为80分及以上的为优秀，50~80分之间的为非优秀，统计并得

到如下列联表:

女教师男教师总计

优秀20626

非优秀101424

总计302050

(1)男、女教师中成绩为优秀的频率分别是多少？

(2)判断是否有99%的把握认为这次竞赛成绩是否优秀与性别有关?

「2n{ad-bc)

附：K=7------rz-----j-z------,其中“=a+6+c+4.

(Q+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

2

P(K>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【详解】(1)由题意可得：男教师中成绩为优秀的频率是。=白，女教师中成绩为优秀的频率是1^=1

ZX)1UDU□

50(20xl4-6xl0)2_3025

(2)KJa6.464<6.635,

30x20x24x26-468

故没有99%的把握认为这次竞赛成绩是否优秀与性别有关.

18.如图，在底面为矩形的四棱锥P-71BCD中，PAL^ABCD.

(1)证明：平面B4D_L平面尸CD

(2)若必=AO=3,AB=\,E在棱A£>上，且A£)=3A£,求四棱锥「一A8CE的体积.

【详解】(1)证明：由四边形A8CO为矩形，得A£>，C£>.

因为PAL底面ABCD,CDu平面A3CC,所以PA，C£>.

因为上4cA£>=A,PAADu平面外。，所以。£)_1_平面％£).

因为CDu平面PCZ),所以平面R4DL平面尸CD

(2)因为皿)=3AE,45=3,所以AE=1,

因为直角梯形A8CE的面积5=gx(l+3)xl=2.

所以心皿=3尸”5=卜3、2=2.

h

19.数歹!Jm｝满足q=3,%+|-q；=2a„,2"=an+\.

(1)求证：圾｝是等比数列；

(2)若％=7+1,求｛%｝的前"项和为刀,.

b

【详解】(1)2"=a„+l,:.bn=log2(a„+1),&(=log2(3+1)=2,

“用="；+2”"，二4田+1=片+2a,,+1=(4+1)?,

log2(«„+1+1)=2log,(a„+1),

2+1log2(a»i+l)>2,

b“log,(a„+l)'

所以数列｛々｝是以2为首项，2为公比的等比数歹U.

（2）由（1）可得,b.=2：所以c.专+1,

设4=三，设其前〃项和为50，

EI0123n-1n小

则S,,=耍+合+于++尹+王，①

1I23n-\n

c4-----------1--------

2S"=¥+F+F+242"+]，

减②得

2_

1-

1〃_22n[n+2

is,T+N+“+落户=一-----——1

22'22232”+i--------2〃+i

所以s,=2一〃岁+2

〃+2

所以7；=S“+”=”+2_

2"

22

20.己知双曲线cJ-4=l（a>0力〉0）的离心率等于2,点（4,0）到直线/：4x+3y+l=0的距离等于1.

（1）求C的标准方程;

（2）设M为C在第一象限的一个点，F、,8为C的焦点，如果线段耳耳，加人的长度构成等差数列,

求点M的坐标.

【详解】（1）因为点（。,0）到直线，：4x+3y+l=0的距离等于1,所以J：：1]=为解得”=L

2

乂"厂c2,所以c=2a=2'所以人3,故C的标准方程为一qv”

（2）设点M坐标为（x，y）,由M为C在第一象限的一个点，得x>0,y>0且|M周一|例闾=2；

又|岬|,忸月|M闾构成等差数列,所以阳国+|咋|=2阳闾=4c=8.

MFy-MF]=2〃JMF,\=5

MFt+MF2=8得[M鸟|=3,

又寓闾=4,所以忻闾?+|M欧=I6+9=25=L/,即加巴，耳鸟，所以y=3,

代入V-£=1得x=2,所以点M坐标为(2,3).

3

21.已知函数〃x)="Tn尤，a^R.

(1)若a=1,求函数〃x)的最小值及取得最小值时的x值；

e

(2)求证：Inx<eA-1;

⑶若函数/(x)4xe—(a+l)lnx对x«0,口)恒成立，求实数a的取值范围.

【详解】(1)解：当。=:时，〃x)=：x-lnx,定义域为(O,y),

所以:(同=£一］=受，令/'(司=0得丫=6,

所以，当xe(O,e)时，/'(x)<0,“X)单调递减；当xe(e,+a))时，户")>0,f(x)单调递增,

所以，函数在X=e处取得最小值，/(x)n.n=/(e)=O.

(2)解：由(1)知，当时，/(x)>0,即,xNlnx,

ee

所以，要证lnx<e*-1成立，只需证L<e*-l,x>0,

e

令g(x)=e*」x-l,x>0,则g<x)=e*」，

ee

所以，当xe(O,”)时，g'(x)=e，-：>0恒成立，

所以，函数8(%)=6'-9-1”>0为单调递增函数，

所以，g(x)>g(O)=O,GPex--x-l>0,

e

所以尤>0,

e

所以Inx<e"-1成立

(3)解：因为函数/(%)«Ae"-(a+l)lnx对％e(0,+oo)恒成立

所以xev-6Z(x+lnx)>0对XG(O,2)恒成立,

令力(X)二-q(x+Inx),x>0,则〃'(x)=(x+l)e*—Q(1+,)=(x+l)(er--),

当。=0时，h\x)=(x+l)e'>0,力(x)在(0,+8)上单调递增，

所以，由〃(x)=mv可得/z(x)>0,即满足Ae*-a(x+lnx)20对X€(0,m)恒成立;

当”<0时，则—a>0,〃(x)>0,/7(x)在(0,+e)上单调递增，

因为当x趋近于0+时，人(可趋近于负无穷，不成立，故不满足题意；

当a>0时，令〃'(x)=0得a=xex

令&(x)=e，-f,《(x)=e，+千>0恒成立，故2(x)在(0,+e)上单调递增，

因为当x趋近于正无穷时，左(力趋近于正无穷，当x趋近于0时.，Mx)趋近于负无穷，

所以抽«0,e)，使得/2'(%)=0,a=x0e",

所以，当x«0,%)时,h'(x)<0,〃(x)单调递减,当x«%,+oo)时,h'(x)>0,〃(x)单调递增，

所以，只需Mx)m.n=〃($)=.e—-a(0+In/)=(1—%—In/.0即可;

所以，1>x0+Inx0,

因为题=觉f，所以Inxo=lna-Xo，

所以lnXo+与=lna4l=Ine,解得0<a«e,

所以，ae(O,e],

综上，实数a的取值范围为[0,e]

22.在直角坐标系xOy中，曲线M的方程为y=J_