新高考数学一轮复习提升训练5.3 三角函数的性质（精讲）（解析版）

5.3三角函数的性质（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一值域【例1-1】（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的图象向左平移SKIPIF1<0个单位后关于直线SKIPIF1<0对称，则函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】函数SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位后的图象表达式为ySKIPIF1<0，该函数的图象关于直线SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：A【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的最大值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】C【解析】SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以原函数可化为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对称轴为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，所以函数的最大值为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故选：C【例1-3】（2021·河南南阳·高三期末）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：A.【例1-4】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内恰有两个最小值点，则SKIPIF1<0的范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，函数有最小值，令SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内恰有两个最小值点，SKIPIF1<0，所以有：SKIPIF1<0，故选：B【一隅三反】1．（2021·江苏泰州·高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：C.2．（2022·河南焦作·二模）已知函数SKIPIF1<0，若方程SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恰有5个实根，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，因为原方程在区间SKIPIF1<0上恰有5个实根，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函SKIPIF1<0，对于任意的x1，x2∈R，都有f(x1)+f(x2)-2SKIPIF1<0≤0，若f(x)在[0，π]上的值域为SKIPIF1<0，则实数ω的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】f(x)=asinωx+cos(ωx-SKIPIF1<0)=asinωx+cosωxcosSKIPIF1<0+sinωxsinSKIPIF1<0=(SKIPIF1<0+a)sinωx+SKIPIF1<0cosωx=SKIPIF1<0·sin(ωx+φ)，其中tanφ=SKIPIF1<0.对于任意的x1，x2∈R，都有f(x1)+f(x2)-2SKIPIF1<0≤0，即f(x1)+f(x2)≤2SKIPIF1<0，当且仅当f(x1)=f(x2)=f(x)max时取等号，故2SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0，解得a=1或a=-2(舍去)，故f(x)=SKIPIF1<0sinωx+SKIPIF1<0cosωx=SKIPIF1<0sin(ωx+SKIPIF1<0).因为0≤x≤π，所以SKIPIF1<0≤ωx+SKIPIF1<0≤ωπ+SKIPIF1<0.又f(x)在[0，π]上的值域为[SKIPIF1<0]，所以SKIPIF1<0≤ωπ+SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0≤ω≤SKIPIF1<0.故选：B.考点二伸缩平移【例2-1】（2022·河南洛阳·模拟预测（文））已知曲线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，为了得到曲线SKIPIF1<0，则对曲线SKIPIF1<0的变换正确的是（

）A．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移SKIPIF1<0个单位长度B．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移SKIPIF1<0个单位长度C．先把横坐标缩短到原来的SKIPIF1<0倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移SKIPIF1<0个单位长度D．先把横坐标缩短到原来的SKIPIF1<0倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移SKIPIF1<0个单位长度【答案】C【解析】A.先把曲线SKIPIF1<0上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得SKIPIF1<0的图象，再把得到的曲线向右平移SKIPIF1<0个单位长度得SKIPIF1<0的图象，A错；B.先把曲线SKIPIF1<0上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得SKIPIF1<0的图象，再把得到的曲线向左平移SKIPIF1<0个单位长度得SKIPIF1<0的图象，B错；C.先把曲线SKIPIF1<0上点的横坐标缩短到原来的SKIPIF1<0倍（纵坐标不变），得SKIPIF1<0的图象，再把得到的曲线向右平移SKIPIF1<0个单位长度得SKIPIF1<0的图象，C正确；D.先把曲线SKIPIF1<0上点的横坐标缩短到原来的SKIPIF1<0倍（纵坐标不变），得SKIPIF1<0的图象，再把得到的曲线向左平移SKIPIF1<0个单位长度得SKIPIF1<0的图象，D错误；故选：C．【例2-2】（2022·全国·高三专题练习）将函数SKIPIF1<0的图象向左平移a(a>0)个单位长度得到函数g(x)=cos2x的图象，则a的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．π【答案】B【解析】将函数f(x)=sin(2x-SKIPIF1<0)的图象向左平移a(a>0)个单位长度，可得函数y=sin[2(x+a)-SKIPIF1<0]=sin[2x+(2a-SKIPIF1<0)]的图象，所以y=sin[2x+(2a-SKIPIF1<0)]的图象与g(x)=cos2x的图象重合.因为g(x)=cos2x=sin(2x+SKIPIF1<0)，所以2a-SKIPIF1<0=2kπ+SKIPIF1<0，k∈Z，即a=kπ+SKIPIF1<0，k∈Z.当k=0时，可得amin=SKIPIF1<0.故选：B.【一隅三反】1．（2022·陕西）已知函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，若将其图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则SKIPIF1<0的图象（

）A．关于点SKIPIF1<0对称 B．关于SKIPIF1<0对称 C．关于点SKIPIF1<0对称 D．关于SKIPIF1<0对称【答案】A【解析】依题意SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，将函数向左平移SKIPIF1<0个单位长度得到SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0关于坐标原点对称，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以函数关于SKIPIF1<0对称，又SKIPIF1<0，所以函数关于SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0，所以函数关于SKIPIF1<0对称；故选：A2．（2022·湖北·一模）函数SKIPIF1<0，先把函数SKIPIF1<0的图像向左平移SKIPIF1<0个单位，再把图像上各点的横坐标缩短到原来的SKIPIF1<0，得到函数SKIPIF1<0的图像，则下列说法错误的是（

）A．函数SKIPIF1<0是奇函数，最大值是2B．函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增C．函数SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称D．π是函数SKIPIF1<0的周期【答案】B【解析】SKIPIF1<0，把函数SKIPIF1<0的图像向左平移SKIPIF1<0个单位，得SKIPIF1<0，再把图像上各点的横坐标缩短到原来的SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以可知SKIPIF1<0是奇函数，最大值是2，最小正周期为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0也是函数SKIPIF1<0的对称轴，所以错误的选项为B.故选：B.3．（2022·全国·模拟预测）若将函数SKIPIF1<0的图象分别向左平移SKIPIF1<0个单位长度与向右平移SKIPIF1<0个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度得SKIPIF1<0SKIPIF1<0的图象,向右平移SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）个单位长度得SKIPIF1<0SKIPIF1<0的图象,由题意得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）又SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0,故选：A考点三三角函数的性质【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列函数中，以SKIPIF1<0为最小正周期的函数有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【解析】SKIPIF1<0，其最小正周期为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0故选：BD【例3-2】（2020·河南）已知函数SKIPIF1<0的图象与函数SKIPIF1<0图象的对称中心完全相同，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】C【解析】由已知SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的对称中心为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的对称中心为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C【例3-3】（2022·四川·泸县五中二模（文））将SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位后得到SKIPIF1<0的图象，则SKIPIF1<0有（

）A．为奇函数，在SKIPIF1<0上单调递減B．为偶函数，在SKIPIF1<0上单调递增C．周期为π，图象关于点SKIPIF1<0对称D．最大值为1，图象关于直线SKIPIF1<0对称【答案】D【解析】将函数SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位后，得到函数SKIPIF1<0的图象.SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减，故A不正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0不单调，故B错误；SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故C错误；g（x）最大值为1，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0，为最小值，故SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，故D正确，故选：D．【例3-4】（2022·山东青岛·一模）已知函数SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0的图象先向左平移SKIPIF1<0个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数SKIPIF1<0的图象，若SKIPIF1<0图象关于SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象先向左平移SKIPIF1<0个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列函数中，图象为轴对称图形的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【解析】A.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是偶函数，函数图象关于y轴对称，故正确；B.因为SKIPIF1<0的对称轴方程为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对称轴方程为：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0图象不是轴对称图形，故错误；C.将SKIPIF1<0向左平移SKIPIF1<0个单位可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是偶函数，所以SKIPIF1<0是轴对称图形，故正确；D.因为SKIPIF1<0的对称轴方程为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对称轴方程为：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0图象不是轴对称图形，故错误；故选：AC2．（2022·北京西城·一模）将函数SKIPIF1<0的图象向右平移SKIPIF1<0个单位所得函数图象关于原点对称，向左平移SKIPIF1<0个单位所得函数图象关于SKIPIF1<0轴对称，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由函数SKIPIF1<0的图象向右平移SKIPIF1<0个单位，可得SKIPIF1<0，又由函数SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位，可得SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0关于原点对称，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0轴对称，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故选：D.3．（2022·北京·一模）已知函数SKIPIF1<0.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数SKIPIF1<0存在且唯一确定．(1)求SKIPIF1<0的解析式；(2)设SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调递增区间.条件①：SKIPIF1<0；条件②：SKIPIF1<0为偶函数；条件③：SKIPIF1<0的最大值为1；条件④：SKIPIF1<0图象的相邻两条对称轴之间的距离为SKIPIF1<0．注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)选择①④或③④均可得到SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【解析】(1)因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，显然当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0为奇函数，故②不能选，若选择①③，即SKIPIF1<0最大值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不能唯一确定，故舍去；若选择①④，即SKIPIF1<0图象的相邻两条对称轴之间的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；若选择③④，即SKIPIF1<0图象的相邻两条对称轴之间的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；(2)由（1）可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函数的单调递增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调递增区间有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；4．（2022·浙江浙江·二模）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的单调递增区间；(2)求函数SKIPIF1<0的值域．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)由SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0所以函数SKIPIF1<0的单调递增区间为：SKIPIF1<0(2)由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0考点四三角函数性质与其他知识的综合运用【例4-1】（2022·江苏苏州）若函数SKIPIF1<0在区间[0，π)内有且只有两个极值点，则正数ω的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有2个极值点，也即SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0取得一次最大值，一次最小值；又SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，要使得SKIPIF1<0满足题意，只需SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.【一隅三反】1．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上无极值，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．（0，5] B．（0，5）C．（0，SKIPIF1<0） D．（0，SKIPIF1<0]【答案】A【解析】由已知条件得SKIPIF1<0，∵函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上无极值，∴函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恒成立，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在此范围内SKIPIF1<0不成立；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0.2．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数SKIPIF1<0的部分图像如图所示，现将SKIPIF1<0的图像向左平移SKIPIF1<0个单位长度得到SKIPIF1<0的图像，则方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上实数解的个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】根据函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的部分图象，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，结合五点法作图，SKIPIF1<0