离散型随机变量及其分布列讲义 高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

离散型随机变量及分布列随机变量与离散型随机变量★☆☆1.随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.2．离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z.【微点拨】离散型随机变量的特征：(1)可以用数值表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；(3)试验结果能一一列出．离散型随机变量的分布列★★★若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．【性质】pi≥0(i＝1，2，…，n)；②eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))pi＝1．【微点拨】分布列的性质及其应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．两点分布★★★对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，eq\x\to(A)表示“失败”，定义X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，A发生，,0，\x\to(A)发生.))如果P(A)＝p，则P(eq\x\to(A))＝1－p，那么X的分布列如表所示．我们称X服从两点分布或0－1分布．X01P1－pp题型一：随机变量与离散型随机变量的判断及几何意义1．5件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（

）A．取到产品的件数 B．取到正品的概率C．取到次品的件数 D．取到次品的概率2．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示（

）A．甲赢三局B．甲赢一局C．甲、乙平局三次D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次3．写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．变式训练4．下列叙述中，是离散型随机变量的为（）A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和B．某人早晨在车站等出租车的时间C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性5．小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张用来买晚餐，用表示这两张金额之和，则的可能取值为．6．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；(2)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1，2，3，4，5现从该袋中随机取出3只球，被取出的最大号码数．题型二：离散型随机变量分布列的性质及应用7．设随机变量X的分布列为，，则的值为（

）A． B． C． D．8．已知离散型随机变量的分布列为12460.20.1则下列选项正确的是（

）A． B．若，则C．若，则 D．9．已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（

）A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4变式训练10．已知随机变量的分布列为，设，则（

）A． B． C． D．11．已知随机变量X的分布列为（），其中是常数，则（

）A． B．C． D．以上均不正确12．设随机变量的分布列为，则（

）A． B．C． D．题型三：求离散型随机变量的分布列求离散型随机变量X的分布列的步骤（其中）：第一步：确定随机变量X的可能性取值第二步：求出相应的概率第三步：列分布列13．一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（

）A． B． C． D．14．一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球，现不放回地随机从盒子中摸球，每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．15．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（1）求X的分布列；（2）若要求，确定n的最小值；16．据世界田联官方网站消息，原定于2023年5月13、14日在中国广州举办的世界田联接力赛延期至2025年4月至5月举行.据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2025年4月至5月在广州举行的米接力的角逐.接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和.(1)甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；(2)设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列.变式训练17．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.(1)求乙闯关成功的概率；(2)求甲编写程序正确的个数的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.18．甲盒中有3个黑球，3个白球，乙盒中有4个黑球，2个白球，丙盒中有4个黑球，2个白球，三个盒中的球只有颜色不同，其它均相同，从这三个盒中各取一球.(1)求“三球中至少有一个为白球”的概率；(2)设表示所取白球的个数，求的分布列.19．“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示，已知区间，，，上的频率依次成等差数列．（1）分别求出区间，，上的频率；（2）现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为生态文明建设知识宣讲员，用表示抽到作为宣讲员的年龄在的人数，表示抽到作为宣讲员的年龄在的人数，设随机变量，求的分布列．20．甲､乙两人玩抛骰子的游戏，双方约定：①通过一局“石头､剪刀､布”决定谁先抛骰子，获胜者先抛掷骰子，②每次抛两粒骰子，如果抛的两粒骰子点数和大于9，那么继续抛；否则对方抛.已知“石头､剪刀､布”甲获胜的概率为.(1)求第2次抛郑骰子的人是甲的概率；(2)记前3次抛骰子过程中甲抛骰子的次数为，求的分布列.21．在某次数学考试中，共有四道填空题，每道题5分.已知某同学在此次考试中，在前两道题中，每道题答对的概率均为，答错的概率均为；对于第三道题，答对和答错的概率均为；对于最后一道题，答对的概率为，答错的概率为.(1)求该同学在本次考试中填空题部分得分不低于15分的概率；(2)设该同学在本次考试中，填空题部分的总得分为，求的分布列.22．甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛，约定：随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，先获胜两局者为优胜者，比赛结束．已知每局比赛均无平局，且甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，乙赢丙的概率为．(1)若甲、乙两人打第一局，求比赛局数的概率分布列；(2)求甲成为优胜者的概率；(3)为保护甲的比赛热情，由甲确定第一局的比赛双方，请你以甲成为优胜者的概率大为依据，帮助甲进行决策．参考答案：1．C【分析】根据随机变量的定义可知.【详解】对于A，5件产品中有3件次品，从中任取2件，取到产品的件数是一个常量不是变量，BD也是一个定值，而C中取到次品的件数可能为0、1、2是随机变量.故选：C2．D【分析】根据题意，结合比赛得分规则，分析甲得3分的情况，即可求解.【详解】由题意知，甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，其中甲得3分，有两种情况：甲赢一局输两局，甲得分为3分；甲、乙平局三次，甲得分为3分.所以{ξ＝3}表示甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.故选：D.3．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）设所需的取球次数为X，求出X的取值及所表示的随机试验的结果可得答案；（2）设所取卡片上的数字之和为X，求出X的取值及所表示的随机试验的结果．.【详解】（1）设所需的取球次数为X，则X＝1，2，3，4，…，10，11，表示前次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1，2，3，4，…，11；（2）设所取卡片上的数字之和为X，则X＝3，4，5，6，7.表示“取出标有1，2的两张卡片”；表示“取出标有1，3的两张卡片”；表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”；表示“取出标有2，4的两张卡片”；表示“取出标有3，4的两张卡片”．4．C【分析】根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为，是常量，A错误；对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确；对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误.故选：C.5．6，11，15，21，25，30【分析】根据题意，结合表示两张金额之和，即可求得的可能取值，得到答案.【详解】由题意，随机变量的可能取值为6，11，15，21，25，30.其中，表示“抽到的是1元和5元”；表示“抽到的是1元和10元”；表示“抽到的是5元和10元”；表示“抽到的是1元和20元”；表示“抽到的是5元和20元”；表示“抽到的是10元和20元”．故答案为：6，11，15，21，25，30.6．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）先分析的可取值，然后分析每个取值对应的结果；（2）表示取出球的最大号码，先分析的可取值，然后分析每个取值对应的结果．【详解】（1）可取0，1，2，，表示取出的3个球中有0个白球，个黑球，，表示取出的3个球中有1个白球，个黑球，，表示取出的3个球中有2个白球，个黑球．（2）可取3，4，5，，表示取出的3个球的编号为1，2，3；，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5．7．A【分析】由分布列中所有概率和为1求解．【详解】由题意，．故选：A．8．ABD【分析】根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确；对于B中，若，可得，则，故B正确；对于C中，由概率的定义知，所以C不正确；对于D中，由，，则，所以D正确．故选：ABD.9．D【分析】根据变量间的关系，转化为，由两点分步求解.【详解】当时，由，所以.故选：D10．A【分析】根据离散型随机变量分布列的性质，求得参数值，结合互斥事件的概率公式，可得答案.【详解】由题意，则，解得，.故选：A.11．ABC【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】根据题意，随机变量的分布列为，则，解得，则.故选：ABC.12．AB【分析】利用随机变量分布列的概率和为，计算出值，判断出A正确；由且，可求出选项B，C，D中的的值，并分别计算出其概率．【详解】由题意，得，解得，故A正确；，故B正确；易知，故C错误；，故D错误；故选：AB．13．A【分析】由题意，令表示前k个球为白球，第个球为红球，此时，再进行计算即可求解．【详解】令表示前k个球为白球，第个球为红球，此时，则．故选：A．14．CD【分析】A选项，分析出所包含的情况，从而得到，BC选项，分析出所包含的情况，求出，D选项，利用的所有可能有，利用对立事件的概率公式求出.【详解】A选项，，分为第一次即取到黑球，或第一次摸到红球，第二次摸到黑球，或前两次均摸到红球，第三次摸到黑球，故，A错误；BC选项，，即第一次摸到白球，第二次摸到黑球，或前两次一次摸到红球，一次摸到白球，第三次摸到黑球，或前三次有两次摸到红球，一次摸到白球，第四次摸到黑球，故，B错误，C正确；D选项，的所有可能有，故，D正确.故选：CD15．（1）见解析.（2）见解析.（3）见解析.【分析】（1）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列；（2）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥0．5中n的最小值；（3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．【详解】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0．2，0．4，0．2，0．2，从而；；；；；；．所以的分布列为16171819202122（2）由（1）知，，故的最小值为19．16．(1)甲进入决赛的可能性最大(2)分布列见解析【详解】（1）解：由题意，甲队进入决赛的概率为，乙队进入决赛的概率为，丙队进入决赛的概率为，显然甲队进入决赛的概率最大，所以甲进入决赛的可能性最大.（2）解：由（1）可知：甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为，，，随机变量的可能取值为0，1，2，3，可得，，，所以的分布列为：012317．(1)0.648(2)分布列见解析，期望为，甲比乙闯关成功的概率要大.【详解】（1）记事件A为“乙闯关成功”，乙正确完成每个程序的概率为0.6，则（2）甲编写程序正确的个数的可能取值为，，故X的分布列为：0123甲闯关成功的概率，故甲比乙闯关成功的概率要大.18．(1)(2)分布列见解析【详解】（1）记甲、乙、丙盒中取一球为白球事件分别为，三球中至少有一球为白球记为事件，则；；.；（2）由题意可知，随机变量的可能取值为0，1，2，3.，，，.所以，随机变量的分布列如下：012319．（1）0.1，0.2，0.3；（2）分布列见解析；．【分析】（1）通过所给的频率，求出其余频率之和，借助前三个频率成等差数列可