(课件)特殊二次函数的图像

沪教版

九年级第一学期数学26.2特殊二次函数的图像第二十六章

二次函数

〔1〕你们喜欢打篮球吗？〔2〕你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球到达最高点时的高度？情景引入二次函数y=ax2的图象和性质x…-3-2-10123…y=x2…

…

你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?94101941.列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：24-2-40369xy

函数图象画法列表描点连线2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点〔x,y〕3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2

的图象．

二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，这条曲线叫做抛物线y=x2

，xyO-4-3-2-11234108642-2y=x2这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.

对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.24-2-4O369xyx…-3-2-10123…y=x2…9

4

1

0

1

4

9

…

问题1

从二次函数y=x2的图象你发现了什么性质？

在对称轴左侧，抛物线从左往右下降；在对称称轴的右侧，抛物线从左往右上升.顶点坐标是〔0，0〕，是抛物线上的最低点.抛物线y=ax2与y=-ax2的关系问题2观察以下图象，抛物线y=ax2与y=-ax2〔a>0)的关系是什么？二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.xyOy=ax2y=-ax2二次项系数a的绝对值大小与开口大小的关系解：分别填表，再画出它们的图象，如图x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········84.520.5084.520.584.520.5084.520.5例1

在同一直角坐标系中，画出函数的图象．xyO

－222464－48问题1

从二次函数开口大小与a的绝对值大小有什么关系？当a>0时，a的绝对值越大，开口越小.典例精析练一练：在同一直角坐标系中，画出函数的图象．x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5xyO－22－2－4－64－4－8当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.问题2

从二次函数开口大小与a的绝对值大小有什么关系？y＝ax2a>0a<0图象位置开口方向对称性顶点最值增减性开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0顶点坐标是原点〔0，0〕当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减归纳yOxyOx

1.函数y=2x2的图象的开口

,对称轴

,顶点是

;在对称轴的左侧，y随x的增大而

,在对称轴的右侧,y随x的增大而

.

2.函数y=－3x2的图象的开口

,对称轴

,顶点是

;在对称轴的左侧,y随x的增大而

,在对称轴的右侧,y随x的增大而

.向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)减小减小增大增大xyyxOO练一练3、如右图，观察函数y=〔k-1〕x2的图象,那么k的取值范围是.k>14、说出以下抛物线的开口方向、对称轴和顶点：开口方向对称轴顶点向上向下向下向上y轴y轴y轴y轴〔0,0〕〔0,0〕〔0,0〕〔0,0〕xyO观察图象,答复以下问题(1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？在同一坐标系中作出二次函数y=3x²和y=3(x-1)²的图象．

二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质二次函数y=-0.5x²,y=-0.5(x+1)2和y=-0.5(x+1)2-1的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?例画出函数y=-0.5〔x+1〕²-1的图像，指出它的开口方向、对称轴及顶点，抛物线y=-0.5x²经过怎样的变换可以得到抛物线y=-0.5〔x+1〕²-1？思考：二次函数y=-0.5(x+1)2-1的图象可以看作是抛物线y=-0.5x2先沿着x轴向左平移1个单位,再沿直线x=-1向上平移1个单位后得到的.二次函数y=-0.5(x+1)2-1的图象和抛物线y=-0.5x²,y=-0.5(x+1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?y=-½(x+1)²-1y=-½x²y=-½(x+1)²对称轴仍是平行于y轴的直线(x=-1);增减性与y=-0.5x2类似.

顶点是(-1,-1).开口向下,当x=-1时y有最大值:且最大值是-1.先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=0.5(x+1)2-1,会是什么样?在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x²和y=-3(x-1)2的图象二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x²,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1);增减性与y=-3x2类似.顶点分别是(1,2)和(1,-2).二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线y=-3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向上(或向下)平移2个单位后得到的.二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x²,y=-3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?

开口向下,当x=1时y有最大值:且最大值=2(或最大值=-2).yX=1与y=-3x²有关哟一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图象:y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位(当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.抛物线y=a(x-h)²+k有如下特点：〔1〕当a＞0时，开口向上;当a＜0时，开口向下；〔2〕对称轴是直线x=h；〔3〕顶点坐标是〔h，k〕。二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系变换步骤：向左平移1个单位向上平移1个单位向左平移1个单位向上平移1个单位二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)〔h，k〕〔h，k〕直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=-h时,最小值为k.当x=-h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

根据图形填表：yx例要修建一个圆形喷水池，在池中心竖立安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线型柱在与池中心的水平距离为1m处到达最高，高度为3m，水管应多长？点〔1、3〕是顶点，知道h=1，k=3，求出a就好啦!点〔3、0〕在抛物线上，求a没问题。解：如图建立直角坐标系，点（1、3）是顶点，设抛物线的解析式为Y=a（x-1）²+3（0≤x≤3）点（3、0）在抛物线上，所以有0=a（3-1）²+3∴a=-∴y=-（x-1）²+3（0≤x≤3）当x=0时，y=2.25，即水管应长2.25m。34341.指出以下函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:

2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?〔2〕二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二