专题13.12 全等三角形章末十三大题型总结（培优篇）（华东师大版）（原卷版）

专题13.12全等三角形章末十三大题型总结（培优篇）【华东师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1添加条件使成为全等三角形】 1【题型2判定全等三角形的依据】 2【题型3利用全等三角形的判定与性质证明线段或角度相等】 3【题型4利用全等三角形的判定与性质求线段长度或角的度数】 4【题型5利用全等三角形的判定与性质确定线段之间的位置关系】 5【题型6全等三角形在网格中的运用】 7【题型7全等三角形在新定义中的运用】 8【题型8全等三角形的实际应用】 10【题型9等腰三角形中分类讨论】 11【题型10双垂直平分线求角度与周长】 12【题型11角平分线与垂直平分线综合运用】 13【题型12尺规作图与证明、计算的综合运用】 15【题型13等边三角形的十字结合模型】 16【题型1添加条件使成为全等三角形】【例1】（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图，已知AB=CD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△CDA的是（

）

A．∠BCA=∠DCA B．∠BAC=∠DCA C．BC=AD D．∠B=∠D=90°【变式1-1】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）2022年冬季奥运会在我国北京举行，奥运健儿们敢于拼搏、善于拼搏，在奥运赛场上展现新时代中国运动员的精神风貌和竞技水平，请你添加一个条件，为奥运健儿设计一只与图1一样的鞋子，已知：AB=DF，∠ABC=∠DFE，写出可添加的条件并标明依据【变式1-2】（2023春·福建宁德·八年级统考期末）具备下列条件的两个三角形，可以证明它们全等的是(

).A．一边和这一边上的高对应相等 B．两边和第三边上的中线对应相等C．两边和其中一边的对角对应相等 D．直角三角形的斜边对应相等【变式1-3】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）在△ABC与△DEF中，下列各组条件，不能判定这两个三角形全等的是（

）A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DE，∠B＝∠E，∠A＝∠FC．AC＝DF，BC＝DE，∠C＝∠D D．AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F【题型2判定全等三角形的依据】【例2】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，已知太阳光线AC和DE是平行的，在同一时刻，如果将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，那么在太阳光照射下，其影子一样长．这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断△ABC≌△DFE的依据是(

)

A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【变式2-1】（2023春·福建福州·八年级校考期中）如图，将两根钢条AA'，BB'的中点O钉在一起，使AA'，BB'能绕点O自由转动，就做成一个测量工具，测

A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．斜边直角边【变式2-2】（2023春·福建福州·八年级校考期中）如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第块去．（填序号）

【变式2-3】（2023春·浙江台州·八年级校考期中）为了测量池塘两侧A，B两点间的距离，在地面上找一点C，连接AC，BC，使∠ACB=90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD=BC，得到△ABC≌△ADC，通过测量AD的长，得AB的长．那么△ABC≌△ADC的理由是（

）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS【题型3利用全等三角形的判定与性质证明线段或角度相等】【例3】（2023春·四川达州·八年级校考期末）如图，△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，AC和DB交于点M．

(1)△ABC与△DCB全等吗？为什么？(2)过点C作CE∥BD，过点B作BF∥AC，试判断【变式3-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，BD,CE都是△ABC的角平分线，BD交CE于点F，其中∠A=60°．(1)求∠BFC的度数；(2)求证：DF=EF.【变式3-2】（2023春·广西北海·八年级统考期中）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P是线段AB上一点，过点A作AE⊥CP交CP延长线于点E，过点B作BF⊥CP于点F．

(1)求证：△ACE≌△CBF；(2)线段AE、BF、EF有怎样的数量关系？请说明理由．【变式3-3】（2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图1，AB∥CD，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DE相交于点(1)证明：AE⊥DE；(2)如图2，过点E作直线AB，AD，DC的垂线，垂足分别为F，G，H，证明：EF=EG=EH；(3)如图3，过点E的直线与AB，DC分别相交于点B，C（B，C在AD的同侧）求证：E为线段BC的中点；【题型4利用全等三角形的判定与性质求线段长度或角的度数】【例4】（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB=DE，AB∥

(1)试说明：△ABC≌(2)若BE=10m，BF=3m，求【变式4-1】（2023春·江苏淮安·八年级校联考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是斜边AB的中点，若CD=3，则AB=【变式4-2】（2023春·陕西延安·八年级陕西延安中学校考期中）如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠AHE的度数为°．【变式4-3】（2023春·广东梅州·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，AE平分∠BAD且∠AED=90°，若CD=2AB，AD=18，则AB=．

【题型5利用全等三角形的判定与性质确定线段之间的位置关系】【例5】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）如图，在ΔABC和ΔADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接

(1)求证：ΔBAD≌(2)猜想BD,CE有何特殊位置关系，并说明理由．【变式5-1】（2023春·江西吉安·八年级统考期末）如图，BD=BC，点E在BC上，且BE=AC，DE=AB．(1)求证：△ABC≌△EDB；(2)判断AC和BD的位置关系，并说明理由．【变式5-2】（2023春·江苏南通·八年级校联考期中）如图，△ABC的两条高线BD、CE，延长CE到Q使CQ＝AB，在BD上截取BP＝AC，连接AP、AQ，请判断AQ与AP的数量与位置关系？并证明你的结论．【变式5-3】（2023春·甘肃陇南·八年级统考期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组拿了两个大小不同的等腰直角三角板进行拼摆，并探究摆放后所构成的图形之间的关系，如图1，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°,AB=AC,DE=DF．(1)勤奋小组摆出如图2所示的图形，点A和点D重合，连接BE和CF，求证：BE=CF．(2)超越小组在勤奋小组的启发下，把两个三角形板按如图3的方式摆放，点B，C，E在同一直线上，连接CF，他们发现了BE和CF之间的数量和位置关系，请写出这些关系，并说明理由．【题型6全等三角形在网格中的运用】【例6】（2023春·广西崇左·八年级统考期末）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=．

【变式6-1】（2023春·河南南阳·八年级统考期中）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【变式6-2】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，图形的各个顶点都在3×3正方形网格的格点上．则∠1+∠2=．【变式6-3】（2023春·吉林长春·八年级长春市第八十七中学校考期末）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAD+∠ADC=．【题型7全等三角形在新定义中的运用】【例7】（2023春·河北沧州·八年级统考期末）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，【变式7-1】（2023春·福建南平·八年级统考期中）定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，当∠BAC+∠DAE＝180°时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补中心”．（1）特例感知：在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，AM是“顶心距”．①如图2，当∠BAC＝90°时，AM与DE之间的数量关系为AM＝DE；②如图3，当∠BAC＝120°，ED＝6时，AM的长为．（2）猜想论证：在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明．【变式7-2】（2023春·四川遂宁·八年级统考期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图①中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE．则①∠BAD___________∠CAE（填>、＜或=）②连接线段BD和CE，则BD___________CE（填>、＜或=）(2)如图②，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE，若点D、点E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，则线段BD、【变式7-3】（2023春·山东淄博·八年级统考期中）根据全等图形的定义，我们把能够完全重合（即四个内角、四条边分别对应相等）的四边形叫做全等四边形．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．如图，已知，四边形ABCD和四边形ABCD中，AB=AB，BC=BC，B=B，C=C，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD≌四边形ABCD．下列四个条件：①A=A；②D=D；③AD=AD；④CD=CD；（1）其中，符合要求的条件是．（直接写出编号）（2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD≌四边形ABCD．【题型8全等三角形的实际应用】【例8】（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）小明沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD=165米．请根据上述信息求标语AB的长度为米．

【变式8-1】（2023春·福建南平·八年级统考期中）1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战.德军在莱茵河北岸点Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营.聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q处，然后他保持原来的观察姿态，一步一步后退，一直退到点B处，发现自己的视线恰好落在他刚刚站立的点O处，让士兵丈量他所站立的位置B点与O点之间的距离，并下令按照这个距离炮轰德军.试问：法军能命中目标吗？请说明理由.(注：AB⊥BQ，PO⊥BO，AB=PO，点B、O、Q在一条直线上)【变式8-2】（2023春·河北邢台·八年级校联考期末）如图，小明和小华住在同一个小区的不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小明在自己家阳台C处看点E的视角为∠HCE．小华站在E处眼睛F看AB楼端点A的视角为∠AFG．发现∠HCE与∠AFG互余，已知CH∥BD∥GF，BG=EF=1.5米，BE=GF=CD=20米，BD=50米．求单元楼AB的高度．

【变式8-3】（2023春·湖南长沙·八年级湖南师大附中统考期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，（2）如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB=AD，∠B+∠D=180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达经测量得到∠EAF=12∠BAD【题型9等腰三角形中分类讨论】【例9】（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）如图，△ABC中，∠ACB>120°，∠B=20°，D为AB边上一点（不与A、B重合），将△BCD沿CD翻折得到△CDE，CE交AB于点F．若△DEF为等腰三角形，则∠BCD为（

）

A．30° B．30°或60° C．50° D．30°或50°【变式9-1】（2023春·陕西渭南·八年级校考期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则它的底角为（

）A．35° B．55° C．55°或35° D．70°或35°【变式9-2】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，△ABC中∠ABC=40°，动点D在直线BC上，当△ABD为等腰三角形，∠ADB=．

【变式9-3】（2023春·山西运城·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，△AFD和△ABD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG，当△DFG为等腰三角形时，∠FDG的度数为．

【题型10双垂直平分线求角度与周长】【例10】（2023春·广西桂林·八年级统考期末）如图所示，点E、F是∠BAC的边AB上的两点，线段EF的垂直平分线交AC于D，AD的垂直平分线恰好经过E点，连接DE、DF，若∠CDF=α，则∠EDF的度数为（

）

A．α B．4α3 C．180°-2α3【变式10-1】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于（）A．6 B．7 C．8 D．12【变式10-2】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB=α，则∠AIB的大小为（

）

A．α B．14α+90° C．12【变式10-3】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为23

【题型11角平分线与垂直平分线综合运用】【例11】（2023春·湖南湘西·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有以下结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正确的有（

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．1个【变式11-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘,∠CAB的平分线交BC于点D,DE恰好是AB的垂直平分线，垂足为E．若AD=6，则

【变式11-2】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ACB的角平分线CF与BC的垂直平分线DE交于点O，连接OB．若∠ABO=20°

【变式11-3】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N．若AB=3，BC=7，则AM的长为【题型12尺规作图与证明、计算的综合运用】【例12】（2023春·河南郑州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)请用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点P，使得点P到点A和点B的距离相等；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）(2)在（1）的条件下，若AC=2，CB=5，则△CAP的周长是___________．【变式12-1】（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，连接AD．(1)请用直尺和圆规完成基本作图：作AD的垂直平分线EF交AD于点O，交AB于点E，交AC于点F，连接DE、DF；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）(2)求证：AE=DF．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．证明：∵AB=AC，D为BC中点，∴∠1=________．∵EF为AD的垂直平分线，∴∠AOE=∠AOF=90°，AF=DF又∵∠1+∠AOE+∠AEF=180°，∠2+∠AOF+∠AFE=180°，∴∠AEF=________．∴AE=________，∴AE=DF．【变式12-2】（2023春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校联考期末）如图，△ABC是