信号与系统第八章考研及期末考试

第8章离散傅里叶变换8.1离散傅里叶变换(DFT)定义8.2离散傅里叶变换的性质8.3用DFT计算线性卷积8.4频域采样8.5快速傅里叶变换(FFT)8.6FFT的应用1精选ppt从理论研究到工程实际LTI系统计算机可以处理的数据形式离散有限：存储、运算离散：存储空间、运算速度有限时域对离散化后的序列截断或加窗频域对离散信号的频谱〔周期〕加窗即只取用一个周期2精选ppt从理论研究到工程实际已有的理论根底时频域均离散3精选ppt8.1离散傅里叶变换的定义8.1.1离散傅里叶变换的定义从离散傅里叶级数DFS到离散傅里叶变换DFS变换对为：

由于对k和n都是以N为周期的，所以当也是以N为周期时。其本身时，可以利用DFS的周期性，只需要在时域和频域各取一个周期，计算一个周期，将所得结果进行周期延拓，即可以得到它们。是以N为周期时，那么和是无限长的，但在计算序列的频谱和

虽然4精选ppt

由于在DFS中，只用到一个周期的N个值，取它们的主值序列：x(n)(0≤

n≤N-1)和X(k)(0≤

k≤N-1)，等式依然成立，这就是离散傅里叶变换，即k=0,1,…,N-1

n=0,1,…,N-1

5精选pptk=0,1,…,N-1

DFT并不是一个新的傅里叶变换形式，只不过是将DFS变换对中的序列取主值，就得到了DFT，将DFT进行周期延拓就得到DFS，因此DFT隐含周期性。

DFT与DFS的关系：

有限长序列x(n)是非周期的，其频谱应该是连续的，但用DFT得到的x(n)的频谱是离散频谱，这是由于将有限长序列x(n)延拓成周期序列而造成的。n=0,1,…,N-1

8.1.2离散傅里叶变换〔DFT〕与离散傅里叶级数〔DFS〕的关系6精选ppt8.1.3DFT与DTFT和ZT变换的关系设x(n)是一个长度为N的有限长序列，那么x(n)的离散时间傅里叶变换为将Ω离散化，在0~2π上从0开始等间隔地取N个点，即即可得到离散傅里叶变换DFT。对X(Ω)进行均匀采样，1.DTFT和DFT的关系

X(k)是序列的傅立叶变换X(Ω)

的在区间[0,2π]上的N点等间隔采样，采样间隔为：ΩN=2π/N。7精选ppt为求DFT的反变换，将DFT两边乘以下面证明IDFT的唯一性并对k从0到N-1求和，得上式右边=Nx(n)n=0,1,…,N-18精选ppt2.DFT和Z变换的关系比较z变换与DFT变换，可见当设序列x(n)的长度为N，其z变换和DFT分别为：时，那么有

X(k)也是z变换在单位圆上的N点等间隔采样值，采样间隔为：9精选ppt10精选ppt例求x(n)=R4(n)的DTFT及16点和32点的DFT。解根据DTFT的定义得其频谱为连续的，如图(b)所示11精选ppt设变换区间N=16，那么，n=0,1,…,15根据DFT的定义得

12精选ppt图6-1DFT与DTFT的关系图6-1(c)为16点DFT的频谱〔实线〕，是离散的，实际上是对DTFT连续频谱离散化的结果，虚线是DTFT的频谱。图6-1(d)为32点DFT的频谱〔其DFT变换省略〕。13精选ppt解：例14精选pptk＝1时，k≠1时，k＝7时，k≠7时，15精选pptX(0)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=X(6)=0当k=7时，当k=1时，16精选ppt解：17精选ppt18精选pptX(0)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=X(6)=0当k=7时，DFT一般为复数当k=1时，19精选ppt解：例20精选ppt和分别为和的N点DFT.假设和是两个有限长度序列，长度分别为和，那么其线性组合的N点DFT为1.线性性质8.2离散傅里叶变换的性质21精选ppt当k的取值不受限制时，X(k)以N为周期。2.DFT的隐含周期性22精选ppt设x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为NX(k)=DFT[x(n)]那么DFT[x*(n)]=X*(N-k),0≤k≤N-1且X(N)=X(0)3.复共轭序列的DFT证明：又由X(k)的隐含周期性有X(N)=X(0),它的末点就是它的起始点。用同样的方法可以证明

DFT[x*(N-n)]=X*(k)23精选ppt4.DFT的共轭对称性有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列：xep(n)=x*ep(N-n),0≤n≤N-1有限长共轭反对称序列：xop(n)=-x*op(N-n),0≤n≤N-1DFT的对称性是关于N/2点的对称性。注意：X(k)也是序列，对X(k)也成立。有限长共轭对称序列有限长共轭反对称序列24精选ppt4.DFT的共轭对称性有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列：xep(n)=x*ep(N-n),0≤n≤N-1有限长共轭反对称序列：xop(n)=-x*op(N-n),0≤n≤N-1DFT的对称性是关于N/2点的对称性。注意：X(k)也是序列，对X(k)也成立。N/2左边N/2右边当N为偶数时，将上式中的n换成

可得到25精选ppt

任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即

x(n)=xep(n)+xop(n),0≤n≤N-1

将上式中的n换成N-n，并取复共轭，可得

x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n)=xep(n)-xop(n)

xep(n)=x*ep(N-n),0≤n≤N-1xop(n)=-x*op(N-n),0≤n≤N-126精选ppt1)如果x(n)=xep(n)+xop(n)，0≤n≤N-1其中4.DFT的共轭对称性27精选ppt2)如果x(n)=xr(n)+jxi(n)28精选ppt其中Xep(k)=DFT[xr(n)],是X(k)的共轭对称分量;

Xop(k)=DFT[jxi(n)],是X(k)的共轭反对称分量。29精选ppt用同样的方法可以证明具有共轭反对称性证明了Xep(k)=DFT[xr(n)]是X(k)的共轭对称分量。实际上30精选ppt设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFT[x(n)]，对于纯实数序列，x(n)=xr(n)，X(k)只有共轭偶对称局部，即X(k)=Xep(k)，说明实数序列的DFT满足共轭对称性，故X(k)=X*(N-k)，0≤k≤N-1DFT[x(n)]=DFT[xr(n)]=X(k)=Xep(k)=X*ep

(N-k)=X*(N-k)3)实信号DFT的共轭对称性31精选ppt

X(k)=X*(N-k)，0≤k≤N-1，利用这一特性，只要知道一半数目的X(k)，就可得到另一半的X(k)，这一特点在DFT运算中可以加以利用，以提高运算效率。4)DFT的共轭对称性的意义

一次DFT变换两个实序列。将两个实序列，构成新序列x(n)如下：

x(n)=x1(n)+jx2(n)对x(n)进行DFT，得到

X(k)=DFT[x(n)]=Xep(k)+Xop(k)

由

Xep(k)=DFT[x1(n)]=1/2[X(k)+X*(N-k)]

Xop(k)=DFT[jx2(n)]=1/2[X(k)-X*(N-k)]

得

X1(k)=DFT[x1(n)]=1/2[X(k)+X*(N-k)]

X2(k)=DFT[x2(n)]=-j1/2[X(k)-X*(N-k)]

32精选ppt5．DFT的对偶性设长度为N的序列的DFT为，那么33精选ppt对应于DTFT的平移对应于DFT的移位m＝1m＝3m＝2圆周移位序列6.DFT的圆周〔循环〕移位性质34精选ppt循环移位示意图右移出去的m个数据从左边补进来，数据不少，只是重新排队。35精选ppt36精选ppt时域循环移位特性假设时域序列的圆周位移的DFT为原来的DFT乘以一个因子那么N为偶数时

假设那么37精选ppt频域循环移位特性假设那么在频域的频移l，那么IDFT在时域x(n)乘以一个假设那么38精选ppt假设x(n)和h(n)均为N点有限长序列，且那么N点的圆周卷积x(n)和h(n)都需是N点定义为圆周卷积两序列循环卷积的长度为N。7．DFT的时域离散圆周卷积定理39精选ppt用DFT计算循环卷积那么由时域循环卷积定理有Y(k)=DFT[y(n)]=X1(k)X2(k),0≤k≤N-1y(n)=IDFT[Y(k)]当L很大时,在频域计算提高了运算速度。40精选ppt圆周卷积的计算特点圆卷积只在区间内进行，圆卷积结果也为

N点有限长序列。x(m)是把x(n)变量代换后的N点序列，是把h(n

)变量代换、圆反转、圆移位后，取其前N个点后的N点序列。对每一个n点圆移位，先计算对应各个m点的乘积，再对范围内的全部乘积求和。每一个n点圆周卷积的计算包括：变量代换、圆反转、圆移位、相乘、求和共5个步骤。以4点圆周卷积为例，全部过程可以用矩阵表示为：41精选ppt时域圆周卷积定理圆周卷积5个步骤的图解举例：

变量代换—圆反转—圆移位—相乘—求和

例用图解法求有限长序列的4点圆卷积。解〔1〕变量代换x[n]、h[n]的变量置换为m，有〔2〕圆反转把h[m]圆反转为

〔3〕圆移位—相乘—求和42精选ppt时域圆周卷积定理解〔3〕圆移位—相乘—求和1234412342612相乘求和

圆周卷积线性卷积43精选ppt时域圆周卷积定理求和

44精选ppt圆周卷积5个步骤的图解举例：变量代换—圆反转—圆移位—相乘—求和

例求有限长序列的4点圆卷积。解：45精选ppt46精选ppt例用时域卷积定理求有限长序列的4点圆卷积。解47精选ppt假设那么8．DFT的频域离散圆周卷积定理48精选ppt实际问题多数是求解线性卷积，如信号x(n)通过系统h(n)，其输出就是线性卷积y(n)=x(n)*h(n)。而循环卷积比起线性卷积，在运算速度上有很大的优越性，它可以采用快速傅里叶变换〔FFT〕技术，假设能利用循环卷积求线性卷积，会带来很大的方便。现在我们来讨论上述x(n)与h(n)的线性卷积，如果x(n)、h(n)为有限长序列，那么在什么条件下能用循环卷积代替而不产生失真。8.3用DFT计算线性卷积49精选ppt(1)

有限长序列线性卷积与循环卷积的关系线性卷积：循环卷积为：8.3用DFT计算线性卷积50精选ppt有限长序列x(n)为循环卷积为：51精选ppt即52精选ppt如果两个序列的长度分别为N和M，线性卷积后的长度为N+M-1，因此，如果循环卷积的长度L<N+M-1，那么，yl(n)周期延拓后，必然有一局部非零序列值要重叠，出现混叠现象。只有L≥N+M-1时，才不会产生混叠，此即循环卷积等于线性卷积的条件。(2)

循环卷积等于线性卷积的条件(3)

用DFT计算线性卷积的方法如果两个序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M，取L=N+M-1作为循环卷积的长度；在h(n)后补上L-N个零值点；在x(n)后补上L-M个零值点。53精选ppt－3－2－1012N1-1序号计算结果1234000x[m]1234000123h[0-m]y[0]=1×4＝4123400012h[1-m]y[1]=1×3+2×4＝1112340001h[2-m]y[2]=1×2+2×3+3×4＝201234000h[3-m]y[3]=1×1+2×2+3×3+4×4＝300123400h[4-m]y[4]=2×1+3×2+4×3＝200012340h[5-m]y[5]=3×1+4×2＝110001234h[6-m]y[6]=4×1＝4N1N2-1线性卷积上例线性卷积过