博弈论在因子加权中的应用

博弈论基本概念多因子组合一般使用IC(均值)加权、IC_IR加权、因子等权等方法构造。本篇报告将博弈论的方法应用于多因子加权，为每个因子分配权重。关于博弈论在证券投资中的应用，我们在研究报告《组合配置新思路——博弈论视角的风格与行业轮动》中有详细介绍，在此做简要回顾。在证券投资中，博弈论的研究对象是能够定量化的资产，例如具体证券、指数或者因子，而不是形象化的投资者。博弈论中有参与者、策略(参与者的决策选项)、支付函数(参与者从博弈中获得的收益)、均衡等概念，以下举例介绍。参与者与策略在表1所示的博弈中，有估值因子、市场基准两个参与者，估值因子的目标是能够战胜市场基准，市场基准的目标则相反，是战胜估值因子。估值因子有两个策略：BP和SP，也就是估值因子可以通过选择合适的策略(细分因子)来实现它战胜市场的目标。市场基准也有两个策略，上涨和下跌，即市场基准可以通过选择不同的市场状态来战胜估值因子。1是这个博弈的收益矩阵，其中的数字是估值因子的博弈收益。假定这是一策略、市场基准0.9687，则市场基准的收益为-0.9687。表1中的博弈设定具有灵活性，例如估值因子可以使用其他策略或更多策略(更多细分因子)，市场基准也可以使用其他策略，例如波动水平，或其他能够刻画市场状态的分类方法。表1博弈论的主要概念参与者市场基准估值因子策略上涨下跌BP(净资产/市值)0.96871.4257SP(营业收入/市值)0.96511.2557资料来源：研究所非合作博弈与纳什均衡纳什均衡是非合作博弈中的概念。在一个博弈中，如果在其他参与者策略确定的情况下，每一位参与者当前的策略都是最优的，参与者没有动机改变当前策略，这个策略组合就被称为纳什均衡。证券研究报告发送给东方财富信息股份有限公司。版权归所有，请勿转发。p3根据纳什定理，在参与者有限且策略数量有限的博弈中纳什均衡一定存在，但存在的可能是混合策略纳什均衡。混合策略是指博弈的参与者可以以某种概率分布随机地选择多个策略；相对应地，纯策略是指参与者只能选择一个策略。1其中的一个，就是纯策略；如和1、市场基准选择上涨，0.9687，BP100%，这是一个纯策略纳什均衡。合作博弈与Shapley值在一个合作博弈中，如果有𝑁个参与者，参与者之间可以结成联盟，则联盟的数量为2𝑁个(含空集)，每个联盟的收益被称为特征函数。如果知道每个参与者联盟(既包括单个参与者，也包括多个参与者的组合)的特征函数(收益贡献)，那么可以通过Shapley值规则在参与者之间进行利益分配。对于投资来说，就是根据资产组合的收益分配各个资产的权重。Shapley值越大，参与者分配得到的利益越多，资产的权重越高。参与者𝑖的Shapley值𝜑𝑖(𝑣)的计算公式为(𝒏−|𝑺|)!(|𝑺|−𝟏)!𝝋𝒊(𝒗)=∑𝒊∈𝑺

𝒏! [𝒗(𝑺)−𝒗(𝑺\{𝒊})]其中|𝑆|表示联盟𝑆中参与者的个数，𝑣(𝑆)为联盟𝑆的收益，𝑣(𝑆\{𝑖})为联盟𝑆中剔除参与者𝑖之后的收益，则[𝑣(𝑆)−𝑣(𝑆\{𝑖})]表示参与者𝑖在它所参与的联盟𝑆中做出的边际贡献，联盟𝑆存在的概率为(𝑛−|𝑆|)!(|𝑆|−1)!。𝑛!Shapley值的直观解释是参与者𝑖获得的分配等于它对各个联盟的边际贡献的概率加权值，衡量的是参与者的不可或缺性。我们以A、B、C三只股票形成的合作博弈进行说明。三只股票共有23=8种投资组合形式，假定每个股票组合的收益是已知的，如表2所示，现在需要分配三只股票的权重。股票权重分配规则可以有很多种，我们按Shapley值的规则计算。表2Shapley值规则示例股票组合(𝑆)∅ABCA+BA+CB+CA+B+C组合收益(𝑣)00000111Shapley值-1/61/62/3----资料来源：研究所证券研究报告发送给东方财富信息股份有限公司。版权归所有，请勿转发。p4以股票A为例，它存在于其中的股票组合(𝑆)共有A、A+B、A+C、A+B+C四种。当股票A在𝑆中时，以及股票A不在𝑆中时的组合收益都已知时，可以直接计算股票A的Shapley值：𝜑(𝑣)=(3−1)!(1−1)!(0−0)!+3−2)!(2−1)!(0−0)!+3−2)!(2−1)!(1−0)!+A 3!

3! 3!(3−3)!(3−1)!(1−1)!=1。3! 6CShapley1/62/3。Shapley值的相对占比就是各自的权重。非合作博弈与合作博弈结合无论是应用于选股还是因子加权，或者其他投资标的，最终的目标都是要在合作博弈中通过Shapley值规则计算资产权重。在表2的例子中，各个股票组合的收益是最关键的变量，我们假设它是已知的，因此可以直接计算权重。但在实际投资中股票组合收益并不容易获得，往往需要预测。(组合收益)Shapley值规则根据组合收益计算每个资产的权重。过程示意如下：图1博弈论方法应用过程资料来源：研究所证券研究报告发送给东方财富信息股份有限公司。版权归所有，请勿转发。p5博弈的参与者与策略77因此总结起来就是：大类因子=博弈参与者，细分因子=参与者的策略，这和将细分因子合成为大类因子在逻辑上是相通的。例如对于作为参与者的盈利能力因子来说，净资产收益率和毛利率是它的两个具体策略。盈利能力因子在与市场基准博弈时，为了能够战胜市场基准，它可能只使用净资产收益率，或者只使用毛利率，或者以不同权重同时使用两个指标。23当将因子看做资产时，因子的收益风险特征可以使用因子收益率、因子IC等指标表征；因子在使用时做去极值、z-score标准化、行业和市值中性处理。由于Shapley值的计算结果均为正数，无法体现负值的因子权重，因此在计算前需要先调整因子的收益方向。表3大类因子与细分因子大类因子(参与者)细分因子(策略)因子方向规模总市值、自由流通市值反向估值净资产/市值、营业收入/市值正向动量20日动量、60日动量反向成长单季营业收入增长率、单季净利润增长率正向波动20日波动率、120日波动率反向流动性20日换手率、120日换手率反向盈利能力净资产收益率、毛利率正向资料来源：研究所博弈的另一方参与者是市场基准指数，市场基准的策略选择有一定灵活性，一般来说市场状态分类变量都可以作为策略，例如市场的上涨或下跌、低波动或高波动等特征分类。证券研究报告发送给东方财富信息股份有限公司。版权归所有，请勿转发。p6博弈的收益矩阵因子加权选股组合的目标是战胜市场基准，因此将博弈的一方设定为大类因子，另一方设定为市场基准指数。市场基准的策略实际上起到了情景分析的作用，刻画了因子在不同市场情景下的表现。例如低估值因子在市场下跌时可能有正向超额收益，在市场上涨时可能有负向超额收益。这一情景分析的特点是传统的因子加权方法所不具备的。衡量博弈结果需要有具体的收益度量指标。收益度量可以使用因子收益率或因子IC值，从回测表现来看两者没有太大区别。收益矩阵收益矩阵是计算因子博弈收益的基础。16生成收益矩阵时，首先选定过去𝑁日长度的历史周期，对历史周期内的市场基准指数根据其博弈策略对每个交易日进行状态分类，并聚合统计每个状态类别内每个因子的收益，就得到了收益矩阵。这一过程的灵活性很高，市场基准状态分类、因子收益度量、聚合统计方法都可以结合多种方式。图2收益矩阵的生成过程资料来源：研究所证券研究报告发送给东方财富信息股份有限公司。版权归所有，请勿转发。p7在Shapley值计算中要保证收益贡献≥0，但实际的因子收益可能为负。由于我们关注的是因子对市场基准的相对收益，对收益的绝对数值并不敏感，因此可以对全部因子的博弈收益减去最小值，最后得到非负的收益矩阵。根据市场涨跌进行状态分类，使用因子IC_IR度量收益，对不同状态分类内的因子收益用均值聚合，得到如下的收益矩阵。表4博弈的收益矩阵参与者市场基准策略上涨下跌规模总市值1.36391.0577自由流通市值1.22371.1635估值净资产/总市值0.96871.4257营业收入/总市值0.96511.2557动量20日动量1.79450.531960日动量1.67060.4526成长单季营业收入增长率1.09811.1550单季净利润增长率1.05151.0290波动20日波动率0.56701.8302120日波动率0.40441.7468流动性20日换手率0.21221.7889120日换手率0.00001.7729盈利能力净资产收益率1.05810.7204毛利率1.14920.8710资料来源：、研究所因子组合的收益矩阵表4的收益矩阵是每个因子与市场基准的博弈收益。但我们不仅要关注单个因子的收益矩阵，还要关注因子之间形成组合后的收益矩阵，这样才能更全面的评价因子组合后的效果。7个大类因子的组合形式共有27=128个，剔除一个空集后是127个。每一个组合都有类似表1的收益矩阵，再对每个收益矩阵计算纳什均衡。7下面以三个因子的组合为例介绍。首先三个因子组合共有𝐶3=35个，从中选择一个组合，例如规模、估值、成长3个因子，其中每个因子又有2个策略。它们所7证券研究报告发送给东方财富信息股份有限公司。版权归所有，请勿转发。p8形成的收益集合是规模、估值、成长3个因子的笛卡尔积，共有2×2×2=8种情况，将其作为新的收益矩阵。对新的收益矩阵表5计算纳什均衡，得到3个因子组合的博弈收益为3.4307。表5三个因子组合形成新的收益矩阵参与者市场基准策略上涨下跌规模、估值、成长3个因子组合总市值，净资产/总市值，单季营业收入增长率3.43073.6384总市值，净资产/总市值，单季净利润增长率3.38413.5124总市值，营业收入/总市值，单季营业收入增长率3.42713.4684总市值，营业收入/总市值，单季净利润增长率3.38053.3424自由流通市值，净资产/总市值，单季营业收入增长率3.29053.7442自由流通市值，净资产/总市值，单季净利润增长率3.24393.6182自由流通市值，营业收入/总市值，单季营业收入增长率3.28693.5742自由流通市值，营业收入/总市值，单季净利润增长率3.24033.4482资料来源：、研究所Shapley值规则计算因子权重按照上述方法计算全部128个因子组合形式的博弈收益，可以得到与表2形式相同的数据。在128个因子组合博弈收益的基础上可以计算Shapley值，Shapley值的相对占比就是因子权重。下面是基于示例数据的大类因子权重计算结果。表6Shapley值及大类因子权重大类因子规模估值动量成长波动流动性盈利能力Shapley值1.301.051.381.110.790.471.06因子权重18.13%14.71%19.31%15.50%10.99%6.56%14.79%资料来源：研究所除大类因子外，也可以进一步计算参与者博弈的策略，即细分因子的权重。本例中每个大类因子内部最后只选择了一个细分因子，即纯策略博弈。表7细分因子权重细分因子总市值BP20日动量单季度营业收入增长率20日波动率20日换手率毛利率因子权重18.13%14.71%19.31%15.50%10.99%6.56%14.79%资料来源：研究所证券研究报告发送给东方财富信息股份有限公司。版权归所有，请勿转发。p9博弈论因子加权组合效果我们使用博弈论的方法计算因子权重，得到多因子组合净值，观察超额收益的走势。博弈的收益使用因子IC_IR度量，市场状态的分类方式为上涨和下跌。同时也计算IC加权、IC_IR加权、因子等权三种组合进行对比，IC加权、IC_IR加权均使用过去12个月IC计算权重。800值使用标准化后的细分因子等权合成，选择加权大类因子值最高的100只股票，不2010/1/1-2023/11/20。保持因子方向不变我们首先保持表3中的因子方向不变，每月更新博弈论方法计算的因子权重，实际是在因子等权的基础上进行权重调整。加权，但低于因子等权组合；与因子等权组合相比，博弈论因子加权组合超额收益的波动幅度更低。图3博弈论因子加权(固定因子方向)超额收益资料来源：、研究所使用IC均值调整因子方向当保持因子方向不变时，博弈论因子加权组合的效果相当于在因子等权基础上进行权重调整，灵活性仍然不足。例如在2021年初，小盘股大幅跑输大盘股，如果始终保持小盘股的正向权重配置，超额收益就会出现明显回撤。证券研究报告发送给东方财富信息股份有限公司。版权归所有，请勿转发。p10我们借鉴加权的思路，在使用博弈论计算因子权重的同时，根据过去一段时均值的正负符号确定因子方向。回测显示博弈论因子加权组合的超额明显提升，2021年初的超额收益大幅回撤。图4博弈论因子加权(调整因子方向)超额收益资料来源：、研究所表8因子加权组合对中证800超额收益统计年份IC加权IC_IR加权因子等权博弈论加权(固定因子方向)博弈论加权(调整因子方向)2010年29.19%27.98%25.56%27.68%27.78%2011年-1.08%0.36%0.33%1.75%0.00%2012年1.47%1.95%6.43%1.51%0.97%2013年20.59%22.53%24.17%25.53%23.33%2014年5.21%10.47%8.72%13.26%16.69%2015年49.38%48.27%65.74%49.93%54.07%2016年11.60%12.34%17.06%17.23%15.52%2017年9.38%15.60%-0.01%4.82%14.29%2018年-0.27%0.10%4.85%3.72%1.70%2019年1.82%8.17%12.65%9.35%8.05%2020年32.87%35.23%10.02%10.25%37.61%2021年13.13%16.60%42.16%37.68%27.35%2022年7.71%8.86%13.64%9.39%13.26%2023年17.36%18.84%3.74%10.03%16.93%累计466.70%619.39%676.56%624.16%818.00%年化12.97%14.92%15.55%14.97%16.95%资料来源：、研究所，注：2023年超额收益为截至11月20日数据证券研究报告发送给东方财富信息股份有限公司。版权归所有，请勿转发。p11博弈论因子加权组合表现更优我们统计了各个因子加权组合按幅度排序的前5次超额收益最大回撤，以及组合波动情况。加权、(固定因子方向)、博弈论加权(调整因子方向)510.12%、10.91%、11.49%、9.92%、8.33%；平均回撤持续天数分别为102、107、119、99、52天。博弈论加权因子组合的超额收益稳定性明显更优。年化收益/年化收益/超额年化收益/年化收益/超额收益 持续天数组合年化收益年化波动年化波动超额最大回撤最大回撤开始日期结束日期(自然日)18.37%2014/11/62014/12/315512.29%2021/9/152022/4/28225IC加权13.37%25.73%0.520.738.93%2015/6/182015/7/7195.52%2011/8/52012/1/161645.50%2022/11/282023/1/164917.54%2014/11/62014/12/315511.09%2021/9/152022/4/28225IC_IR加权15.32%25.54%0.600.8710.58%2018/7/172019/1/311988.71%2015/6/242015/7/7136.63%2021/2/22021/3/164216.33%2014/10/282014/12/316413.86%2020/8/192021/2/10175因子等权15.95%25.54%0.620.9811.27%2017/9/142018/2/61458.63%2015/8/172015/9/15297.34%2022/11/92023/5/918114.80%2014/11/62014/12/315513.58%2020/8/102021/1/12155博弈论加权15.37%24.52%0.631.048.33%2017/10/102018/2/61196.92%2015/6/182015/7/7195.98%2018/5/242018/10/1614511.29%2014/11/62014/1