2023年广东省广州市高考数学二模试卷及答案解析

2023年广东省广州市高考数学二模试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.若a为实数，且行7=2-3则a=()

A.2B.1C.-1D.-2

2.已知集合4={%氏=3n一2,71€/7*},B={6,7,10,11},则集合力nB的元素个数为()

A.1B.2C.3D.4

3.已知两个非零向量出族满足|方|=3|B|，(a4-fo)1b>Kllcos(a,K)=()

A.1B.C.|D.-1

oo-1

4.己知a=33，b=25'c=43>则()

A.c<a<bB.b<c<aC.b<a<cD.c<b<a

5.木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为

一升制木升，某同学制作了一个高为40cm的正四棱台木升模型，己

知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm的球。的球面上，且

一个底面的中心与球。的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所

成二面角的正弦值为()

A2£2C学D

,3B|l

6.已知椭圆C：捻+*l(a>b>0),过点(―a,0)且方向量为用=的光线，经直线

y=-b反射后过C的右焦点，则C的离心率为()

A.IB.|C.ID.g

5345

7.己知函数/(x)=sm(2x+W)，若/(乃WIfljH恒成立，且/(兀)>/@)，则/(乃的单调递

增区间为()

A.［卜兀+看,/CTT+争(k6Z)B.［卜兀一看,k兀+6Z)

C.［/CTT—/C7T+GZ)D.他兀一冷,/C7T—骸k6Z)

8.已知偶函数/(x)与其导函数/'(x)的定义域均为R,且((x)+e-，+x也是偶函数，若

f(2a—1)<f(a+l),则实数a的取值范围是()

A.(-oo,2)B.(0,2)

C.(2,+oo)D.(-8,0)u(2,+8)

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%,第2台加工的次品率为3%,

第3台加工的次品率为2%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数

分别占总数的10%,40%,50%,从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是()

A.该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08

B.该零件是次品的概率为0.03

C.如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98

D.如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为

10.已知函数/"。)=1-黑的定义域是［a,0(a,beZ),值域为［0,1］,则满足条件的整数

对(a,b)可以是()

A.(-2,0)B.(-1,1)C.(0,2)D.(-1,2)

11.已知双曲线八/一y2=a2(a>o)的左，右焦点分别为6,尸2,过尸2的直线，与双曲线广

的右支交于点8,C,与双曲线厂的渐近线交于点4D(4B在第一象限，C,。在第四象限)，

。为坐标原点，则下列结论正确的是()

A.若BCJ-x轴，则ABCFi的周长为6a

B.若直线OB交双曲线厂的左支于点E,则BC〃EFi

C.AAOD面积的最小值为4a2

口.|4即+田尸1|的取值范围为(3见+8)

12.已知正四面体力-BCD的长为2,点M,N分别为△ABC和△力BD的重心，P为线段CN上

一点，则下列结论正确的是()

A.若4P+BP取得最小值，则CP=P/V

B.若CP=3PN,则DPI平面ABC

C.若DP工平面ABC,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为竽

D.直线MN到平面ZCD的距离为蜉

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.某班有48名学生，一次考试的数学成绩X(单位：分)服从正态分布N(80Q2),且成绩在

[80,90]上的学生人数为16,则成绩在90分以上的学生人数为.

14.已知neN*,(x-或)我的展开式中存在常数项，写出n的一个值为.

15.在数列九｝中，臼=2,am+n=am+an,若以%+1=440,则正整数/c=.

16.在平面直角坐标系％Oy中，定义d(4,B)=%一句+M-丫21为9(如丫2)两

点之间的“折线距离”.已知点Q(l,0),动点P满足d(Q,P)=：,点M是曲线y=受上任意一点,

则点P的轨迹所围成图形的面积为,d(P,M)的最小值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

nn

设先是数列｛an｝的前兀项和，已知=0,an+1+(-l)Sn=2.

(1)求％,a2;

(2)令%=an+1+2an,求星+b4+b6+…+b2n.

18.(本小题12.0分)

一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投

入x(单位：千万元)对每件产品成本y(单位：元)的影响，对近10年的年技术创新投入期和每

件产品成本%(i=1,2,3，…,10)的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：7=6,8,y=70,

求《=3,能+=1.6,比，=350.

xixi

,每件产品成本/元

250

200」

150.

100•

50•••

••••

2468101214

年技术创新投入/千万元

(1)根据散点图可知，可用函数模型y=：+a拟合y与x的关系，试建立y关于久的回归方程；

(2)已知该产品的年销售额m(单位：千万元)与每件产品成本y的关系为7n=-赛+黄+

缁+100.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据(1)

的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大?

(注：年利润=年销售额一年投入成本)

参考公式：对于一组数据(%,女),(u2,v2),...»Qn，%)，其回归直线廿=a+夕〃的斜率和截

距的最小乘估计分别为：0=:篝碧，a=~_p~.

19.(本小题12.0分)

记△48C的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosA—acosB=b—c.

⑴求A;

(2)若点。在BC边上，且CD=2BD,cosB=^tan^BAD.

20.(本小题12.0分)

如图，在直三棱柱ABC-ABiG中，AB=AC=AAr=3,点。是BC的中点，点E在上,

力。〃平面BC[E

(1)求证：平面BGEJ_平面BBiQC；

(2)当三棱锥B1-BGE的体积最大时，求直线ZC与平面BGE所成角的正弦值.

B

21.(本小题12.0分)

已知点尸(1,0),P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C.

(1)求C的方程；

(2)过点F的直线/与C交于4B两点，过点4且垂直于1的直线交x轴于点M,过点B且垂直于的

直线交x轴于点N.当四边形M4NB的面积最小时，求，的方程.

22.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)='(I+%)，9(x)=ax2+x-

(1)当%>—1时,/(x)<g(x),求实数a的取值范围；

111

(2)己知几GN”,证明：sin——+sin—r+—Fsin—<ln2.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：常=2-i,

则7+出=(3+i)(2-i)=7-i,解得a=-1.

故选：C.

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数相等的条件，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：A={x\x=3n-2,neN*}={1,4,7,10,13,16

B={6,7,10,11),

则集合AnB={7,10},

故对应的元素个数为2个.

故选:B.

根据集合的基本运算进行求解即可.

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：设cos(方,石)为。，

(a+b)13，

则m+B).方=行小+/=0-

•••|a|=3|K|.

\a\\b\cos0+|b|2=0>BP3|K|2cos0+|ib|2=0>解得cos。=-

故选：D.

根据已知条件，结合平面向量垂直的性质，即可求解.

本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：a=3窘b=2^'c=43=23'

32

->3

4J=2、为增函数，

b>

c=:

4

12>912

DI=6561>512=2=b,

a

a>b>c.

故选：D.

利用指数函数的性质比较a,b,c的大小可得答案.

本题考查指数函数的单调性质及其应与，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：由题意作出正四棱台如图所示，。为正四棱台底面的中心，也是球的球心,

N是上底面的中心，取E,M分别为BiQ,BC的中点，连接NE,EM,0M,

过E作EF10M于F,

•••0C=0B,0M1BC,又0N1BC,又OMCON=0,

BC!_平面。NEM,ABCVEM,

•••NOME为二面角E-BC-4的平面角，

由球的半径为50,高为40,由勾股定理可得NB]=30,

进而可得NE==；x30H=15。，OM=；BC=gx50。，

MF=25c-15AT2=lO/l,，EF=40,

EM=I402+(IOAT^)2=30y/~2>

.EF402/7

.­.sinz£MO=—=^==—.

故选：A.

由题意作出正四棱台，。为正四棱台底面的中心，也是球的球心，N是上底面的中心，取E,M分

别为BiG，BC的中点，连接NE,EM,OM,过E作EF1OM于F,可得NOME为二面角E-BC-4

的平面角，求解可得正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值.

本题考查求二面角的正弦值的求法，属中档题.

6.【答案】A

【解析】解：由题意可得方向向量为元=(1,-1)的光线的斜率为-1,

直线y=-b,平行于x轴，故由反射定律知，AAMF为等腰直角三角形，

二;(a+c)=b,a2+2ac+c2=4b2=4(a2—c2),

:.3a2—2ac—5c2=0.(3a-5c)(a+c)=0,

•••3a—5c=0>e=£=

a5

故选:A.

根据题意可得+c)=b,计算可得C的离心率.

本题考查直线与椭圆的位置关系，考查推理论证能力，属中档题.

7.【答案】D

【解析】解：函数/(x)=sin(2x+«P)，其中W为实数，若-x)〈lf《)l，对xeR恒成立,

则：》为函数/(%)的对称轴，

，2•j+w=kn+不fcEZ,(p=kn—2,kWZ,

□Zo

由于/（兀）>/（令，・•・sincp>coscp,

不妨取W=?,

o

即：/(%)=sin(2x+金，

令：2/CTT—彳42%+—42/CTT+彳，kWZ,

26L

解得：/C7T—^<X</C7T—kEZ,

3o

则/(x)的单调递增区间为伏兀一—k&z.

故选：D.

首先根据已知条件求出函数的解析式，进一步利用整体思想求出函数的单调区间.

本题考查三角函数解析式的确定，函数单调区间，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解:因为为偶函数，则/。)=/(-%),等式两边求导可得尸。)=一尸(一为,①

因为函数/'(%)+。-"+x为偶函数，则/'(%)+。-*+%=/(一%)+e”一%,②

联立①②可得/'(X)=丝产-X,

令g(x)=f'(x)，则g'(x)=竺竽」-1>Vex-e~x-1=0,且g'(x)不恒为零，

所以函数g(x)在R上为增函数，即函数((x)在R上为增函数，

故当x>0时，f(x)>f'(0)=0,所以函数/'(x)在［0,+8)上为增函数，

由/(2a-1)<f(a+1),可得f(|2a-1|)</(|a+1|),

所以|2a-4<|a+1|,整理可得a2-2a<0,解得0<a<2.

故选:B.

由偶函数的定义结合导数可得出r(x)=-r(-x),由己知可得出(。)+e-x+*=<(-%)+/一

x,可求出/'(X)的表达式，利用导数分析函数/'(X)的单调性，可知函数f(x)在［0,+8)上为增函数，

再由/(2a-1)<f(a+1)可得出/'(|2a-1|)<f(\a4-1|),可得出关于实数a的不等式,解之即可.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数奇偶性的性质，考查运算求解能力，属于中档题.

9.【答案】BC

【解析】解：根据题意，设B="任取一个零件为次品"，4="零件为第i个车床加工”，(i=1、

2、3),

依次分析选项：

对于4,该零件是第1台车床加工出来的次品的概率Pi=P(4i)P(8Mi)=10%x8%=0.008,A

错误；

对于B,P(于=+P(A2)P(B\A2)+P(713)P(B|X3)=10%x8%+40%x3%+

50%X2%=0.008+0.012+0.01=0.03,B正确；

对于C,第3台加工的次品率为2%,则如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概

率2=1-2%=0.98,C正确；

对于D,如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率P(&|B)=与翳=琛鬻=

ryD)U.UJJ

则它不是第3台车床加工出来的概率为1-P(4|B)=|,。错误.

故选：BC.

根据题意，设8=”任取一个零件为次品"，4="零件为第i个车床加工"，(i=l、2、3),由

条件概率、全概率公式依次分析选项，综合可得答案.

本题考查概率的计算，涉及条件概率和全概率公式，属于基础题.

10.【答案】ACD

【解析】解：X丰0时，设g(x)=因+高4，g(x)在(0,2］上单调递减，在［-2,0)上单调递增，且f(x)=

Ml

1——

区哨

在(0,2］上单调递减，0</(x)<1；/(乃在［-2,0)上单调递增,0</(x)<1,且f(0)=1,

•••/(x)在［0,2］,［-2,0］,上的值域为［0,1］,a,b中至少一个取-2或2,

•••整数对(a,b)可以是(一2,0),(0,2),(-1,2).

故选：ACD.

可设g(x)=|X|+而4.，该函数在(0,2］上单调递减，在［-2,0)上单调递增，从而得出f(x)在(0,2］和

［一2,0)上的单调性及值域，并得出/(0)=1,从而得出/(x)在［-2,0］,［0,2］,［-1,2］上的值域都是

［0,1］.从而得出a，b的可能取值.

本题考查了函数y=x+±的单调性，函数y=|%|+言的单调性，根据函数单调性求函数值域的方

法，函数单调性的定义，考查了计算能力，属于中档题.

11.【答案】BD

【解析】解：因为双曲线厂的标准方程为/-y2=a2（a＞。），则c=°a，

易知点尸式一「（1,0）、F2（＞T2a,0）.双曲线厂的渐近线方程为y=±x,

对于4选项，当BClx轴，直线BC的方程为％=，Na，

联立可得I；：!?。’此时’|BC|=2a,

则INF/+|C0|=（\BF2\+2a）+（|CF2|+2a）=\BC\+4a=6a,

此时，ZiBCFi的周长为|BC|+|BFi|+|C&|=8a,故A错误；

对于8选项，因为双曲线r关于原点对称，则点B关于原点。的对称点也在双曲线r上,

因为若直线0B交双曲线r的左支于点E,则点B、E关于原点对称，

即BE、F/2的中点均为原点，故四边形B&E『2为平行四边形，

所以BF2〃EFI，即BC〃E&,故3对；

对于C选项，易知0A的方程为,=心。。的方程为y=—x,所以04J.0D,

因为直线I与双曲线厂的右支交于点B、C,则直线，不与x轴重合，

设直线，的方程为x=my+V_2a,设点B（Xi，yi）、。（％2，丫2），

22

联立1%_my+Q'可得（租2—l）y+2yT~2may+a=0,

贝12AC21、2A2r2.i\n*解得根=±1，

（4=8mzaz-4（mz-l）az=4az（mz+1）＞0

由韦达定理可得4-y2=-2^^,，=茄2]＜。，可得一1VmV1,

联立俨=my+/“，可得x=y=1a,即点屁马,浮），

联立俨=my+Ca,可得》=p,y=一浮，即点。（乌，一浮），

（y=—x1+mJ1+mvl+m1+m，

所以I。川=＜7•阂|=浸疝\OD\=^2-\XD\=^,

所以，400=?|。川・|。。|=瑞西=等22。2，当且仅当m=o时，等号成立，故C错；

2

对于。选项，\AB\+|BF/=\AB\+\BF2\+2a=\AF2\+2a=V1+m-+2a=<2a-

2a,

I+2a=>/_2a-J1=+2a=y/~2a•I1++

I(l-m)，yl-2m+mz\14-mz-2m

当m=0时，|4B|+|BF/=2a+qa，

当0</n<l时，|AB|+|Ba|=Ca-J1+1T悬+2a=，7a•1+忌^+2a,

,Nm

因为函数y=m+《一2在(0,1)上单调递减，

此时|71B|+ISFj|=V2a-14----j---F2aG(2a+V2a,+oo),

、m+m-2

当一1<m<0时，因为函数y=m+、-2在(一1,0)上单调递减,

此时|4B|+|BF/=7~加,14---\---F2aG(3a,2a+^J~2a),

Jm+m-2

综上所述，|力用+田&|的取值范围是(3(1,+8),故。对.

故选：BD.

利用双曲线的定义可判断4选项；

利用平行四边形的几何性质可判断8选项；

设直线1的方程为x=my+Ca，求出|。力|、\OD\,利用三角形的面积公式结合二次函数的基本

性质可判断C选项；

由双曲线的定义|4B|+|BFi|=|4三1+2a,求出IAF2I+2a关于m的函数关系式，利用函数的单

调性可求得|4B|+|BFi|的取值范围，可判断。选项.

本题考查了双曲线的性质、直线与双曲线相交形成三角形的面积的范围问题，也考查了计算能力，

数形结合思想，属于中档题.

12.【答案】BCD

【解析】解：易得CE_LAB,CELAB,

又DECiCE=E,则力B_L面CDE,

又CNu面CDE,则4B1CN,同理可得CN1BD,

ABCBD=B,贝iJCN_L平面4BC,

乂AN,BNu平面ABD,

所以CNJ.8N,CNIAN,

则当点P与点N重合时，AP+BP取得最小值，

又AN=BN=DN=|CE=[xK22—/=乎,则最小值为AN+BN=零，故A错误;

在正四面体4BCD中，因为DP_L平面ABC,易得P在DM上,所以DMCCN=P,

又点M,N也是△ABC和△ABD的内心，则点P为正四面体ABC。内切球的球心，

CM=：CE=亨，DM=7CD?-CM2=亨,设正四面体4BCD内切球的半径为r,

因为％-ABC=Vp-ABC+^P-ABD+^P-BCD+^P-ACD,所以^SAABC.DM=^ShABC-r+^ShABD-T+

11

§'ABCD,r+§3uco*r,

解得r=MP=」DM=",即。P=,OM,故CP=3PN,故8正确；

464

设三棱锥P-ABC外接球的球心为。，半径为R,

易得球心。在直线DN上，且0/V1NC,则R2=oc2=CN2+(OP-NP)2,解得R=亨,

故三棱锥P-4BC外接球的表面积为4兀/?2=竽，故C正确；

VDM=VCD2-CM2=竽，即。到平面ABC的距离为弓

则B到平面4C0的距离为亨，「E是48的中点，

E到平面4CD的距离为殍x

vCM=ICE,M到平面4co的距离为号x|x1=学，

二直线MN到平面ACD的距离为浮，故。正确.

故选:BCD.

4选项由线面垂直证得CNJ.BN,CNLAN,进而由点P与点N重合时即可判断力；B选项利用内切

球求得DP=^M即可判断"选项找到球心，由勾股定理求得半径，即可判断；。求得M到平面

PCD的距离即可判断.

本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题.

13.【答案】8

【解析】解：由X（单位：分）服从正态分布N（80,小）,知正态密度曲线的对称轴为X=80,成绩

在［80,90］上的学生人数为16,

由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为24-16=8.

故答案为：8.

根据正态分布的对称性即可求解.

本题考查正态分布的应用，属于基础题.

14.【答案】6（答案不唯一）

【解析】解：因为"一皮严的展开式的通项为7；+1=C；xn-r（-^）r=（-l）rxn-3r,

令n-3r=0可得r=p

因为n为正整数，r为自然数，

故符合题意的一个n为6.

故答案为：6（答案不唯一）.

由己知可知展开式的通项为4+1=GN1"»=（-iyxn-3r,结合常数项的指数特点可求.

本题主要考查了二项式展开式通项在指定项的求解中的应用，属于基础题.

15.【答案】10

【解析】解：<%=2,am+n=am-\-an,

二令Tn=1,贝ija4+i—a4—ciy—2,

•••数列也"是首项为2,公差为2的等差数列，

•••an=2+2(n-1)=2n,

又纵耿+i=440,即2k(2k+2)=440,

k(k+1)=110,解得k=10或k=-11,

•••k为正整数，：.k=10.

故答案为：10.

由题意令m=1,则an+i-厮=%=2,可得数列｛即｝是首项为2,公差为2的等差数列，求出an,

结合题意，即可得出答案.

本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

16.【答案】

【解析】解：设P(x,y),d(Q,P)=|x-l|+|y|=p

当％Nl,yNO时，则％-l+y=g,即％+y-|=0,

当％Zl,y<0时，则％—=即％—y—1=0,

当％vl,yVO时，则=即％+y-g=O,

当％<1,yNO时，则l-%+y=g,即％-y-g=O,

故点P的轨迹所围成图形如下图阴影部分四边形4BCD的面积：

D

则S=2xfx4=；,

如下图,设P(%o，y()),又求d(P,M)的最小值,

d(P,M)=|%i-%ol+lyi-yol=x1-xQ+y1-yQ=x1+y1-(&+y()),

求d(P,M)的最小值，即％i+y1的最小值，与+y。的最大值，

又(%()+%))=获下面求+丫1的最小值，

121

令y=+%=与+斓y=l--j=0,即X】-23>

令y'>0,解得：>23>令y'<o,解得：/<25'

所以y在(_8,2力上单调递减，在(2』,+8)上单调递增，

13

所以与=2,时，y有最小值，且%nE=：,

所以d(P,M)m讥=2*=丸2"1).

23

故答案为：(23—1)-

根据“折线距离”的定义即可得d(Q,P)=：时，点P的轨迹所围成图形的面积；d(P,M)的最小值

转化为求/+为的最小值问题.

本题考查利用导数求最值的问题，考查数形结合的能力，属于难题.

17.【答案】解：（1）当n=l时，有。2-%=2,

当n=2时,有。3+（。2+%）=4,

因为g=0»所以。2+即=4,

所以的=1,02=3.

（2）因为an+i+（-l）*n=2%

nn21

所以Q2n+1+（一1）2s2rl=22%Q2n+（-1）2TS2n_1=2^（H>1）,

两式相加得，。2"+1+a2n+S2n-S2n_i=22n+22n-1,

2n-12n-1

所以a2n+i+a2n+a2n=3•2,B|Ja2n+1+2a2n=3-2(n>1),

因为bn=a“+i+»

所以62n=0-2n+l+2a2n=3-22n-1,

3212n+1

故匕2+b4+b6+…+b2n=3•Qi+2+-+2"-)=3"2(；手=2-2.

【解析】(1)分别取n=1,n=2,代入已知条件运算，可得关于的和a2的方程组，解之即可；

(2)由题意知，a2n+i+(-l)2"S2n=22",a2n+(—l)2"TS271T=22nT(n2l),两式相加化简运

算，可得b2n，再利用等比数列的前n项和公式，求解即可.

本题考查数列求和，熟练掌握等比数列的前n项和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能

力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)令u=3则y关于a的线性回归方程为y=a+6u,

SfLiU(y-10uy350-210„nn

由题意可得0=J_—=16-09=20°，

EJLjU^-lOuL6U”

a=y-/?u=70-200x0.3=10'则'=10+200u)

所以，y关于x的回归方程为y=10+竽.

(2)由y=10+呼可得x=愣，

年利润M=m-x-10=一荒+余+^^+100--10=一焉⑶一2。)2+90.8,

当y=20时，年利润M取得最大值，此时x=4鼻=20,

所以，当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值.

【解析】(1)令u=p可得出y关于“的线性回归方程为y=a+pu,利用最小二乘法可求出口、a的

值，即可得出y关于x的回归方程；

(2)由y=10+绊可得％=缁，可计算出年利润”关于y的函数关系式，结合二次函数的基本性

质可求得M的最小值及其对应的x值.

本题主要考查线性回归方程，属于中档题.

19.【答案】解：(1)vbcosA-acosB=b-c,

二根据正弦定理可得s勿BcosA—sinAcosB=sinB—sinC,

:.sinB(cosA-1)=sinAcosB-sin(4+B),

・•・sinB(cosA-1)=—cosAsinBf又sinB>0,

:.cosA—1=—cosA,・•・2cosA=1,又46(0,zr),

7r

・d•・i4=-；

(2)设乙840=仇又A=*则尹仇

•・•。在BC边上，且CD=2BD,

S“CD=2s△480，设|/D|=t，

177

则/bsiziq_8)=tcsind,

2csin(-0)峥cosB-gsinB73i

bsin。sinO2tan02

又A=cosB=^~，.%sinB=

°33

.2c_2s讥C_2s沆(4+B)_V_3cosB+siziB_1

*'bsinBsinBsinB45'

••­tand=-V-2,

即tanziBAD=口-口.

【解析】(1)根据正弦定理将已知条件转化为角4的方程，解三角方程方程，即可得解；

(2)设484。=0,则N&4D屋一8,根据题意可得S“co=2s小孙设|4D|=3则:班sin©-0)=

tcsind,从而得上=变超，再根据正弦定理可得。的方程，再解三角方程，即可求解.

bsin。

本题考查解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，化归转化思想，

方程思想，属中档题.

20.【答案】解：（1）证明：可取CG的中点M,连接DM,AM,

又。为BC的中点，可得DM〃BCi，

DMC平面BGE,可得DM〃平面BGE,

又40〃平面BC】E,ADQDM=D,可得平面4DM〃平面B^E,

B

所以4M〃平面BCiE,

又平面BGEn平面44CG=GE,可得4M〃GE,即有E为441的中点，

因为4B=4C,。为BC的中点，可得4DJ.BC,

由直三棱柱ABC-/liBiCi中，8/_L底面ABC,可得BiB_L4。，

由BCnBiB=B,可得AD_1"平面BBiGC,

取8G的中点H,连接EH,可得EH〃4D,即有EH1平面BB】GC,

而EHu平面BGE,可得平面BC】E1平面BBiGC；

(2)设BC=2a,可得4。=V9-

三棱锥8]-BC】E的体积U-SAB/Q=9-a2•1x3x2a=aV9-a2<j(a2+9-

a2)="当且仅当a=手取得等号)，

可得当4B14c时，三棱锥&-BCiE的体积取得最大值.

由于4ci〃4C，可得直线AC与平面BGE所成角即为直线&G与平面BGE所成角.

设为到平面BCiE的距离为九，由BE=GE=J9+；=亨，BC、=79+18=3门，可得

SXBCF=：x3cxJy-y=平’

所以匕I-BQE=-当野后又KB-AGE=gx3xgx3x|=3，

又以i-BCjE=%-/1GE,解得九=

又为C1=3,可得直线4Cl与平面BGE所成角的正弦值为爱=口，

36

即有直线4c与平面BCiE所成角的正弦值为学.

【解析】(1)可取CG的中点M,连接CM,AM,运用线面平行的判定定理和面面平行的性质定理

推得E为的中点，再由线面垂直的判定和面面垂直的判定定理，可得证明；

(2)设BC=2a,求得三棱锥n-BCiE的体积，由基本不等式可得体积的最大值，进而得到BC的

长，进而得到直线AC与平面BCiE所成角即为直线&G与平面BGE所成角.由等积法求得为到平

面BC】E的距离，再由线面角的定义可得所求正弦值.

本题考查线面平行的性质和面面垂直的判定，以及直线和平面所成角，考查转化思想和运算能力、

推理能力，属于中档题.

・•・C的方程为y2=4x.

(2)由题意直线/的斜率存在，设直线/的方程为：y=/c(x-l),B(x2,y2),

联立-D，化为-2/2+2)x+k2=0,

则Xl+x=2，)产),X1X2=1，

2

设直线，的倾斜角为。，则|AM|=MFIItcmOI，|BN|=

\AM\+|BN|=\AF\\tan9\+\BF\\tan9\=\AB\\tan3\=k\AB\,

又|4B|=\AF\+\BP\=x1+l+x2+l=

••・梯形M4/VB的面积S=他也衅=哗I=/空=8(弋2+1),

22I短|k|3

令t=|k|e(0,+8),则s«)=8(t+：+&),

S3=8(1-L)=8(.C)(;C)(t2+D.

.♦.t6(0,—?)时，S'(t)<0,此时函数S(t)单调递减；te(/3,+8)时，S'(t)>0,此时函数S(t)

单调递增.

t=\k\=C时，即k=±C时，四边形MANB的面积S取得极小值即最小值，

此时直线1的方程为：y=±V"?(x—1),即/可％±y—=0.

【解析】(1)设点P(%y),以PF为直径的圆的圆心为M,OM的半径为r,设OM与y轴相切于点N,

过点P作PQLy轴，垂足为Q,可得r=|MN|=应写3=岑，\PF\=2r=x+l,利用抛物线

的定义即可得出C的方程.

(2)由题意直线1的斜率存在，设直线I的方程为:y=fc(x-l),4(与,乃)，B(x2,y2),直线2的方

程与抛物线方程联立化为一2(1+2)x+1=0,设直线/的倾斜角为仇可得|4M|=

\AF\\tan6\,\BN\=\BF\\tan0\,可得|4M|+|BN|；由|4B|=|4F|+|BF|=/+1+&+1.结合

根与系数的关系可得梯形M4NB的面积S=(MM|+I；N|).明,通过换元利用导数研究函数的单调性

即可得出结论.

本题考查了抛物线的定义及标准方程、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、

梯形的面积、利用导数研究函数的单调性与极值，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

22.【答案】解：(1)解法1：由f#ln(l+%)<ax2+x,

若％=0