高中数学相关定理及证明

高中数学相关定理、公式及结论证明汉阴中学正弦定理证明内容：在中，分别为角的对边，则证明：ababDABC（1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，有。由此，得，同理可得，故有.ABABCDba（2）当ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有，。由此，得，同理可得故有.（3）在中，，由(1)(2)（3）可知，在ABC中，成立.2.外接圆证明正弦定理在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB′=90°，∠C=∠B′，∴sinC=sinB′=.∴.同理,可得.∴.3.向量法证明正弦定理同理故有.余弦定理证明内容：在中，分别为角的对边，则证明：如图在中，同理可证：所以数列部分内容：是等差数列，公差为，首项为，为其前项和，则证明：由题意，①反过来可写为：②①+②得：2所以，③，求证：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 点到直线距离公式证明内容：已知直线直线外一点则其到直线的距离为。向量法证：如图，设直线的一个法向量，Q直线上任意一点，定义法证：根据定义，点P到直线的距离是点P到直线的垂线段的长，如图1，设点P到直线的垂线为，垂足为Q，由可知的斜率为的方程：与联立方程组解得交点平行向量定理内容：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行。证明：设是非零向量，且若，则存在实数使，且由平面向量基本定理可知①，②①②得：若（即向量不与坐标轴平行）则平面向量基本定理内容：如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向量，存在唯一一对实数，使得证明：如图过平面内一点O，作，过点C分别作直线OA和直线OB的平行线，交OA于点M，交OB于点N，有且只有一组实数，使得即共线向量定理内容：如图A,B,C为平面内的三点，且A,B不重合，点P为平面内任一点，若C在直线AB上，则有证明：由题意，与共线，化简为：柯西不等式：若a、b、c、d为实数，则或证法：（综合法）.证法：（向量法）设向量，，则，.∵，且，则.∴诱导公式公式：如图：设的终边与单位圆（半径为单位长度1的园）交于点P(x，y)，则角-的终边与单位圆的交点必为P´(x，-y)．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y，cos=x,sin(-)=-y,cos(-)=x,所以：sin(-)=-sin,cos(-)=cosα由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的-诱导公式。公式： 它刻画了角180º+与角的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角的正弦值（或圆交于点P(x，y)，则角终边的反向延长线，即180º+角的终边与单位圆的交点必为P´(-x，-y)（如图4-5-1）．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y， cos=x,sin(180º+)=-y, cos(180º+)=-x,所以:sin(180º+)=-sin，cos(180º+)=-cos．由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。相应诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinαk∈zcos（2kπ+α）=cosαk∈ztan（2kπ+α）=tanαk∈z公式二：sin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanα公式三：sin（－α）=－sinα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotα