一种多周期解的n

一种多周期解的n

0正参数2:a人们通过不繁殖能力的昆虫进入有害昆虫的种群，以完全消灭这些有害昆虫。一个简单的描述一种有害昆虫种群的状态方程为(见文献)其中a>b>0,k>0都是正参数。考虑单一投放一种不育昆虫,而且认为两种昆虫有相同的死亡率,如果有一部分有害昆虫也是不育的,则可得到如下状态方程(见文献)不同于模型(2)的情况,假定不是简单地投放一次不育昆虫,而是经常地以某一常数速率投放不育昆虫则方程可改写成为如下形式δ>0为常数投放率.考虑到该模型有一定的实际背景,因此我们仅在相平面(N-n平面)上的第一象限{(N,n)|N>0,n>0}内讨论这个模型.1ab-ar+br+s1x0,y0—模型(2)的研究令(2)式右端为零,可得当a>b+r时,有唯一正平衡点(N0,n0),其中为研究平衡点的性态,对(2)作如下变换:x=N+n,y=n,dt=xdτ则有再令x=u+N0+n0,n=v+n0把(1.1)的平衡位置移到坐标原点有其中x0=N0+n0,y0=n0.系统(1.2)的线性近似方程的特征方程为λ2+pλ+q=0其中因此有下列结论定理1.1系统(1.1)的平衡点(x0,y0)当(ab-ar+br+r2)>0时为稳定的,而当(ab-ar+br+r2)<0时为不稳定的;当(ab-ar+br+r2)=0,即时(x0,y0)为一阶细焦点,焦点量(同号地)为,平衡点(x0,y0)是不稳定的.证当(ab-ar+br+r2)=0时平衡点(x0,y0)为细焦点.可以计算出一般三次多项式微分系统的一阶焦点量公式为其中利用这个公式于系统(1.2)并借助于数学软件Mathematica计算,把x0,y0代入后整理(去掉正数因子),显然平衡点(0,0)是它的高次奇点,利用处理高次奇点的方法来分析点(0,0),它的特殊方向可以由下式确定而容易计算因此在条件a>b+r下,G(θ)在Π/2处的二阶导数值为2(-a+r)<0,G(θ)在处的一阶导数值为,因此沿θ=Π/2方向有无穷多条正半轨线走向该奇点;沿方向仅有一条正半轨线走出奇点(0,0).总之可证明下列结论.定理1.2假设a>b+r,则有(1)系统(1.3)的平衡点(0,0)为高次奇点,在第一象限,通向(0,0)的正半轨线是如此分布的:沿θ=π/2方向有无穷多条正半轨线走入该奇点;沿方向仅有一条正半轨线走出奇点(0,0).(2)系统(1.3)的解是有界的;(3)当(ab-ar+br+r2)≤0时绕正平衡点(x0,y0)至少存在一个极限环,或者绕(x0,y0)存在一个奇闭轨线,它通过点(0,0);证定理的(1)已经在上面证明了.考虑到方程(2)有由于常量微分方程的唯一正平衡点是全局渐进稳定的,因此由比较原理知对于(2)的任一解N(t),n(t)成立关系式.另外,由方程(2)也可得到这个式子说明初始点在直线上的正半轨线,都是进入的半平面部分.如果限定则有因此系统(2)的解一定是有界解的,其上界不会超过.当定理条件(3)成立时,平衡点(x0,y0)为不稳定的.现考虑从(0,0)沿方向走出原点的那条唯一的正半轨线,记为P,它不可能走出集合这是因为,N=0为系统的轨线;而说明n=0为系统的无切直线.再由于在等倾线rN=bn上位于(x0,y0)左边的点处,而位于(x0,y0)右边的点处,所以P走向只能是绕正平衡点(x0,y0)螺旋式地向内,或者回到原点。若P回到原点则其为一条奇闭轨线;如果P是螺旋式地向内,则P和等倾线rN=bn可构成Poincare-Bendixsion外环线.因此至少存在一个极限环.2a>a1.2.2判别式为讨论(3)的平衡位置,令(3)式右端为零可得到因此(3)有平衡点,容易验证该奇点为稳定的;上式括号中为N的一个二次三项式,它的判别式同号地为因此当时,(2.2)为正,即方程(2.1)除N=0外,还有两个正根,记为N1,N2.此时(3)有两个正平衡点和,容易计算出他们一个为鞍点,另一个为非鞍点初等奇点.当a<a1时,(3)没有其它正平衡点.另外,由(1.4)和其中,可以断言(3)的解有界,且其正半轨线不会走出区域.因此可以得到定理2.1若a<a1成立,则(3)的平衡点是全局渐近稳定的.3有轨线存在数量动态变化模型(2)假定两种昆虫有相同的死亡率即为b,并且有一部分有害昆虫是不育的即a>b+r,从定理1.2的结论容易发现,即使通过生物方法调整r的大小,要想根除有害昆虫是不可能的,事实上,当(ab-ar+br+r2)<0时,有闭轨线存在,两种昆虫数量变化呈周期性规律,当(ab-ar+br+r2)>0时(x0,y0)是稳定的,有轨线走向这个平衡点,因此有害昆虫还是没有被根除.模型(3)的假定条件同模型(2)但是再经常地以某一常数速率投放不育昆虫,这样的话,在a<a1的情况下,系统平衡点吸引所有轨线,从而有害昆虫可以得到根除;但是,当r,d过大时,使得a>a1成立,则系统存在其它平衡点,其定性性态较为复杂,系统平衡点不能吸引所有的