新教材适用2023-2024学年高中数学第8章成对数据的统计分析8.3列联表与独立性检验学案新人教A版选择性必修第三册

8．3列联表与独立性检验学习目标1．基于2×2列联表，通过实例了解独立性检验的基本思想．2．掌握独立性检验的基本步骤．3．能利用条形图、列联表探讨两个分类变量的关系．4．了解χ2的含义及其应用．5．会用独立性检验解决简单的实际问题．核心素养1．通过学习独立性检验的基本思想，提升逻辑推理素养．2．借助χ2公式，培养数学运算素养．3．借助条形图，培养直观想象素养．4．通过利用独立性检验解决实际问题，提升数据分析能力.知识点1分类变量与列联表(1)分类变量：用来区别不同的现象或性质的_随机变量__，其取值可以用实数表示．(2)2×2列联表：如果随机事件X与Y的样本数据如下表格形式Y＝0Y＝1合计X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合计a＋cb＋da＋b＋c＋d在这个表格中，核心的数据是中间的4个格子，所以这样的表格通常称为2×2列联表．练一练：下面是一个2×2列联表：XY合计Y＝0Y＝1X＝0a2173X＝182533合计b46则表中a，b处的值分别为(C)A．94,96 B．52,50C．52,60 D．54,52[解析]因为a＋21＝73，所以a＝52，b＝a＋8＝52＋8＝60.知识点2独立性检验(1)零假设：设X和Y为定义在Ω上，取值于{0,1}的成对分类变量．由于{X＝0}和{X＝1}，{Y＝0}和{Y＝1}都是互为对立事件，故要判断事件{X＝1}和{Y＝1}之间是否有关联，需要判断假定关系_H0：P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)__是否成立．通常称H0为零假设．(2)独立性检验：利用随机变量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．(3)公式：χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．(4)对照表及检验规则：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828当χ2≥xα时就推断“X与Y不独立”，这种推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，可以认为“X与Y独立”．练一练：根据表格计算：性别不看电视看电视男3785女35143χ2≈_4.514__(保留3位小数)．[解析]χ2＝eq\f(300×(37×143－85×35)2,122×178×72×228)≈4.514.题|型|探|究题型一列联表与等高堆积条形图典例1某学校对高三学生做了一项调查，发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张．性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张，作出等高堆积条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．[解析]作列联表如下：性格内向性格外向合计考前心情紧张332213545考前心情不紧张94381475合计4265941020相应的等高条形图如图所示：图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的人数所占的比例，从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向的人数占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向的人数占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．[规律方法]1.利用2×2列联表分析两变量间关系的步骤(1)根据题中数据获得2×2列联表；(2)根据频率特征，即将eq\f(a,a＋b)与eq\f(c,c＋d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(b,a＋b)与\f(d,c＋d)))的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响．2．利用等高条形图判断两个分类变量是否相关的步骤微提醒：等高堆积条形图的缺点是不能给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率．对点训练❶为了解铅中毒病人是否有尿棕色素增加现象，分别对病人组和对照组的尿液做尿棕色素定性检查，结果如下表．问：铅中毒病人组和对照组的尿棕色素阳性数有无差别？尿棕色素合计阳性数阴性数铅中毒病人组29736铅中毒对照组92837合计383573[解析]由上述列联表可知，在铅中毒病人组中尿棕色素为阳性的约占80.56%，而铅中毒对照组仅约占24.32%.说明它们之间有较大差别．画出等高堆积条形图如图所示．由列联表及等高堆积条形图可知，铅中毒病人组与对照组相比较，尿棕色素为阳性数差别明显，因此铅中毒病人组和对照组的尿棕色素阳性数有明显差别．题型二独立性检验典例2某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[分析](1)根据列联表，用频率代替概率，可分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)求出χ2的值，与临界值表对比可得结论．[解析](1)由调查数据知，男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8；女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为eq\f(30,50)＝0.6.(2)χ2＝eq\f(100×(40×20－30×10)2,50×50×70×30)≈4.762.由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．[规律方法]解决独立性检验问题的基本步骤对点训练❷2024年春季，某出租汽车公司决定更换一批小汽车以代替原来报废的出租车，现有A，B两款车型的使用寿命(单位：年)频数表如下：使用寿命/年5678总计A型出租车/辆10204525100B型出租车/1)填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命与汽车车型有关；使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型B型总计(2)司机师傅小李准备在一辆开了4年的A型车和一辆开了4年的B型车中选择，为了尽最大可能实现3年内(含3年)不换车，试通过计算说明，他应如何选择？[解析](1)根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型3070100B型5050100总计80120200所以χ2＝eq\f(200×(50×70－30×50)2,100×100×80×120)≈8.333.查表可得P(χ2≥6.635)＝0.01，由于8.333>6.635，所以有99%的把握认为出租车的使用寿命与汽车车型有关．(2)记事件A为“小李选择A型车，3年内(含3年)不换车”，事件B为“小李选择B型车，3年内(含3年)不换车”，所以P(A)＝eq\f(25,100)＝0.25，P(B)＝eq\f(10,100)＝0.1，因为P(A)>P(B)，所以小李应选择A型车．题型三独立性检验的综合应用典例3某校鼓励即将毕业的大学生到西部偏远地区去支教，校学生就业部针对即将毕业的男、女生是否愿意到西部支教进行问卷调查，得到的情况如下表所示：性别支教合计愿意去支教不愿意去支教女生20男生40合计70100(1)完成上述2×2列联表；(2)根据表中的数据，试根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析愿意去西部支教是否与性别有关？(3)若在接受调查的所有男生中按照“是否愿意去支教”进行分层抽样，随机抽取10人，再在10人中抽取3人进行面谈，记面谈的男生中，不愿意去支教的人数为ξ，求ξ的分布列以及数学期望．[分析](2)根据列联表求出χ2和相应的频率，从而分析是否与性别有关；(3)由超几何分布公式求出相应的分布列，计算出数学期望．[解析](1)2×2列联表如下：性别支教合计愿意去支教不愿意去支教女生302050男生401050合计7030100(2)零假设H0：支教与性别相互独立，即是否愿意去西部支教与性别无关．根据2×2列联表中的数据，可得χ2＝eq\f(100×(300－800)2,50×50×30×70)≈4.762>3.841＝x0.05，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为是否愿意去西部支教与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.根据2×2列联表中的数据计算，女生愿意去支教与不愿意去支教的频率分别为eq\f(30,50)＝0.6，eq\f(20,50)＝0.4；男生愿意去支教与不愿意去支教的频率分别为eq\f(40,50)＝0.8，eq\f(10,50)＝0.2.由eq\f(0.4,0.2)＝2可见，女生不愿意去支教的频率是男生不愿意去支教的频率的2倍．于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为女生不愿意去支教的概率明显大于男生不愿意去支教的概率，即是否愿意去西部支教明显与性别有关．(3)由题意，抽取的10人中有8人愿意去西部支教，2人不愿意去西部支教，于是ξ＝0,1,2，∴P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15)，∴ξ的分布列为ξ012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)∴E(ξ)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5).[规律方法]解决一般的独立性检验问题的步骤：对点训练❸某地为了调查市民对“一带一路”倡议的了解程度，随机选取了100名年龄在20岁至60岁的市民进行问卷调查，并通过问卷的分数把市民划分为了解“一带一路”倡议与不了解“一带一路”倡议两类，数据如表所示.年龄/岁[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]调查人数30302515了解“一带一路”倡议人数1228155(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为以40岁为分界点对“一带一路”倡议的了解有差异；(结果精确到0.001)年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数合计了解不了解合计(2)以频率估计概率，若在该地选出4名市民(年龄在20岁至60岁)，记4名市民中了解“一带一路”倡议的人数为X，求随机变量X的分布列、数学期望和方差．附：α0.150.100.050.0250.010xα2.0722.7063.8415.0246.635χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d.[分析](1)由表格读取信息，年龄低于40岁的共60人，年龄不低于40岁的共40人，填写2×2列联表，再把数据代入χ2公式计算；(2)在总体未知的市民中选取4人，由频率估计概率得出选出的每位市民是了解“一带一路”倡议的概率，可知随机变量X服从二项分布．[解析](1)根据已知数据得到2×2列联表：年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数合计了解402060不了解202040合计6040100χ2＝eq\f(100×(40×20－20×20)2,60×40×60×40)≈2.778>2.706，故有90%的把握认为以40岁为分界点对“一带一路”倡议的了解有差异．(2)由(1)知市民了解“一带一路”倡议的概率为eq\f(60,100)＝eq\f(3,5)，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3,5))).X的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))4＝eq\f(16,625)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3＝eq\f(96,625)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2＝eq\f(216,625)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3×eq\f(2,5)＝eq\f(216,625)，P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))4＝eq\f(81,625)，则X的分布列为X01234Peq\f(16,625)eq\f(96,625)eq\f(216,625)eq\f(216,625)eq\f(81,625)E(X)＝4×eq\f(3,5)＝eq\f(12,5)，D(X)＝4×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(24,25).1．判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用的方法中，最为精确的是(B)A．残差 B．独立性检验C．等高堆积条形图 D．回归分析[解析]用独立性检验考查两