2023届四川省绵阳市高三第二次诊断性考试数学（文）试题

2023届四川省绵阳市高三第二次诊断性考试数学(文)试题

一、单选题

1.若iz=-3z+10,则在复平面内，复数z所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】化简得z=3-i,即可得复数z所对应的点所在的象限.

【详解】解：因为iz=-3z+10,

所以(i+3)z=10,

1010(i-3)10(i-3)

即z=-----=---------------=f------=3-1,

1i+3(i+3)(i-3)i2-9

所以复数z所对应的点位于第四象限.

故选：D.

2.已知A={1,4,>},8={1,机},若BqA,则，*=()

A.0或4B.1或4C.0D.4

【答案】A

【分析】根据集合的包含关系及集合元素的互异性即可求得加的值.

【详解】3金4且A={1,4,/},8={1,闻

二m=4或机=，〃2

当加=4时,A={1,4』6},8={1,4}满足题意；

当机=布时，得机=0或，*=1

当机=0时，A={1,4,0},8={1,0}满足题意；

当机=1时，带入集合中，不满足集合得互异性.

综上：加可取0,4

故选：A

3.由专业人士和观众代表各组成一个评委小组给文艺比赛参赛选手打分，其中观众代表凭个人喜好

打分，专业人士执行评分标准打分.如图是两个评委组对同一名选手打分的茎叶图，则下列结论正

确的是()

甲乙

8064

367028

0182

90

A.甲组的平均分高于乙组的平均分

B.乙组更像是由专业人士组成的

C.两组的总平均分等于甲组的平均分和乙组的平均分的平均数

D.两组全部分数的方差等于甲组的方差和乙组的方差的平均数

【答案】C

【分析［根据数据，求出甲乙两组的平均分，可判断A项；根据数据的分散集中程度，可判断B项;

根据甲乙两组人数相同，可说明C项；根据总体方差公式，可判断D项.

68+60+73+76+80+81

【详解】对于A项，甲组平均分为=73,乙组平均分为

6

64+70+72+78+82+90=76,故A项错误;

对于B项，由茎叶图可得，甲组分数分布更加集中，乙组的分数更为分散，所以甲组更像是由专业

人士组成的，故B项错误;

对于C项，因为甲乙两组人数相同，所以两组的总平均分等于甲组的平均分和乙组的平均分的平均

数，故C项正确；

对于D项，设甲组平均数为无，方差为s；,乙组平均数为方差为S；,总体平均数为三，总体

方差为s2.根据总体方差公式，可得

52=5{6卜2+（手_可1+6值2+任_可［}6氏2+5,2）+苴（了_可2+任_可2］,显然元—六0,

故D项错误.

故选：C.

4.如图，在边长为2的等边一至。中，点E为中线BO的三等分点（靠近点。），点尸为BC的中点,

则E6AC=（）

A.1B.2C.£D.26

【答案】A

21

【分析】利用向量的线性运算得EF-AC=-§8DAC+/8CAC,再利用数量积的计算公式计算即

可.

【详解】在边长为2的等边-ABC中,8。为中线，则比>，AC

EFAC=（EB+BFYAC=\--BD+-BC\AC=--BDAC+-BCAC

\（32J32

=-BCAC=-x2x2xcos60=1

22

故选：A

2222

5.设命题八方程」_+工=i表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程工+工=i表示焦点

k+l3-k%+1k-2

在X轴上的双曲线，若。八4为真，则实数上的取值范围（）

A.B.-\<k<2

C.l<fc<3D.2<k<3

【答案】A

【分析】根据椭圆定义求出命题〃为真时火的范围，根据双曲线定义求出命题。为真时人的范围，再

根据命题p和命题q均为真求解即可.

22

【详解】方程工+-=i表示焦点在y轴上的椭圆，则3-左>%+1>0,

k+\3-k

解得

即命题〃为真时，-l<k<l；

方程三+达k+\>0

1表示焦点在X轴上的双曲线，则

k-2<0'

解得

即命题4为真时，—

若。为真，则命题。和命题q均为真，

|-1<女<1

•-1,c,-1<<1

[-lot<2

故选：A.

6.寒假即将来临，秀秀计划在假期阅读《西游记》、《战争与和平》、《三国演义》、《水浒传》四部著

作，每周看一部，连续四周看完，则《三国演义》与《水浒传》在相邻两周看完的概率为（）

A.|B.|C.-D.—

32412

【答案】B

【分析】先利用捆绑法求出《三国演义》与《水浒传》在相邻两周看完的排法数，再利用古典概型

的公式求解即可.

【详解】将《三国演义》与《水浒传》捆绑在一起当成一个元素有A；=6种排法，

《三国演义》与《水浒传》之间排序有A：=2种排法,

故《三国演义》与《水浒传》在相邻两周看完有6x2=12种排法，

121

则《三国演义》与《水浒传》在相邻两周看完的概率P=Q=5

故选：B.

7.已知各项均为正数的等比数列｛叫，前〃项和为S“H=56,$6=63,若4=1,则〃的值为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】先根据条件列出等比数列基本量的方程，求出基本量，再利用等比数列的通项公式计算即

可.

【详解】设等比数列的公比为4,

若q=l,则S3=3q=56,S6=6q=63,无解;

4(1-/

=561

"q

则,解得〈q=a,

q=32

56=---------------------=OJ

"q

a“=32x(g)=1,解得”=6

故选：C.

8.函数/（£）=85（0n+。）［。>0,|夕|<5）的部分图像如图所示，且/（0）=

—.则下列选项正确的

2

是（）

B•佃

c.“X)在区间y,TT上为减函数D.唱)>/(0)

【答案】D

【分析】结合图像以及外0)=日，计算未知数，得出/(X)=COS(2X-£),结合函数的基本性质分

析即可.

【详解】观察图像可知f［-^)=cos(-等+9卜0,且f(0)=cose=#，

jr717r

且69>0,］。|<彳，解得0=2,。=一;或0=4,。=:，

266

观察图像可知0-1一2=4<〈,故T>M，

I6；643

则。=§<3,综上。=29=-：,故A错误；

T6

则〃X)=COS(2Y),则佃=_争故B错误；

xe与，兀时，2x-£egF，/(x)=cos(2x-t)单调递增，故C错误；

/⑼=/,但〕=交，又结合图像可知“X)在区间七，』上为减函数,

V672L"3

!<丁，故/(〈］>/(。)，故D正确；

26\2.)

故选：D

22

9.设双曲线C:■=l(a>0力>0)的右焦点为尸，以原点为圆心，焦距为直径长的圆与双曲线C

在x轴上方的交点分别为A,B,若忸尸|=3|AF|,则该双曲线的渐近线方程为()

A.2x±y/hy=0B.y/6x±2y=0

C.2x±3y=0D.3x±2y=0

【答案】B

【分析】根据双曲线的对称性结合双曲线的定义，利用点在A在圆上，结合勾股定理可求得

c2=^a1=a1+b2,即可得从从而可确定双曲线的渐近线方程.

【详解】解：如图，设双曲线的左焦点为E，连接4片

由双曲线与圆的对称性可得A4=8F=3AF,由由双曲线的定义可得AE-AF=2a,

所以A《=3a,AF=a,由点A在圆上，所以4斤+4尸=耳尸，BP9a2+a2=4?,

则c2=|/M+%故心#,则〉

所以双曲线的渐近线方程为向±2y=0.

故选：B.

lnx,x>0

10.已知函数/*)=8(x)=f(x)+f(-x),,则函数g(x)的零点个数为()

x+l,x<0

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】先求x>0时，函数g(x)的零点，再根据g(x)为偶函数，可得x<0时，函数g(x)还有一个

零点户-1,由此可得答案.

【详解】当x=0时，g(0)=/(0)+/(0)=2/(0)=2,所以x=0不是函数g(x)的零点，

因为g(x)=/(x)+/(-x),所以g(-x)=/(-*)+/(x)=g(x),所以g(x)为偶函数，

11—X

当x>0时，-x<0,g(x)=lnx-x+l,g\x)=-1=―-,

XX

令g'(x)>0,得0<x<l,令g'(x)<0,得X>1,

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,物)上单调递减，

所以g(x)在x=1时取得最大值g⑴=0,

所以当x>0时，g(x)有唯一零点x=1,

又函数g(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，所以g(x)在x<0时，还有一个零点x=-1,

综上所述：函数g(x)的零点个数为2.

故选：A

11.已知A(—2,0),8(2,0),点尸满足归呼+归靖=]6,直线/：W+l)x-y+l—3〃?=O(〃Z€R),当点

P到直线/的距离最大时，此时机的值为()

B73

A-1c.D.

-i44

【答案】C

【分析】由|R4|2+|尸邳2=]6可求出点尸的轨迹方程为一+丁=4,数形结合，当。MJU时，此时

点P到直线I的距离最大，计算总由二-1即可求得m的值.

【详解】A(—2,0),5(2,0),设P(x,y),贝+|依『=(x+2p+/+(x—+/=2/+2丁+8,

|PA|2+|PB|2=16,.•・2X2+2/+8=16,化简得/+丁=4,

即点尸的轨迹方程为一+丁=4,圆心为(0,0),半径为2,

I:(m+l)x-j+l-3m=0(/neR),化简为根(“-3)+工一>+1=0,

%—3=0；二;即直线/恒过定点(3,4),

由一+『。’解得

设定点为M(3,4),如图，当ONJJ时，此时点P到直线/的距离最大,

4-04

=

••^OM,勺=-1，心认=--—",,

3—U3

4/17

3V74

12.^x=0.03,y=2In1.01,z=In1.1,则x,y,z的大小关系为()

A.z>x>yB.x>y>z

C.x>z>yD.z>y>x

【答案】A

【分析】若"《，则尤=3/，y=21n(l+d),z=ln(l+f),构造f")=y-x、g(r)=z-x并并利用

导数研究在0<f<l上的单调性，即可判断大小关系.

311

【详解】由4二刀，y=21n(l+--),z=ln(l+—),

若，=',贝ijx=3产，y=21n（l+r2）,z=ln（l+r）,

令/Q）=y-x=21n（l+产）-3产且0<rvl,则/6）=工一6,二-2/（1+?广）<0,

1+厂1+厂

所以/⑺在（0,1）上递减，故/⑺</（。）=0,即"X,

令8«）=2-兀=巾（1+。一3/且0<，<1,则g'«）=7^---6,在（0,1）上递减，

若g'Q）=o,则；一=&,可得t=走二2,故（0,姮二3）上g，⑺>o,g“）递增，

l+r66

而0<_!_<巫二2,且在（0,姮二2）上g（f）>g（o）=o,

1066

所以z—x>0,即Z>x,

综上，z>x>y.

故选：A

【点睛】关键点点睛：由/=\，则x=3/，y=2ln（l+产），z=ln（l+/）,构造f（/）=y-x、g（t）=z—x

研究大小关系.

二、填空题

13.已知tana=3-20，贝l]tan(a+qj=

【答案】72

【分析】直接利用两角和的正切公式计算即可.

/\tana4-tan—

tan(/=；--------73-20+14-20

【详解】

、71-tan«tan—l-(3-2⑹272-2

4

故答案为：V2

x<3

14.若变量x,y满足不等式组修了+了二对，则x+y的最小值是

x-y+320

【答案】T

【分析】问题化为直线z=x+y与可行域有交点时数轴上的截距最小，数形结合找到最小时直线所过

的点，即可得结果.

【详解】由约束条件可得可行域如下：

要使x+y最小，即直线z=x+y与可行域有交点时数轴上的截距最小即可，

jx=3fx=3

由图知：当2=工+»过(八的交点:彳时，zmi„=3-4=-1.

［2x+y-2=0［y=-4

故答案为：-1

15.已知函数〃1)=丁+"2+2工一标,若对VX］,/£口，2］,为</，都有'(")<2成立,则

百一％2

实数。的最大值为.

【答案】-3

【分析】将小匕9<2变形为/(4)-2%>/(%)-2々，令g(x)=/(x)-2x,则函数g(x)在

X］一%2

口，2］上单调递减，即g'(x)KO在1,2］上恒成立，转化为最值问题即可.

【详解】百<多，，％-尤2<0，

由小J二9<2得/(与)一/伍)>2(为一男)，

芯~X2

整理得了(5)-2%>/(.)一2々，

令g(x)=/(x)—2x,则函数g(x)在［1,2］上单调递减，

即g(x)=%3+奴,一/在［1,2］上单调递减，

g'(x)=3d+2or40在［1,2］上恒成立，

即x(3x+2a)40在［1,2］上恒成立，

即3x+2aM0在［1,2］上恒成立，

即2a4-3x在［1,2］上恒成立,

又一3x之―69

:.2a<-6f/.«<-3

实数〃的最大值为-3

故答案为：-3.

16.已知厂为抛物线：V=4x的焦点，过直线/：%=一2上任一点P向抛物线引切线，切点分别为A,

B,若点M(4,0)在直线AB上的射影为“，则|尸”|的取值范围为.

【答案】口,3).

【分析】设4%%)，8(X2,%)，尸(-2/),利用导数的几何意义确定切线方程后，得出切点弦A8所

在直线方程，得直线AB过定点N(2,0),从而确定，在以MN为直径的圆上，由尸到圆心的距离确

定出|F”|的最大值与最小值，从而得范围，注意点”的特殊位置，忻H|的最大值取不到.

【详解】设A(x「x),B(x2,y2),P(-2,t),不妨设A在x轴上方，

y>0时，y=2>/x,/=,所以切线R4的方程为丫一%=/。一%),

代入(一2/)得=在(一2—玉)，又％=2嘉，gyj_2X|=_2_X1,

得西一gy/-2=0,同理可得々一3%一2=0.

因此直线AB的方程为x-g)-2=0,直线A8过定点N(2,0),

H在以MN为直径的圆上，该圆圆心Q(3,0),半径为1,

由已知尸(1,0),|同=2,二|FH|的最大值为2+1=3,最小值为2-1=1,

f=0时，直线A8方程为x=2,此时，A8与x轴垂直，”点与N点重合，即|可|=1,"点不可能

与M点重合，最大值取不到.

所以|切|的范围是口，3).

故答案为：U,3).

【点睛】方法点睛：

（1）直线与抛物线相切的切线方程：一种方法用导数的几何意义求解，另一种方法由判别式等于0

求解，由此可得过抛物线y2=2px上的点区,凶）的抛物线的切线方程为yy=p（x+玉）；

（2）圆外的点到圆上点的距离的最值：求出圆外点到圆心距离d,记圆半径为，・，则这个距离的最

大值为d+r,最小值不d-r.

三、解答题

17.在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3（b-acosC）=a2sinC,A=60。

⑴求a的值；

（2）若B4AC=-g,求从+/的值.

【答案】（DG

⑵4

【分析】（1）先由正弦定理边化角，然后利用三角公式计算即可：

（2）先利用数量积公式求出税，再利用余弦定理可求得从+/.

【详解】（1）3（b-acosC）=a^sinC,

由正弦定理边化角得3（sin8-sinAcosC）=osinAsinC

/.3[sin（A+C）-sinAcosC]=3cosAsinC=asinAsinC,

sinCw0,3cosA=asinA

33/r

a=-------=—j==73・

tanAy/3

（2）BAAC=--

2

BA-AC=becos120°=——

2

••bc=\t

b2+c2-er&2+C2-31

cosA=

2bc2~2

解得Z/+C2=4

18.已知各项均为正数的数列｛%｝的前"项和为且为等差数列.

(1)求数列｛。,,｝的通项公式;

(2)已知(〃eN),是否存在,“eN*,使得N*,“也4%也“恒成立?若存在，求出机的值;

若不存在，说明理由.

【答案】(1)。”=";

(2)存在,6=2或加=3；

【分析】(1)由题设2S〃=q,+*且可>0,应用4,S”关系求数列通项公式；

(2)由⑴知她=〃。'，构造f(x)=x1)，且x>0并利用导数研究单调性判断是否存在最大

值，即可得结论.

【详解】(1)由题设25“=。”+d且/>0,

当”=1时，2S]=24|=q+a；,可得《=|；

当"22时，2⑸-S1-)=24=an+a；-a„_,-,则an+an.,=«；-=(an+«„.,)(«„-an.,)；

由故4-4i=1，

所以｛q｝是首项、公差均为1的等差数列，故

(2)由(1)知:°也=«|),要使也4alA，即〃停)4噌]恒成立，

222222

令f(x)=x•(I)》且X>o,则f(x)=(-y+(-)x«xln-=(-r(l+xln-),

若尸(x)=0,即l+xln]=0,则x=7T=翼e,

3In—2

2

在（O,log/）上广（幻>0,/（X）递增，（1叫孰+8）上广（x）<0,/（X）递减，

22

所以/（X）在（0,+8）有最大值，又2<log±e<3,

2

对于>当〃=2时，a2b2=2x^.1^=g,当"=3时，23=3x（g）=£,

综上，她<02b2=a3b3>>'•->a也,,故存在加=2或帆=3使eN,a“b“<a,,也“恒成立.

19.某县依托种植特色农产品，推进产业园区建设，致富一方百姓.已知该县近5年人均可支配收

入如下表所示，记2017年为x=l,2018年为x=2,…以此类推.

年份20172018201920202021

年份代号X12345

人均可支配收入y（万元）0.81.11.52.43.7

⑴使用两种模型：@y=bx+a-,②共加、方的相关指数后分别约为092,（）.99,请选择一个拟

合效果更好的模型，并说明理由；

⑵根据（1）中选择的模型，试建立了关于x的回归方程.（保留2位小数）

右外-可（》一刃

附：回归方程5>=应+&中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为4=『-----------，a=y-hx.

£（“-叶

i=\

55

参考数据：2（占一可（%-刃=7.1,令3=片，^（M,.-M）（y,.-y）=45.1.

1-11=1

【答案】⑴应选择$=加2+弁

（2）9=0.12/+0.57

【分析】（1）根据R?越大，模型拟合效果越好，可确定所选模型；

（2）令%=x"利用最小二乘法可求得应吩，进而得到回归方程.

【详解】（1）0.92<0.99,根据统计学知识可知：居越大，模型拟合效果越好,

;应选择模型y=nvc2+n.

(2)令％=x；,

_1+4+9+16+25-_0.8+1.1+1.5+2.4+3.7…

u=-------------=11,y=--------------------=1.9,

5

/.^(^.-w)2=(1-11)2+(4-11)2+(9-11)2+(16-11)2+(25-11)2=374,

i=\

5

又2(〃,—4)5-刃=45」，

i=l

5

2®-硕％-刃

:.m=-----------=x0.121g0.12,n=y-mu=1.9-0.121x11=0.56920.57,

i)2

/=1

y关于x的回归方程为3=0.12/+0.57.

20.已知点A为椭圆]+：=1的左顶点，过点P(4,0)且斜率为刈丘0)的直线交椭圆于8,C两点.

(1)记直线AB,AC的斜率分别为脑右，试判断用网是否为定值?并说明理由；

(2)直线AB,AC分别交直线x=4于M,N两点，当;4k4；时，求线段MN长度的取值范围.

【答案】⑴:

4

⑵[3石,6码

【分析】（1）首先表示出4•右，再设出直线方程，利用韦达定理代入即可求解.

（2）首先表示出M、N点的坐标，再结合第一问，利用韦达定理得到然后得到|MN|关于％的表达

式，再结合我的范围，即可求解.

【详解】（1）设8（即yj、C（x2,y2）,由题可知，A（-2,0）,贝&=-^，所以

占"=二2；；X）M①•由题意,可设8C所在的直线方程为y=Mx-4）,与椭圆联立可得

y=女(九一4)

可得(3+4&2产-32&4+64抬-12=032k2

所以由韦达定理可知，x,+x2

---1=13+4k2

143

X,%=卜［再•七-4（再+%）+16］，代入为+x和

=6?若,又》="(内一4),y2=k(x2-4),2

36-

-,-ZB36k2

X1'x2»可侍y,>2=3+4.2将其代入①式,可得代―64仁「需♦,所以

------T-+-----7+4

3+4&23+4F

k、k2=；，是定值.

（2）由（1）可知，设48所在直线方程为y=-%（x+2）,AC所在的直线方程为）'=一%（》+2）,

则由题意可知M［4,萼］、N（4,2］,又由（1）知），1=々&-4）,必=4（七一4）,则

V再+2JIW+2J

|MN|=M—d=6Mx2+12）:-6%%-12%|=|36%-36右_二网

x}-x2

|xj+2x2+2XjX2+2（%,4-X2）4-4I\xiX2+2（Xj+X2）+4x）x2+2（Xj+x2）4-4

102仁_256*48

IIIIJ（X+工21-4/x,{（3+4左2）3+4公

即修上网'A+2（M）+4邪邳一七--------

，化简可得

3+4/

|MN|=|36Z卜号湾=3j*=3后二,又因为;女4；,所以942416,则

3石41MM46上，即|MN|e［3不,6。］.

21.已知函数/（》）=111》+1/-（。+1）；1+£+1（。>0）.

（1）当4=2时，求/（x）的极值;

⑵设“X）在区间［1,2］上的最小值为力⑷，求6（4）及/水，）的最大值.

3

【答案】⑴极大值』2+"极小值°

In2+--1,0<a<—

22

⑵％）=«一lna+-----，一<。<1,力（“）的最大值为0,

22。2

0,。21

【分析】（1）由极值的概念求解，

（2）根据。的取值分类讨论求解f（x）的单调区间后得〃（。），再由导数判断单调性后求解最大值,

【详解】（1）当4=2时，/（x）=lnx+x2-3x+2（x>o）,

、1_—2厂—3x+1（1）（21）

尸（力=r2>3=-^

X

当Ovx<g或X>1时，/^x）>0,

当;<x<l时，r（x）<o,

故fM在(0,i)和(1,e)上单调递增，在(11)上单调递减，

22

IQ

f(x)的极大值为g)=-In2+',极小值为/(I)=0,

(2)/(x)=—ax—yci+1J=-----------,x>0,

当4=1时，r(x)>0,/(X)在(。，收)上单调递增，.f(x)在区间［,2］上的最小值为M〃)="l)=0,

当时，当0<x<：或x>l时，网8>0,

当!<x<i时，r(x)<o,

a

故/(-*)在(0,-)和a,内)上单调递增，在(L1)上单调递减,

aa

/(X)在区间［L2］上的最小值为h(a)=/(I)=0,

当0<“<1时，同理得/(x)在(0,1)和(',+«>)上单调递增，在(1」)上单调递减,

aa

若在区间［1,2］上的最小值为Ma)=f(2)=ln2+:1,

若;<a<1,〃x)在区间［1,2］上的最小值为力(4)=/(》=-Ina+怖—(

ln2+--l,0<a<-

22

.all.

综上，h(a)="-lna+------，­<a<\

22。2

0,«>1

令g(x)=-lnx+g-；,则g,(x)=—+|+-^=(X~P->0,

22xx22x2x

故g(x)在(0,+oo)上单调递增，

可知A(«)在(0,1)上单调递增，故/<«)的最大值为0,

22.在极坐标系Ox中，若点A为曲线/：/3。+"。=-2(兀4。号)上一动点，点8在射线40

上，且满足|。明。同=4,记动点8的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的极坐标方程；

⑵若过极点的直线乙交曲线C和曲线/分别于RQ两点，且P,Q的中点为M,求10Ml的最大值.

【答案】(l)0=2cose+2sine(O4e4：)或夕=2(6=兀或0=与)

⑵受

2

【分析】⑴当B在线段A。上时，可确定8（2,兀）或外2弓1；当8不在线段A0上时，设加力）,

采用相关点法可求得设8点轨迹；综合两种情况可得结论；

（2）当。：。=2时，P,0重合，不合题意；当C：0=2cose+2sine（O4e4^｝设4：9=a,与曲

线C和曲线/的极坐标方程联立可得以，&,由此用a表示出0,,结合正弦型函数值域求法和

y=f-l的单调性可求得最大值.

t

【详解】（1）当B在线段AO上时，由网=4得：3（2㈤或

当B不在线段40上时，设8（0,。），则

4cos（。+兀）4s