热点05 因式分解的5种题型（解析版）

热点05因式分解的5种题型因式分解：理解因式分解的意义，掌握因式分解的四种方法：提公因式法、公式法、分组分解法（期末基本不考）、十字相乘法（期末考得较少）；期末试卷中通常会考察2道小题和1~2道大题，大多数情况下，选择题中会有1道小题为因式分解的判断，填空题中会有1道小题考察简单类型的因式分解或者利用因式分解求参/求值，解答题第2题为提公因式法与公式法的综合题；对于因式分解，必须注意以下几点：（1）因式分解与整式乘法互为逆运算，不要混淆；（2）分解因式时，提公因式法具有优先级，永远排在其他方法前面；（3）因式分解一定要彻底；（4）分组分解法期末基本不考，但也必须自行复习，以防万一；（5）十字相乘法期末考得较少，但它非常重要，非常重要，非常重要，是为初三乃至高中的学习作铺垫的。【题型1判断下列变形是否为因式分解】1．（2022·兴化·期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是A． B． C． D．【详解】解：、选项没有写成积的形式，不合题意；选项，不是整式，不合题意；选项，，符合题意．故本题选：．2．（2022·苏州·期末）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是A． B． C． D．【详解】解：选项，分解因式的对象必须是多项式，不合题意；选项，分解因式要将多项式写成几个整式的积的形式，而选项是和的形式，不合题意；选项，分解因式要将多项式写成几个整式的积的形式，而选项是和的形式，不合题意；选项，原式，符合题意．故本题选：．3．（2022·宿迁·期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的是A． B． C． D．【详解】解：、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故错误；、是整式的乘法，故错误；、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故错误；、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故正确．故本题选：．【题型2提公因式法】1．（2022·溧阳·期末）因式分解：．【详解】解：原式．故本题答案为：．2．分解因式：．【详解】解：．故本题答案为：．3．（2022·宿迁·期末）已知，，则．【详解】解：，，，原式．故本题答案为：．【题型3公式法（含提公因式法与公式法的综合）】1．（2022·镇江·期末）因式分解的结果是．【详解】解：原式．故本题答案为：．2．（2022·高邮·期末）分解因式：．【详解】解：．故本题答案为：．3．（2022·扬州·模拟）已知，，则A． B．2 C． D．4【详解】解：，，．故本题选：．4．（2022·淮安·期末）因式分解：．【详解】解：．故本题答案为：．5．（2022·淮安·期末）在实数范围分解因式：．【详解】解：．故本题答案为：．6．（2022·无锡·一模）若，则代数式的值等于．【详解】解：，，．故本题答案为：．7．（2022·苏州·期末）若，，那么代数式的值．【详解】解：将、这两式相减：，，（因为，所以，，，，．故本题答案为：．8．（2022·溧阳·期末）把下列各式因式分解：（1）；（2）．【详解】解：（1）；（2）．9．（2022·高邮·期末）因式分解：（1）；（2）．【详解】解：（1）；（2）．10．（2022·泰兴·期末）将下列各式因式分解：（1）；（2）．【详解】解：（1）；（2）．11．（2022·兴化·期末）分解因式：（1）；（2）．【详解】解：（1）；（2）．【题型4分组分解法、十字相乘法】1．（2022·扬州·期末）若，则的值为．【详解】解：，．故本题答案为：3．2．（2022·苏州·期末）若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式，则的值为A．1 B．5 C． D．【详解】解：多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，，．．故本题选：．3．（2022·苏州·期中）因式分解：（1）；（2）．【详解】解：（1）；（2）．【题型5因式分解的综合应用题】1．（2022·宿迁·期末）若一个两位正整数的个位数字为8，求证：一定为20的倍数．【详解】解：，一个两位正整数的个位数字为8，的末尾数字为6，得末尾数字为0，即是2的倍数，是10的倍数，一定为20的倍数．2．（2022·盐城·期中）观察下列等式，并回答有关问题：（1）填空：（2）若为正整数，猜想因式分解的结果并说明理由；（3）利用（2）的结果比较与的大小．【详解】解：（1）根据规律得：，故本题答案为：；（2），理由如下：；（3）．3．（2022·连云港·期中）阅读与理解：（1）先阅读下面的解题过程：分解因式：解：方法（1）原式；方法（2）原式．请你参考上面一种解法，对多项式进行因式分解；（2）阅读下面的解题过程：已知，试求与的值．解：由已知得：，因而得：，所以只有当并且上式才能成立，因而得：并且．请你参考上面的解题方法解答下面的问题：已知：．试求的值．【详解】解：（1）；（2），，，，，，，．4．（2022·淮安·期末）（1）学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路；①可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：或，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程；②可以用“数形结合”的方法，画出表示的图形，根据面积关系得到结果．请你在下面方框中画出图形，并作适当标注．（2）利用（1）的结论分解因式：；（3）小明根据“任意一个数的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最小值，方法如下：①．故当时代数式的最小值为②故当时代数式的最大值为4请你参考小明的方法，求当，取何值时代数式有最小值，并确定它的最小值．【详解】解：（1）①；②如图：（2），故本题答案为：；（3），，，当，，即当时，原式有最小值．1．（2022·宿迁·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是A． B． C． D．【详解】解：、左边不是多项式，不符合因式分解的定义，故不合题意；、是整式的乘法，不是因式分解，故不合题意；、符合因式分解的定义，故符合题意；、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故不合题意．故本题选：．2．（2022·苏州·期末）下列因式分解正确的是A． B． C． D．【详解】解：．不能分解因式，所以不合题意；．原式，所以不合题意；．原式，所以不合题意；．原式，所以符合题意．故本题选：．3．（2022·泰州·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是A． B． C． D．【详解】解：、是整式的乘法，不是因式分解，故不合题意；、左边不等于右边的多项式，不符合因式分解的定义，故不合题意；、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故不合题意；、符合因式分解的定义，故符合题意．故本题选：．4．（2022·镇江）分解因式：．【详解】解：．故本题答案为：．5．（2022·常州）分解因式：．【详解】解：．故本题答案为：．6．（2022·扬州·期末）已知，，则的值是A．6 B． C．1 D．【详解】解：因为，，所以．故本题选：．7．（2022·无锡）分解因式：．【详解】解：原式．故本题答案为：．8．（2022·无锡）分解因式：．【详解】解：．故本题答案为：．9．（2022·宿迁·模拟）已知，，则．【详解】解：原式，，，原式．故本题答案为：54．10．（2022·苏州）已知，，则．【详解】解：，，．故本题答案为：24．11．（2022·扬州）分解因式：．【详解】解：原式．故本题答案为：．12．（2022·镇江·期末）若，，则代数式的值为．【详解】解：，，．故本题答案为：6．13．（2022·泰州·期末）分解因式：（1）；（2）．【详解】解：（1）；（2）．14．（2022·丹阳·期末）分解因式：（1）；（2）．【详解】解：（1）；（2）．15．（2022·南京·期末）因式分解：（1）；（2）．【详解】解：（1）原式；（2）原式．16．（2022·无锡·期中）若在中，、是常数，则的值为．【详解】解：，又，，，，，，．故本题答案为：．17．（2022·南通·期末）若实数，满足，则的值为．【详解】解：，，，，，．故本题答案为：12．18．（2022·扬州·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加