19.4 线段的垂直平分线（解析版）

19.4线段的垂直平分线教学目标：1.识记并理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。2.掌握垂线的尺规作图方法并理解作法的依据及合理性。3.通过对定理的探究，培养学生自主学习勇于思考和探究的品质，让学生充分体会到探究的乐趣。重点：线段的垂直平分线定理和逆定理的证明和运用。难点：线段的垂直平分线定理和逆定理的证明和运用，线段的垂直平分线的画法。知识点一线段垂直平分线的性质定理1.线段垂直平分线的定义经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线2.性质定理线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等3.符号语言4.应用证明线段相等注意：联结线段垂直平分线上的点和线段两个端点,构造等腰三角形是常用的解题方法由于线段垂直平分线上的点可能在线段上也可能在线段外,故证明定理时必须对点P的位置分情况讨论即学即练1（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点．若，则．

【答案】2【分析】根据可知，再根据是的中点可求出，利用可得，可得，，结合已知可得是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质判断出即可证得，进而即可求解．【详解】解：∵，∴，∵是的中点，∴，∵，∴，∴，，又∵，∴是线段的垂直平分线，∴，∵，∴，∵，∴，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．即学即练2（2020秋·上海普陀·八年级统考期中）已知如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为点，那么的周长为．

【答案】【分析】由垂直平分线的性质可得，然后计算的周长即可．【详解】解：∵垂直平分，∴，∴，∴的周长是22cm．故答案为：．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．解决本题的关键是注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．知识点二线段垂直平分线的性质定理的逆定理1.逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上2.符号语言3.应用确定点在线段的垂直平分线上注意：(1)组成线段的垂直平分线的所有点和线段两端点的距离都相等;(2)和线段两端点距离相等的所有点组成该线段的垂直平分线即学即练1（2021秋·上海普陀·八年级校联考期末）下列命题的逆命题错误的是（

）A．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等；B．全等三角形的三条边对应相等；C．如果两个角都是直角，那么这两个角相等；D．等边三角形每个内角都等于60°．【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定及等边三角形的性质可进行排除选项．【详解】解：A、“线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题为“平面上任意一点到一条线段两个端点的距离都相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上”，为真命题，故不符合题意；B、“全等三角形的三条边对应相等”的逆命题为“如果两个三角形的三条对应边都相等，那么这两个三角形全等”，为真命题，故不符合题意；C、“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角都是直角”为假命题，有可能这两个角为对顶角，故符合题意；D、“等边三角形每个内角都等于60°”的逆命题为“如果一个三角形的每个内角都为60°，那么这个三角形是等边三角形”为真命题，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查逆命题、线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定及等边三角形的性质，熟练掌握逆命题、线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定及等边三角形的性质是解题的关键．即学即练2（2022秋·上海·八年级上海市民办上宝中学校考期中）在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，则等于．【答案】或【分析】首先根据题意作图，然后由的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，即可得，，然后分两种情况讨论：①当三角形是锐角三角形时，即可求得的度数，②当三角形是钝角三角形时，可得的邻补角的度数；又由，根据等边对等角与三角形内角和的定理，即可求得．【详解】∵的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，∴，，①如图1，当是锐角三角形时，．∵，∴，②如图2，当是钝角三角形时，．∵，∴．综上所述：的度数是或．故答案为：或．

【点睛】本题考查了等腰三角形与线段垂直平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，要注意分情况讨论．知识点三三角形三边垂直平分线的性质三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等注意：①锐角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内部;②直角三角形三边的垂直平分线的交点恰好是斜边的中点;③钝角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形外部.即学即练1（2021秋·上海·八年级专题练习）到三角形的三个顶点距离相等的点是（

）A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高的交点C．三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形三条角平分线的交点【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的性质，即可求解．【详解】解：∵到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，∴到三角形各顶点距离相等的点是三条边垂直平分线交点．故选：C．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质．掌握到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题关键．即学即练2（2022秋·上海·八年级阶段练习）到三角形各顶点距离相等的点是三角形的交点.【答案】三边垂直平分线【详解】到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，理由是：∵P在AB的垂直平分线EF上，∴PA=PB，∵P在AC的垂直平分线MN上，∴PA=PC，∴PA=PB=PC，即P是到三角形三个顶点的距离相等的点．故答案为三边垂直平分线.题型1线段垂直平分线的性质例1（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，已知中，，，垂直平分，点D为垂足，交于点E．那么的周长为．【答案】8【分析】由线段垂直平分线的性质可得，则，的周长为，从而可得结果．【详解】解：∵的垂直平分线交于点E，垂足为点D，，，，的周长．故答案为：8．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，求图形的周长，关键是线段垂直平分线的性质定理的应用．举一反三1（2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）如图，在中，的垂直平分线与边，交于点，，已知与的周长分别是和，则的长为．【答案】【分析】由题意可得，，再根据与的周长分别是和，求得，即可求解．【详解】解：∵垂直平分线，∴，，与的周长分别是和，即，∴，，故答案为：【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．举一反三2（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）如图，已知，，垂足分别为点A和点，，

(1)试判断与的位置关系，并证明你的结论；(2)如果点是的中点，连接，，试判断的形状，并证明你的结论．【答案】(1),证明见解析(2)是等腰三角形，证明见解析【分析】（1）先证可得，然后根据等量代换和直角三角形的性质即可解答；（2）先说明，如图，过点D作于G，再证明可得，再根据垂直平分线的性质可得，进而得到，即可解答．【详解】（1）解：,证明如下：∵，，∴,，∵，，∴，∴,∵∴∴,即．（2）解：是等腰三角形，证明如下：∵，点E是的中点，∴∵，∴,如图，过点D作于G

∴，∵∴，在和中，，∴∴，∴垂直平分，∴,又∵，∴∴是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定与性质是解答本题的关键．题型2线段垂直平分线的判定例2（2022秋·上海宝山·八年级统考期末）下列说法错误的是（

）A．，是线段的垂直平分线上的两点，则，B．若，，则直线是线段的垂直平分线C．若，则点在线段的垂直平分线上D．若，则过点的直线是线段的垂直平分线【答案】D【分析】根据垂直平分线的性质和判定逐项判断即可．【详解】解:、是线段的垂直平分线上的点，，．故正确，不符合题意；、若，在的垂直平分线上．同理在的垂直平分线上．直线是线段的垂直平分线．故正确，不符合题意；、若，则点在线段的垂直平分线上，故正确，不符合题意；、若，则点在线段的垂直平分线上．但过点的直线有无数条，不能确定过点的直线是线段的垂直平分线．故错误，符合题意．故选：．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与判定，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质与判定，准确进行推理判断．举一反三1（2020秋·上海奉贤·八年级校考期末）在中，，D为中点，于E，交的延长线于F．(1)求证：；(2)求证：垂直平分．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由证明，即可得出结论；（2）连接，交于点G，由（1）得，再由，得，则，然后由等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴；（2）证明：如图，连接，交于点G，由（1）得：，∵D为的中点，∴，∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴，∴，∴，，即垂直平分．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．举一反三2（2022秋·上海·八年级专题练习）已知：如图，中，分别是上的中线，相交于点，联结．求证：（1）；（2）垂直平分．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用三角形的全等，得到一对对应角，后利用等角对等边证明即可；（2）逆用线段垂直平分线的判定证明即可．【详解】（1）∵分别是上的中线，∴BE=CD，∠EBC=∠DCB，∵BC=CB，∴△EBC≌△DCB，∴∠ECB=∠DBC，∴OB=OC；（2）设AO与DE的交点为F，∵△EBC≌△DCB，∴EC=DB，∵OB=OC；∴OD=OE，∴点O在线段DE的垂直平分线上，∵AE=AD，∴点A在线段DE的垂直平分线上，∴直线AO是线段DE的垂直平分线，∴垂直平分．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的全等，中线的定义，垂直平分线的判定和性质，同一个三角形中，等角对等边，熟练掌握线段垂直平分线的逆定理是解题的关键．题型3线段垂直平分线的实际应用例3（2020·八年级校考课时练习）如图，中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，的周长为9cm，则的周长是（

）

A．12cm B．15cm C．21cm D．18cm【答案】B【分析】由DE是△ABC中边AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得BD=AD，AB=2AE，又由△ADC的周长为9cm，即可得AC+BC=9cm，继而求得△ABC的周长．【详解】解：由DE是边AB的垂直平分线，∴AD=BD，AE=BE，由△ADC的周长为9cm，∴AC+BC=9，∵AE=3，∴AB=6，∴△ABC的周长是15cm，故选：B．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度适中，解题的关键是注意等量代换与整体思想的应用．举一反三1（2020秋·上海金山·八年级统考期末）已知：△ABC中,AB=AC,∠BAC=120∘，（1）利用直尺、圆规,求作AB的垂直平分线DE,交BC于点D、交AB于点E:(不要求写出作法,但要求保留作图痕迹)（2）若BD=3，求BC的长.【答案】（1）见解析；（2）9【分析】（1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作出DE垂直平分AB；（2）连接AD，如图，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线的性质得DA=DB，则∠DAB=∠B=30°，接着计算出∠CAD=90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CD=2AD，从而得到结论．【详解】（1）如图，DE为所作；（2）连接AD，如图，∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵BD=3，∴AD=3，∴∠BAD=∠B=30°，∴∠CAD=120°−30°=90°，∴CD=2AD=6，∴BC=BD+CD=3+6=9.【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．举一反三2（2019秋·上海·八年级校考期中）如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请用尺规作图，将上述两种情况下的自来水厂厂址分别在图（1）（2）中标出，并保留作图痕迹．【答案】(1)见解析;(2)见解析.【分析】（1）作出AB的垂直平分线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等.（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小.【详解】（1）根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等知，作出AB的垂直平分线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等.（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小，理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点P在CB的连线上时，CP+BP是最小的.

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，轴对称的性质和距离之和最短问题，熟悉性质及距离之和最短问题的作法是关键．题型4作垂线（尺规作图）例4（2022秋·上海黄浦·八年级校联考阶段练习）如图，在已知中，是的角平分线．(1)根据要求作图：在边上求作一点E，使得点E到A、D的距离相等．（不要求写作法，但需要保留作图痕迹和结论）(2)在第（1）小题所作的图中，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）分别以点A和点D为圆心，以大于长为半径画弧相交于两点，经过这两点作直线交于点E即可；（2）连结，由是的角平分线，得到，由是线段的垂直平分线，得到，则，得到，即可得到结论．【详解】（1）解：如图所示，∵点E在线段的垂直平分线上，∴点E到A、D的距离相等．（2）证明：连结，∵是的角平分线，∴，∵是线段的垂直平分线，∴，∴是等腰三角形，∴，∴，∴．【点睛】此题考查线段垂直平分线的作图和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，熟练掌握线段垂直平分线的作图和性质是解题的关键．举一反三1（2022秋·上海·八年级期末）作图题：在等边ABC所在平面上找这样一点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，请用尺规画出所有具有这样性质的点P．【答案】作图见解析【分析】分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；还有一点是三边的垂直平分线的交点，即可求解.【详解】解：分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；还有一点是三边的垂直平分线的交点，∴一共有10个点；【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.举一反三2（2019秋·上海普陀·八年级校考期中）已知：如图，在中，，边的垂直平分线与分别交于点D和点E．（1）作出边的垂直平分线（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）当时，求的度数．【答案】（1）如图所示，见解析；（2）．【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出即可；（2）连接CE，利用垂直平分线的性质证明出，再通过计算∠ACB的角度得出∠A的度数．【详解】（1）如图所示，即为所求作的边的垂直平分线；（2）如图，连接，∵是的垂直平分线，∴，∴，∵，∴，∴，设，则，在中，，∴，解得，即．【点睛】本题考查了垂直平分线的作法和性质，等腰三角形等边对等角，以及三角形内角之间的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．一、单选题1．（2022秋·八年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（）A．41° B．42° C．43° D．44°【答案】B【分析】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，根据ED是AC的垂直平分线，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝7x°，根据直角三角形中两锐角互余建立方程，解方程即可求解．【详解】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C＝7x°，∵∠B＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∴7x+7x+x＝90，解得：x＝6，∴∠C＝7×6°＝42°，故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质求出AE＝CE是解此题的关键．2．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝，则∠EAN的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形内角和定理可求∠B+∠C，根据垂直平分线性质，EA＝EB，NA＝NC，则∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，从而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，即可得解．【详解】解：∵∠BAC＝，∴∠B+∠C＝，∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，∴EA＝EB，NA＝NC，∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，∴∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，＝＝．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，角的和差关系，能得到求∠EAN的关系式是关键．3．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，已知垂直平分线段，，那么的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据垂直平分线可得AB=AC，即可得到．【详解】∵垂直平分线段，∴AB=AC，∴故选：C．【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形等边对等角的性质，解题的关键是找到等腰三角形．4．（2022秋·上海·八年级专题练习）三角形的外心是三角形的（

）A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点【答案】C【分析】根据三角形的外心的定义（三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点）即可得．【详解】解：三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的外心，熟记定义是解题关键．5．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，在中，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，平分，那么下列关系中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据线段垂直平分线的性质，，则，再由平分，得．从而得出答案．【详解】解：、，且，，又平分，，故．正确，不符合题意；、在与中，，，根据三角形内角和定理．正确，不符合题意；、，且，∴EB=EA，正确，不符合题意；、不一定成立，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．二、填空题6．（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）在中，，垂直平分分别交，于，．如果是等腰三角形，那么的大小是．【答案】或【分析】首先根据线段垂直平分线的性质得出，即可得到.然后对中的边进行讨论，然后在中，利用三角形内角和定理即可求得的度数.【详解】∵是的中垂线,∴，∴，∵,∴，设,则，

①当时,则在中，根据三角形内角和定理可得：,解得:,则；②当时,,而,故此时不成立；③当时,在中，根据三角形内角和定理得到：，解得:，即的度数为或，故答案为或．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确对的边进行讨论是解题的关键.7．（2022秋·上海黄浦·八年级校联考阶段练习）在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∠DAE＝20°，则∠BAC＝°．【答案】80或100．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，根据等腰三角形的性质得到∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，根据三角形内角和定理分两种情形分别计算即可．【详解】解：如图1，∵DM，EN分别垂直平分AB和AC，∴DA=DB，EA=EC，∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，∠DAB+∠B+∠EAC+∠C-∠DAE=180°，则2（∠B+∠C）=200°，解得，∠B+∠C=100°，∴∠BAC=80°，如图2中，∵DM，EN分别垂直平分AB和AC，∴DA=DB，EA=EC，∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，∠DAB+∠B+∠EAC+∠C+∠DAE=180°，则2（∠B+∠C）=160°，解得，∠B+∠C=80°，∴∠BAC=100°，故答案为：80或100．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．8．（2019秋·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期末）如图△ABC中，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，如果AB=CD，∠C等于20度，那么∠A度．【答案】【分析】连接BD,证明△ABD和△BDC是等腰三角形,在利用外角性质证明∠ADB=∠DBC+∠C及即可解题.【详解】解：连接BD,由题可知：BD=CD=AB,∴△ABD和△BDC是等腰三角形,∴∠C=∠DBC,∠A=∠ADB,又∠ADB=∠DBC+∠C,∠C=20°,∴∠A=∠ADB=20°+20°=40°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,外角性质,属于简单题,作辅助线,熟用外角性质是解题关键.9．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，在中，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，，作直线，交于点，连接．如果,，那么；【答案】3【分析】直接利用基本作图方法得出MN垂直平分AB，进而得出答案．【详解】由作图步骤可得：MN垂直平分AB，则AD=BD，∵BC=5，CD=2，∴BD=AD=BC-CD=5-2=3．故答案为3．