2015龙岩市质检数学（文）试题及答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．参考公式：样本数据的标准差锥体体积公式其中为样本平均数其中为底面面积，为高柱体体积公式球的表面积、体积公式其中为底面面积，为高其中为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）（第1题图）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（第1题图）1．如图，设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合是A．B．C．D．2．若命题：；命题：，则下列结论正确的是A．为假命题 B．为假命题 C．为假命题 D．为真命题3．已知函数，则A． B． C． D．（第4题图）0.080.040.030.02353025201510（第4题图）0.080.040.030.02353025201510长度(mm)频率组距检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为A． B． C． D．5．函数的大致图象为ABCDABCD6．已知是以为圆心的单位圆上的动点，且，则A． B． C． D．是否结束（第7题图）7．如图所示的程序框图输出的结果是是否结束（第7题图）A． B．C． D．8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是A． B．C． D． （第8题图）正视图侧视图俯视图9．已知满足，且目标函数的最小值为，（第8题图）正视图侧视图俯视图则实数的值是A． B． C． D．10．已知双曲线（）的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为A． B． C． D．11．已知函数的部分图象如图所示，是边长为的等边三角形，为了得到的图象，只需将的图象（第11题图）A．向左平移（第11题图）B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位（第12题图）D．向右平移（第12题图）12．如图，已知正方体的棱长为4，点，分别是线段，上的动点，点是上底面内距离，则当点运动时，的最小值是A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上.）（第14题图）13．已知是虚数单位，复数的模为________.（第14题图）14．如图，在平行四边形中，点在边上，若在平行四边形内部随机取一个点，则点取自内部的概率是_________.15．在中，已知，，那么的值是___________.16．单位分数之和.例如：，，，……依此方法可得：，其中，则.三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，公差，，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，……，第项，……，按原来顺序组成一个新数列，记该数列的前项和为，求的表达式．18．（本小题满分12分）（第18题图）如图，平面为圆柱的轴截面，点为底面圆周上（第18题图）异于的任意一点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若为的中点，求证：平面．19．（本小题满分12分）某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试.甲、乙两人参加了次考试，成绩如下：第一次第二次第三次第四次第五次甲的成绩乙的成绩（Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由；（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过分，则称该次考试两人“水平相当”.由上述次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．20．（本小题满分12分）若函数的图象与直线为常数)相切，并且切点的横坐标依次构成公差为的等差数列．（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）求函数在上所有零点的和．21．（本小题满分12分）已知椭圆：与抛物线：有相同焦点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知直线过椭圆的另一焦点，且与抛物线相切于第一象限的点，设平行的直线交椭圆于两点，当△面积最大时，求直线的方程．

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1-5CABCC6-10BCDBD11-12AD二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．14．15．16．18．【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查学生的空间想象能力及推理论证能力．证明：（Ⅰ）为的直径，点为上的任意一点……………2分又圆柱中，底面,即………………4分而平面………………6分（Ⅱ）（法一）取中点，连结、,为的中点中，,且……………8分又圆柱中，,且,为平行四边形………………10分……………………11分而平面，平面平面……………12分（法一图）（法二图）（Ⅱ）证明：（法二）连结、,为的中点，为的中点中，而平面，平面平面………8分又圆柱中，,且为平行四边形而平面，平面平面……………………10分平面平面平面平面…………………12分19．【命题意图】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想.解：（Ⅰ）解法一：依题意有……………2分……3分…4分答案一：从稳定性角度选甲合适.…………6分（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适.…………6分）答案二：乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适.…6分解法二：因为甲次摸底考试成绩中只有次，甲摸底考试成绩不低于的概率为；………………2分乙次摸底考试成绩中有次不低于，乙摸底考试成绩不低于的概率为．………………5分所以选乙合适．…………………6分（Ⅱ）依题意知次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为.“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为.从这次摸底考试中任意选取次有共种情况．……………9分恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共共种情况．……………10分次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率．……………12分20．【命题意图】本题主要考查三角函数两倍角公式、辅助角公式、等差数列公差、等差数列求和方法、函数零点基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想．解：（Ⅰ）===……3分依题意得函数的周期为且，，……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知…………8分又………10分所有零点的和为…………12分21．【命题意图】本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想．解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，，又椭圆方程为．………4分（Ⅱ）（法一）设，，直线的方程为即且过点，切线方程为…………6分因为，所以设直线的方程为，由，消整理得…………7分，解得①设，，则∴…………8分直线的方程为，点到直线的距离为………9分，………………10分由①，（当且仅当即时，取等号）最大所以，所求直线的方程为：．……12分（法二），由已知可知直线的斜率必存在，设直线由消去并化简得∵直线与抛物线相切于点.∴，得.………………5分∵切点在第一象限.∴………………6分∵∥∴设直线的方程为由，消去整理得，…7分，解得.设，，则，.……8分又直线交轴于当，即时，.…………11分所以，所求直线的方程为.………………12分22．【命题意图】本题为导数、与不等式的综合,主要考查导数的应用.考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．解：（Ⅰ），，…………3分切线方程为，…………4分令，得为定值…………5分（Ⅱ）由对时恒成立，得对时恒成立，即对