电磁场与微波技术第2章

2.1电磁场中的基本物理量和实验定律

自然界中最小的带电粒子包括电子和质子

一般带电体的电荷量通常用q表示

从微观上看，电荷是以离散的方式出现在空间中的

从宏观电磁学的观点上看，大量带电粒子密集出现在某空间范围内时，可假定电荷是以连续的形式分布在这个范围中

电荷的几种分布方式：空间中----体积电荷体密度

面上-----电荷面密度

s线上-----电荷线密度

l2.1.1电荷与电荷密度12/15/20231

体电荷：电荷连续分布在一定体积内形成的电荷体

体电荷密度的定义在电荷空间τ内，任取体积元，其中电荷量为则

体电荷分布

面电荷：当电荷只存在于一个薄层上时，称电荷为面电荷

面电荷密度的定义在面电荷上，任取面积元，其中电荷量为则

面电荷分布

12/15/20232

线电荷：当电荷只分布在一条细线上时，称电荷为线电荷

线电荷密度的定义在线电荷上，任取线元，其中电荷量为则

线电荷密度

当电荷体积非常小，可忽略其体积时，称为点电荷。点电荷可看作是电量q无限集中于一个几何点上。

点电荷

12/15/20233

当电荷速度不随时间变化时，电流也不随时间变化，称为恒定（稳恒）电流

空间各点电荷的流动除快慢不同外，方向可能不同，仅用穿过某截面的电荷量无法描述电流的分布情况

引入电流密度来描述电流的分布情况

电荷的几种分布方式：空间中----电流体密度面上----电流面密度线上-----线电流

电荷的宏观定向运动称为电流.，通常用I表示，定义为

2.1.2电流与电流密度

电流的物理意义：单位时间内流过曲面S的电荷量12/15/20234一、体电流密度矢量：1、体电流密度矢量：

定义：其中：为正电荷运动（电流）的方向。包围被研究的点，垂直于的面元。面元上通过的电流。单位：A/㎡与时间无关，但一般与空间坐标有关，即恒定电场中：12/15/20235在电荷流动区域某点，取一垂直于电流流动方向的面元，则时间内，穿过的电荷量为：故

与运动电荷的体密度及运动速度的关系：12/15/20236关于体电流密度的说明通过截面积S的电流

反映空间各点电流流动情况的物理量，形成一个空间矢量场

它在某点的方向是正电荷运动的方向。

如有N种带电粒子，电荷密度分别为

i，平均速度为，则12/15/20237

面电流密度定义：

当电流集中在一个厚度趋于零的薄层（如导体表面）中流动时，电流被认为是表面电流或面电流，其分布情况用面电流密度矢量来表示。

面电流分布

如图，设电流集中在厚度为h的薄层内流动，的方向是正电荷运动的方向，大小等于通过与垂直的单位线上的电流密度。12/15/20238

与运动电荷的面密度及速度的关系：在电荷流动区域某点，取一垂直于电流流动方向的线元，则时间内，穿过的电荷量为：12/15/20239关于面电流密度的说明是反映薄层中各点电流流动情况的物理量，它形成一个空间矢量场分布

的方向为电流流动的方向

在某点的大小为单位时间内垂直通过单位长度的电量

当薄层的厚度趋于零时，面电流称为理想面电流

电荷只在一条线上运动时，形成的电流即为线电流。

电流元：长度为无限小的线电流元。

线电流和电流元12/15/2023102.1.3库仑定律和电场强度

库仑定律描述了真空中两个静止的点电荷间相互作用力的规律

库仑定律内容：如图，电荷q1对电荷q2的作用力为：式中：为真空中介电常数。

库仑定律是一个实验定律----理想的一、库仑定律：12/15/202311对库仑定律的进一步讨论

作用力大小与电量成正比、与距离的平方成反比，方向在连线上

多个电荷对一个电荷的静电力是各电荷力的矢量叠加，即

连续分布电荷系统的静电力须通过矢量积分进行求解

同号相斥，异号相吸12/15/202312二、电场强度矢量

电场的定义

电场强度矢量

用电场强度矢量表示电场的大小和方向

电场是电荷周围形成的物质，当另外的电荷处于这个物质中时，会受到电场力的作用

静止电荷产生的电场称为静电场

电场强度随时间改变的电场称为时变电场实验表明：任何电荷都在自己周围的空间产生电场，而电场对处在其中的任何电荷都有作用力，此作用力称为电场力。电荷间的相互作用力是通过电场来传递的．12/15/202313

实验证明：电场中电荷q0所受的电场力大小与自身所带电量q0成正比，与电荷所在位置电场强度大小成正比，即

对电场强度的进一步讨论

电场强度形成矢量场分布，各点相同时，称为均匀电场

电场强度是单位点电荷受到的电场力，只与产生电场的电荷有关

对静电场和时变电场上式均成立

点电荷产生的电场单个点电荷q在空间任意点激发的电场为12/15/202314

多个点电荷组成的电荷系统产生的电场由矢量叠加原理，N个点电荷组成的电荷系统在空间任意点激发的电场为式中:源点场点12/15/202315

处理思路：

1)无限细分区域

2）考查每个区域

3）矢量叠加原理

设体电荷密度为，图中在P点产生的电场为：则整个体积τ内电荷在P点处产生的电场为：

连续分布的电荷系统产生的电场连续分布于体积中的电荷在空间任意点Ｐ产生的电场12/15/202316

面电荷和线电荷产生的电场只需在上式中将电荷体密度、体积元和积分区域作相应替换即可，如

线电荷

面电荷12/15/202317带撇表示源例2.1：有限长直线L上均匀分布着线密度为的线电荷,求线外任一点的电场强度.

电场方向在源点与场点的连线上.解:采用柱坐标系,并将轴与直导线重合,原点在直导线的中点,场点坐标为

,线电荷元为,它在场点的电场强度为：沿柱坐标系的三个分量为:12/15/202318即12/15/202319若导线无限长,则故∴长线段在Ｐ点产生的电场为:12/15/202320例2.2一个均匀带电的环形薄圆盘，内半径为a，外半径为b，电荷面密度

为常数，如图所示，求环形薄圆盘轴线上任一点的电场强度。

采用柱坐标系，场点坐标为P(0,0,Z)。面电荷元，其到场点的距离矢量解：因此，场点P的电场强度为12/15/202321又因为所以结果表明：在均匀的环形薄圆盘轴线上，只有方向的电场分量。12/15/2023222.1.4安培力定律和磁感应强度

安培力定律描述了真空中两个电流回路间相互作用力的规律。式中：为真空中磁导率。

C1上电流元对C2上电流元磁场力为安培定律的微分形式

两个电流元的相互作用力一、安培力定律-——实验定律：12/15/202323再在C2上对上式积分，即得到回路C1对回路C2的作用力安培定律的积分形式在回路C1上积分，得到回路C1作用在电流元上的力

两个电流环的相互作用力

12/15/202324二、磁感应强度矢量

磁场：

磁力是通过磁场来传递的

电流或磁铁在其周围空间会激发磁场

会对处于其中的运动电荷（电流）或磁体产生力的作用

磁场强度矢量安培力公式

处于磁场中的电流元所受的磁场力与该点磁场、电流元强度和方向有关，即12/15/202325

毕奥－萨伐尔定律若由C1回路电流产生，则由安培力定律可知，回路中的电流产生的磁感应强度B１为：毕奥－沙伐定律

说明：、、三者满足右手螺旋关系。

12/15/202326对毕奥－萨伐尔定律的讨论

真空中任意电流回路C产生的磁感应强度

面电流产生的磁场

体电流产生的磁场体电流可以分解成许多细电流管，近似地看成线电流，此时有I=

，则电流元为

，得

12/15/202327例求有限长直线电流的磁感应强度。解：选取柱坐标系，直线与Ｚ轴重合，Ｐ点在Ｚ轴上的投影点为原点。在导线上任取电流元Idz，其方向沿着电流流动的方向，即

z方向。由毕奥—沙伐定律，电流元在导线外一点P处产生的磁感应强度为其中当导线为无限长时，

1→0，

2→

结

果

分

析

12/15/202328２.２.１真空中静电场的基本方程亥姆霍兹定理告诉我们：矢量场的散度和旋度决定其性质，因此，静电场的基本方程即为电场的散度、旋度计算式。一、真空中静电场的散度

高斯定理可以证明：真空中静电场的散度为静电场高斯定理微分形式说明：电场散度仅与电荷分布相关，其大小

真空中静电场的散度２.２静电场（２.２５）12/15/202329

物理意义：静电场穿过闭合面S的通量只与闭合面内所围电荷量有关。

静电荷是静电场的散度源，激发起扩散或汇集状的静电场

无电荷处，源的强度(散度）为零，但电场不一定为零

将高斯定理微分形式对一定体积τ积分，则得：式中：S为高斯面，是一闭合曲面，

∑q为高斯面所围的电荷总量。真空中静电场的高斯定理

真空中静电场的高斯定理对高斯定理的讨论高斯散度定理12/15/202330二、真空中静电场的旋度环路定律当A点和B点重合时：

物理意义：在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电力做功为零——静电场为保守场。

静电场旋度处处为零，静电场中不存在旋涡源，电力线不构成闭合回路斯托克斯公式对环路定理的讨论静电场环路定律积分形式静电场环路定律微分形式12/15/202331真空中静电场基本方程小结：微分形式积分形式静电场性质：是一种有源无旋场，是保守场。静电场的源：电荷讨论：对静电场，恒有：静电场可以由一标量函数的梯度表示。为标量函数，称电位。矢量分析中的一个重要恒等式12/15/202332

求解的关键：高斯面的选择。

高斯面的选择原则：

只有当电荷呈某种对称分布时才可能满足以上原则，因此用高斯定理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分布的电荷系统。1）场点位于高斯面上；2）高斯面为闭合面；3）在整个或分段高斯面上，或为恒定值。利用高斯定理求解静电场12/15/202333求无限长线电荷ρl在真空中任意点Ｐ产生的电场强度。解：取如图所示高斯面。由于线电荷无限长，所以电场强度只有径向方向，且只是r的函数。由高斯定理，有例柱坐标中12/15/202334解：取如图所示高斯面。在球外区域：r

a

分析：电场方向垂直于球面。电场大小只与r有关。半径为a的球形带电体，电荷总量Q均匀分布在球体内。求：

在球内区域：r

a

例球坐标12/15/2023352.2.2

电位函数

一、电位函数与电位差

电位函数

电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；

“－”表示电场指向电位减小最快的方向；引入电位函数：可由一标量函数表示。关于电位函数的讨论12/15/202336电场空间中两点间电位差为：

电位差反映了电场空间中不同位置处电位的变化量。

电位差的计算：

电位差（电压）关于电位差的说明电荷q0在静电场中,从P点沿曲线C移至A点时,电场力所做的功为:

意义：A、P两点间的电位差等于将单位正点电荷从P点移动到A点过程中电场力所作的功。

两点间电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关12/15/202337

电位参考点显然，电位函数不是唯一确定的，可以加上任意一个常数仍表示同一个电场，为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即选参考点令参考点电位为零电位确定值(电位差)两点间电位差有定值

应使电位表达式有意义

应使电位表达式最简单

同一个问题只能有一个参考点

电位参考点电位一般为0；

选择电位参考点的原则:实际当中，常常把大地表面作为电位参考点，理论分析中，则常常把无穷远处作为电位参考点。12/15/202338二、电位函数的求解选取Q点为电位参考点，则若电位参考点Q在无穷远处，即则：点电荷在空间中产生的电位

说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点

点电荷的电位12/15/202339体电荷：面电荷：线电荷：式中：说明：若参考点在无穷远处，则c=0。

分布电荷体系在空间中产生的电位引入电位函数的意义：

简化电场的求解！在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单，因此可以通过先求电位函数，再由关系求得电场强度。12/15/202340求电偶极子在空间中产生的电位和电场。分析：电偶极子定义解：这里关心的是远离电偶极子的场，即当r>>l

的情形。采用球坐标，将原点放在电偶极子的中心，电偶极子：由两个相距很近的带等量异号电量的点电荷所组成的电荷系统电偶极矩：例Ｚ12/15/202341

电偶极子在场点Ｐ的电位:>>则而电矩即(a)Ｚ(b)12/15/202342电偶极子的场强:将(a)代入与无关故电偶极子的电场强度有如下两个特点.

特点一、

特点二、具有轴对称性。点电荷：12/15/202343三泊松方程拉普拉斯方程

柱面坐标系和球面坐标系下的拉普拉斯运算见附录。

标量场的拉普拉斯运算

矢量场的拉普拉斯运算对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：式中：称为拉普拉斯算符。在直角坐标系中：10812/15/202344静电场电位方程的建立即：电位的泊松方程在无源区域，电位的拉普拉斯方程电位方程的应用

12/15/202345例2.8平行板电容器由两块面积为S、距离为d的平行导体组成，极板间为空气，板间加电压为U，如图2.12所示。求极板间的电位和电场分布。

图2.12电容器的截面图解：忽略电场的边缘效应，极板间电位的拉普拉斯方程为其通解为又因为，

所以、。即，平行板电容器极板间电位是线性的，电场是均匀的。12/15/2023461、场源积分法积分困难，对大多数问题不能得出解析解。2、应用高斯定理求解只能应用于电荷成对称分布的问题。3、间接求解法先求解空间电位分布，再求解空间电场。在实际工程应用中，间接求解法应用最为广泛，适用于边值问题的求解。小结：求空间电场分布的方法12/15/2023472.2.3

电介质中的高斯定理及边界条件

一、电介质的极化与极化强度：电介质的极化：带电粒子是非自由的。电介质的分子可分成：

极性分子：其分子内的正、负电荷作用中心不相重合而形成电偶极子。无外电场作用时：宏观来看，极性分子的电偶极子在排列方向上是四面八方的，总电矩为零。电偶极矩

非极性分子：其分子内的所有正、负电荷作用中心重合。12/15/202348

有外电场作用时：非极性分子的正、负电荷中心发生相对位移形成电偶极子；

极性分子的电偶极子发生转向，结果，电介质内部的偶极子电矩的矢量和不再为零。此即被称为电介质的极化。极化的结果：电介质内部的总电矩不为零的偶极子将产生一个附加电场。12/15/202349极化电荷产生的附加电场在电介质中只能削弱外加电场而不能将其抵消为零。故电介质内部总电场强度一般不为零。12/15/202350极化强度矢量：定义：极化后形成的单位体积内的电偶极矩(２.５０)单位：实验表明：对大多数的电介质(各向同性介质)，其与电介质中的的方向是一致的。且常数此种电介质称线性各向同性电介质。极化强度矢量

电介质的极化率。12/15/202351设电介质的极化强度为，在电介质中取一体积元，则介质中的总电偶极矩为，那么，中的电偶极子在场点M处产生的电位为：则：中全部偶极子在场点P处产生的电位为：M(2.40b)二、极化电荷的体密度、面密度与极化强度的关系：12/15/202352利用带撇表示对源微分则：高斯散度定理12/15/202353即（2.38）面电荷体电荷（2.37）对比由于本来就处在介质内部，因而表示介质内部的撇可去掉.闭合面内的介质极化后形成的偶极子产生的电场，相当于在中有等效体密度和在面上有等效面密度为的电荷产生的场的叠加。故12/15/2023542.2.3电介质中的高斯定理及边界条件则有电介质存在时的电场，可看成是自由电荷与极化电荷共同在真空中产生的。自由极化即自由电荷极化电荷电介质电场中极化电荷附加电场一、电介质中的高斯定理12/15/202355故令称为电位移矢量。单位：C/㎡电介质中高斯定理的积分形式12/15/202356

微分形式：高斯散度定理高斯定理的微分形式12/15/202357二、分界面上的边界条件电位移的边界条件:

分界面上有电荷（自由）：如图所示：取一闭合面S应用高斯通量定理：由介质“2”指向介质“1”。积分形式12/15/202358即则也可写成：

分界面上无自由电荷：则（2.62）物理意义：分界面上无自由电荷时，的法向分量是连续的。亦即12/15/202359用电位表示：则故12/15/202360如图所示：取一闭合回路C.应用静电场中的环量定理:即则亦即（2-6-5）物理意义:不同介质的分界面上电场强度的切向分量是连续的.电场强度的边界条件：12/15/202361用电位表示：物理意义：分界面上的电位是连续的。12/15/202362分界面上电场方向的关系：设分界面上无自由电荷(1区和2区都是理想介质）则∴（2.69）物理意义：分界面两侧电场强度发生突变。12/15/202363若某力逆电场力而使电荷发生了位移，则该力也对电荷做了功。据能量守恒原理，此功应最后转换为电场能而储存在电场中。故静电场中是储存有能量的。其能量来源于带电系统的建立过程中外界所做的功。一、静电场能量：电场对处在其中的电荷有力的作用，若该电荷发生了位移，则电场力对该电荷做了功。据能量守恒原理，此功由电场所做，应是电场能转化而来；消耗了电场能。2.2.4静电场的能量12/15/2023641、电荷系统的能量：在静电场中，电场力做功与路径无关，即静电场中的能量为势能——只与电荷分布有关，而与形成这种电荷分布的过程无关。设在各向同性、线性且均匀的媒质中，其最终电荷分布为，电位为。由于静电能与电荷系统的建立过程无关，故可选一简单的电荷建立过程。设电荷系统各点的电荷密度按的同一比例因子增加（），各点电位也按同一比例因子变化。即在某时刻，当各点的电荷分布为时，其相应电位为。12/15/202365对某体积元电荷密度：则电源向送入电荷：电源做功：对整个电荷系统所在空间：电源做功据功能原理：电源做功电场能增加。则系统相应电位为:12/15/202366若电荷系统是N个带电体：且均为导体（等位体），则在第号导体上，常数，而且整个系统的电荷在建立过程中：电荷系统的总能量：即若电荷系统是面电荷：则即若电荷系统是N个点电荷：则（1）12/15/202367纵观以上三式，电场能量都是与电荷的分布联系在一起的，难道说电场能量只存在于有电荷分布的区域？这种说法是不对的。电场能量是储存在整个静电场中的。2、用场量表示的静电能量及能量体密度：将其代入（1）式中，则又∵

电场能量：12/15/202368而上式只有不为零的空间对积分有贡献，因此，将积分区域任意扩大并不影响的大小，那么，当无限扩大时，其闭合曲面也无限扩大，而且不为零的区域总是有限，则对无限大而言，整个不为零的区域就可视为点电荷，设点电荷与相距为12/15/202369故对线性各向同性电介质：此即说明：只要电场强度的空间都有电场能。

能量体密度：（2.76）12/15/2023702.2.5直角坐标系中的分离变量法(2.79)２、分离变量：令(2.80)(2.80)(2.79)将代入,并整理得:(2.81)１、位函数的拉普拉斯方程：12/15/202371３、三个常微分方程：(2.82)(2.83)(2.84)(2.85)(５-２-３)由得：称为分离常数。12/15/202372４、通解：(2.82)讨论则为待定系数。>０，为实数；<０，为实数；则或(2.86)(2.87)(2.88)12/15/202373则(2.89)同理，的通解亦可根据的取值不同，从而得到类似的通解。故５、由给定边界条件确定待定系数特解。12/15/202374例2.11求如图2.18所示一个长方体内的电位分布。已知面的电位为，其它各面的电位为0。图2.18长方体内的电位电位Ф的拉普拉斯方程为Ф可以表示为由边界条件f(x)的一般解为：12/15/202375由边界条件为了满足边界条件所以电位的通解为将上式代入边界条件12/15/202376利用三角函数的正交性确定待定系数Cmn。用乘式（2.91)两边，并对x从０→a积分，对y从０→b积分。方程的右边由于三角函数的正交性，除n=s和m=t项外，其余项的积分都为０，故方程右边为：方程左边为：因此电位的解为：12/15/2023772.2.６唯一性定理及镜像法

我们希望在求解静电场问题时,其解是唯一的,那么,在什么条件下,其解才是唯一?边值问题:，给定边界上的电位函数,即已知S为边界上的点。给定边界上的电位函数的法向导数,即已知。边界，即已知电场强度12/15/202378

在静电场中，满足以上三类给定边值条件之一，在区域内电场和电位移的解是惟一的。唯一性定理：q-q′非均匀感应电荷等效电荷

求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位镜像法

非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代12/15/202379

镜像法的目的：把原问题中包含典型边界的场的计算问题化为无限大均匀媒质空间中的问题求解,达到简化求解的目的.

镜像法基本思路：在求解域外的适当位置，放置虚拟电荷等效替代分界面上导体的感应面电荷或媒质的极化面电荷的作用，取消分界面的存在。

镜像法原理（用等效源替代边界条件对场的影响）

镜像法理论依据：唯一性定理。由唯一性定理：满足同一方程和同样边界条件的电位分布的解是相同的，所以引入镜像电荷（等效电荷）后，应该有

电位函数仍然满足原方程（拉氏方程或泊松方程）

电位分布仍满足原边界条件

镜像电荷位置选择原则：

镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件

镜像电荷必须位于求解区域以外12/15/202380一、平面接地导体边界

点电荷对无限大接地平面导体边界的镜像

原问题：无限大接地导体平面（z=0）,点电荷q位置：z=h

求空间中电位分布。

等效问题：

要求：与原问题边界条件相同

原电荷：q:z=h

镜像电荷(等效电荷):-q->z=-h(求解域外)

取消导体边界面，z>0空间媒质充满整个空间。12/15/202381由等效问题，可以求出在z>0空间内的电位分布为：即：无限大导体平面上，点电荷的镜像电荷电量与其在导体面上的感应电荷电量相等。无限大接地导体分界面上感应电荷12/15/202382２.３恒定电场

恒定电流。电场中电荷运动有规则的定向恒定电场。电流的电场那么，维持恒定电流。不随时间改变的电流，12/15/2023832.3.1恒定电场的基本方程：一、电流连续性方程据电荷守恒原理：从任一闭合曲面S流出的电流应等于从S所包围的体积中单位时间内电荷减少的数量。即（2.96）１、积分形式根据电流连续性方程积分形式12/15/2023842、微分形式：应用散度定理：则电流连续性方程的积分形式可写成：（2.97）电流连续性方程的电流连续性方程微分形式12/15/202385电流为无散源二、恒定电场的基本方程：1、恒定电流是连续的：对恒定电场而言，电荷的空间分布与时间无关。（2.98）（2.99）电流线总是闭合曲线12/15/2023862、恒定电场是无旋场：

维持恒定电流的电场为恒定电场。因而，恒定电场同静电场一样，均是由不随时间变化的电荷产生的。故恒定电场无旋：（2.100）（2.101）积分微分即12/15/2023872.3.2导电媒质中的传导电流金属导体、电解液或漏电的介质中都可以存在传导电流。实验表明，传导电流密度与电场强度之间满足如下关系欧姆定律微分形式材料的电导率12/15/202388焦耳定律电场做功功率为：

电场力做功，将电场能量转化为电荷运动机械能，最终以热量形式损耗掉。导电媒质中单位体积功率损耗为：焦耳定律微分形式

在导电媒质中，电场力使电荷运动，所以电场力要做功。设：电荷

τ，运动速度为，在

t时间内位移了

l，则电场力所做的功为其中:12/15/202389均匀导电媒质内的体电荷：１、导电媒质是均匀的，则是常数，有：由高斯定理，某点的的散度为０，则该点净电荷密度为０。也就是说，均匀导电媒质内有恒定电流但没有净电荷，净电荷分布在导电媒质表面上，导电媒质中的恒定电场正是由表面上的净电荷产生的。12/15/202390２、均匀媒质进入恒定状态之前，媒质内有净电荷分布：据电流连续性方程：则

还应指出，导电媒质内净电荷密度，是指电荷分布达到稳态的情形。在给导电媒质充电时，开始时是有电荷进入导电媒质内的，设电荷密度的初始值为ρ0

。但由于电荷的相互排斥作用，它们都向导电媒质表面扩散，我们称其为暂态过程。12/15/202391解得：（2.107）其中驰豫时间。它说明经过秒后，将减至初始值的对大多数导体，很短。例如：铜它说明：对均匀导体而言，接入电源后，瞬间就能使导体进入恒定状态，最终12/15/202392恒定电场也可用电位梯度表示：恒定电场的电位满足拉普拉斯方程（均匀线性各向同性）均匀线性各向同性媒质中即∴（2.109）12/15/202393

与静电场中推导边界条件的方法相似，不同导电媒质分界面上的边界条件为

或

（2.110）

或

（2.111）12/15/202394例：电压U加于面积为S的平行板电容器上，两块极板之间的空间填充两种有损电介质，它们的厚度、介电常数、电导率分别为，如图。求：（1）极板间的电流密度；（2）在两种电介质中的电场强度和；（3）极板上和介质分界面的。设通过电容器的电流为I,平行板电极为良导体，在良导体与电介质的分界面上，电介质的电流线近似地与良导体表面垂直。又因电流密度的法向分量连续，则：解：（1）12/15/202395又故（2）两种电介质中的电场强度和且J与E的方向均为垂直极板由上而下。均匀12/15/202396（3）极板上和介质分界面的上极板下极板介质分界面2112/15/2023972.3.3

恒定电场与静电场的比拟一、对应关系：电源外的导电媒质中的恒定电场无自由电荷分布的电介质中的静电场相似下面先来看看其相应公式的对应关系：12/15/202398恒定电场（源外）：静电场：12/15/202399故可看出其对应关系：恒定电场静电场12/15/20231002.4恒定磁场

磁场是由运动电荷或电流产生的；当产生磁场的电流恒定时，它所产生的磁场不随时间变化，这种磁场称为恒定磁场。2.4.1真空中恒定磁场的基本方程一、恒定磁场基本方程的积分形式用磁场的通量和环流表示磁通：磁感应强度的通量。通过任意截面S的磁通为：（2.117）单位：Wb12/15/20231011、磁通连续性原理：若以是线电流回路C产生的磁感应强度为例，计算穿过任意一闭合面的通量，则据矢量恒等式：P265面12/15/2023102据矢量恒等式：据矢量恒等式：P265面B2.15式高斯定理12/15/2023103上式表明：对任意闭合曲面S，穿出的磁通与穿进的磁通总是相等的。即磁通是连续的，没有中断之处，那么，矢量线是闭合曲线。由前面分析知：磁通连续性原理的微分形式：磁通连续性原理的积分形式。12/15/2023104２、真空中的安培环路定律：（证明略）（2.120）为积分路径C所包围的所有电流的代数和。其I的正向与路径C的积分方向符合右手螺旋关系。12/15/2023105利用斯托克斯定理：∴上式说明：磁场是有旋的，而电流则是激发磁场的旋涡源。（2.121）真空中的安培环路定律的微分形式12/15/20231061、矢量磁位的定义：∴可以表示为某一矢量的旋度。2.4.2矢量磁位一、矢量磁位的定义：∵又∵（2.123）

是没有物理意义的辅助矢量。由上式确定的只规定了的旋度∵是非唯一的12/15/2023107由亥姆霍兹定理，矢量磁位由散度和旋度确定。的散度可任意规定它，常令称库仑规范矢量泊松方程由矢量恒等式：265面B2.12式考虑库仑规范：则即它隐含三个标量方程（2.125）4412/15/2023108在直角坐标系中，磁矢位泊松方程的三个标量方程为：2、磁矢位泊松方程的解：真空中的静电场，标量电位满足泊松方程标量泊松方程的解（2.127）12/15/2023109∴对应矢量泊松方程的三个标量方程的解为：故（2.128）同理，对面电流分布有对线电流分布有12/15/2023110二、利用矢量位求磁通：由斯托克斯定理：SC12/15/2023111例：计算半径为的小圆环电流I产生的磁感应强度。在圆电流上一点N处取一微分线元，则带撇符号表示源解：如图所示，在球坐标系中，由于电流的对称性，大小与无关，故可取来计算。如图中的。12/15/2023112过P点作平面垂线并交轴于M点，连结MN，为直角三角形，则由余弦定理：12/15/2023113当r>>a时，则利用二项式公式得：为无穷小量。12/15/2023114故如图，在的平面上，为方向，由于场的对称性，若P点为任意点，则的方向为方向。故12/15/2023115磁偶极子产生的磁场故故磁偶极矩12/15/20231162.4.3磁介质中的安培定律及边界条件一、媒质的磁化与等效磁化电流：1、磁偶极子：——小圆环电流。如电子的自旋与轨道运动，原子核的自旋等都是小圆环电流。2、无外磁场时，物质的分子磁矩由于热运动，大多数因其排列杂乱无章，总体上不显磁性。磁矩：大小方向：与电流满足右手螺旋关系。12/15/20231173、物质的磁化：

当有外加磁场时，分子磁矩会在外加磁场作用下取向排列，结果分子磁矩产生的磁场在宏观上不会相互抵消，此现象称物质的磁化。

在外加磁场中能被磁化的物质为导磁媒质，亦称磁介质。

磁化后的磁介质有磁性。12/15/2023118４、磁化强度：

物质的磁化最终均表现为物质产生了宏观的磁场效应。（2.135）其中：方向与I方向符合右手螺旋关系。磁化强度为单位体积中分子磁矩的矢量和。12/15/20231195、磁化电流与磁化强度的关系：

任意磁偶极子（圆电流）产生的矢量磁位∵据例2.15，圆心位于原点处的磁偶极子在任意点P产生的矢量位为∴圆心位于任意点处的磁偶极子在任意点P产生的矢量位为12/15/2023120

体积中的磁化强度为则体积中的分子磁矩为

中的分子磁矩在P点产生的矢量磁位为

中的媒质在P点产生的矢量磁位为：12/15/2023121而则应用矢量恒等式：12/15/2023122故据矢量积分公式，见书265面（B2.15）：则即

：磁化体电流密度（束缚体电流）；：磁化面电流密度（束缚面电流）。12/15/2023123其中：（2.136）（2.137）下标“m”，意为磁化电流（束缚电流）。回忆一下：极化后的电介质内部与表面分别出现极化体电荷与面电荷。其密度分别为：磁场：有旋的。电场：有散的。12/15/2023124（1）真空中的安培定律：（2）磁介质中的安培定律：计算有磁介质存在的磁场时，应考虑束缚电流。则也即：6、磁介质中的安培定律12/15/2023125引入一个辅助物理量－磁场强度：令磁场强度：A/m（2.138）由斯托克斯定理，可得到：（2.140）磁介质中的安培环路定律12/15/20231267、线性、各向同性媒质中，之间的关系：

：磁化率

由（2.138）

57即（2.141）：相对磁导率。

12/15/2023127二、不同媒质分界面上的边界条件：1、法向分量关系：如图，作一扁平的圆柱闭合面S应用磁通连续性原理：即磁场的法向分量连续。12/15/20231282、切向分量关系：如图：作一狭长闭合曲线C，

应用安培环路定律：

单位矢量之间的关系：闭合曲线C所包围面积的面元单位矢量为其方向媒质“2”指向媒质“1”的单位法向矢量。媒质“1”中沿的切向单位矢量。12/15/20231293、若闭合曲线C所围面积中方向上的自由电流为I，面电流为则所以有：将代入应用矢量恒等式：上式化为：12/15/20231304、若分界面上无自由面电流时：则5、时，分界面上的与之间的关系：切向分量连续12/15/20231312.4.4恒定磁场的能量实验指出：磁场能量储存于磁场存在的空间，即在磁场不为０的地方就存在磁场能量．与静电能量体密度的公式相似，磁场的能量密度单位：在各向同性的磁介质中上式可写为：12/15/20231322.5时变电磁场

时变电磁场:随时间变化的电场磁场时变电磁场的特点：电场和磁场不再独立,而是互相依存、互相转化。即变化的磁场会产生电场；变化的电场也能产生磁场。电场和磁场不可分割地成为统一的电磁现象。时变电磁场的核心理论是麦克斯韦方程组。12/15/20231332.5.1法拉第电磁感应定律一、法拉第电磁感应定律(实验):1、数学表示式:

物理意义:通过任意闭合导线回路的磁通发生变化,回路中就会产生感应电流。感应电流的产生可以认为是产生了感应电动势,其大小等于回路中磁通对时间的变化率,方向为感应电流的磁通总是阻止与回路相交链的原来的磁通的变化.12/15/20231342、感应电场：环路积分为感应电动势.上式说明:感应电场的环路线积分值不恒为零.即感应电场为有旋场。感应电场是由于磁场随时间改变而产生的。12/15/2023135３、静止闭合导体回路C，法拉第电磁感应定律为：据斯托克斯定理:则(2.152)上式说明:变化的磁场能产生电场,且电场不再是无旋场.同理:当时,则说明:恒定磁场是独立的,若其中存在电场,也必是库仑场或恒定电场,为无旋场。12/15/2023136

图2.28交流电路中的电容器2.5.２位移电流如图示，电容器连接在交流电源上，电路中的电流为i，但电容器中并没电流。取一闭合路径C包围导线，并对路径Ｃ积分，以Ｃ为外围线的面很多，这里取面S1和S2,S1与导线相截，S２穿过电容器的两个极板间。这时安培定律出现矛盾，穿过S1的电流为i，穿过S2的电流为0，12/15/2023137麦克斯韦分析了这一矛盾，认为电容器极板间电流虽然中断，但存在变化的电场，变化的电场是另一种电流的形式。应用电流连续性方程有：位移电流密度则全电流密度位移电流加传导电流叫全电流全电流是连续的12/15/2023138于是时变场的安培定律为：对应的微分形式为：12/15/2023139例：海水的电导率，相对介电常数，若设海水中的电场是按余弦变化的，求当和时，位移电流同传导电流幅值的比值。解：位移电流密度为：其幅值为：传导电流密度为：其幅值为：12/15/2023140则位移电流与传导电流幅值之比为：当时，当时，比较运算结果发现：当频率越高时，位移电流越大，即变化的电场产生的磁场也越大。这就是为什么，时变电磁场在实际应用中往往使用较高频率的缘故。12/15/2023141

某种媒质中传导电流与位移电流的比值的大小是衡量该媒质导电性的分界线。当该值远远大于１时，媒质为良导体，远远小于１时为良介质。由于该比值与频率成反比，则媒质是良导体还是良介质不是绝对的。在低频下为良导体的媒质在高频时可能为良