霍金斯-西蒙条件与索洛条件的经济解释

霍金斯-西蒙条件与索洛条件的经济解释

在投入产出分析中，投入产出表的基本平衡关系的数学公式如下所示。AX+Y=XAX+Y=X式中,A为n阶投入系数矩阵,元素aij是非负(为简化说明,本文设aij>0)的投入系数,其含义是j产品部门(以下简称部门)生产1个单位的总产出所投入(消耗)的i部门产出量;X为总产出向量;AX为中间产出向量;Y为最终需求向量。对于非负(元素不全为0,以下同)的最终需求Y,需要什么条件才具有正的均衡总产出X,即满足上面平衡关系式的正值总产出,投入产出分析给出了两个数学条件:霍金斯—西蒙(Hawkins-Simon)条件(以下简称H-S条件)和索洛(Solow)条件。本文拟对这两个数学条件的经济内涵作较深入的探讨。一完全纯产出的概念H-S条件指出,在投入产出体系中,对于非负的最终需求Y,具有正的均衡总产出X的充分必要条件是n阶行列式|I-A|的各阶主子式都大于0,即1-aij＞0‚|1-aii-aij-aji1-ajj|,⋯。1−aij＞0‚∣∣∣1−aii−aji−aij1−ajj∣∣∣,⋯。对这样一个纯数学的H-S条件,应该作出怎样的经济解释呢?所谓经济解释,就是说明该数学表达式的经济内涵,揭示经济活动的作用机理。大多数投入产出分析的论著对|I-A|的1阶主子式1-aii>0都有明确的经济解释:任何部门生产1个单位的总产出所消耗的本部门产品必须小于1个单位(aii<1),否则该部门的生产没有任何意义。称1-aii为纯产出系数,它是i部门生产1个单位的总产出能够提供给中间需求部门和最终需求部门使用的产出量。投入产出分析作为研究多部门经济联系的理论与方法,一般将国民经济至少分为2个以上的部门,对纯产出系数的经济解释只是部分地说明了H-S条件的经济内涵。一个国民经济系统对于非负的最终需求,如何才具有正的均衡总产出呢?循着纯产出系数大于0的思路,可以这样设想:如果国民经济每一个部门生产的任意数量(大于0)的总产出不仅大于由此带来的对该部门产品的直接消耗,而且恒大于由此带来的对该部门产品的直接和间接的消耗之和,国民经济各部门就可以生产出适量的总产出(均衡解)来满足非负的最终需求(不要求考虑基本生产要素投入的制约,以下同);反之,如果有的部门总产出小于由此带来的对该部门产品的直接和间接的消耗之和,则该部门无论生产多少也无法提供最终产品。为进一步说明这个作用机理,我们定义几个概念:称任意数量的总产出带来的直接和间接的消耗之和为对应(该部门某总产出量)的最低需求量,称总产出量与对应的最低需求量之差为对应(该部门某总产出量)的完全纯产出,称由此诱发的其他各部门的总产出(只满足中间需求,最终产品为0)为对应(该部门某总产出量)的最低产出量;由于投入产出体系是线性体系,称对应该部门1个单位总产出量的最低需求量为基准最低需求量,称对应该部门1个单位总产出量的完全纯产出为完全纯产出系数,称对应该部门1个单位总产出量的最低产出量为基准最低产出量。根据投入产出分析的原理和上述定义,第i部门生产1个单位总产出对本部门产品的直接消耗是aii,对本部门产品的间接消耗是由此诱发的其他部门生产基准最低产出量(X′j)的过程中消耗的第i部门产品,其数量为nΣj≠iaijX′jΣj≠inaijX′j,直接消耗加上间接消耗(aii+nΣj≠iaijX′j)(aii+Σj≠inaijX′j)是第i部门的基准最低需求量,1个单位总产出减去基准最低需求量[1-(aii+nΣj≠iaijX′j)=y′i]是第i部门的完全纯产出系数。相对纯产出系数(1-aii)只是站在部门的角度来反映该部门由生产技术决定的实物供给能力,完全纯产出系数y′i则是站在整个国民经济角度来全面衡量该部门由生产技术决定的实物供给能力,因而能说明更深层次的问题。运用完全纯产出的概念,可以将前面所述的国民经济运行的基本条件简明地概括为:国民经济每一部门对应(该部门)任意正的总产出的完全纯产出大于0,即国民经济所有部门的完全纯产出恒大于0。为证明国民经济各部门的完全纯产出恒大于0是H-S条件的经济内涵,我们设计一个特殊的投入产出体系。不失一般性,设第1部门任意正的总产出量X·1,其他各部门的总产出只满足中间需求,不提供最终产品,相应的投入产出表如表1:表的平衡关系如下:a11X⋅1+nΣj=2a1jXj+y1=X⋅1(X⋅1＞0)(1)ai1X⋅1+nΣj=2aijXj=Xi(i=2,3,⋯,n)(2)通过这个投入产出体系,我们来证明H-S条件是国民经济各部门的完全纯产出恒大于0的充分必要条件。必要性证明。如果这个体系的所有部门的完全纯产出恒大于0,则a11X⋅1+nΣj=2a1jXj为第1部门对应总产出量X·1的最低需求量,y1为第1部门的完全纯产出且恒大于0,即X·1在正值空间取任何值,都有y1＞0X2,…,Xn为其他各部门对应第1部门总产出量X·1的最低产出量,且Xi＞0(i=2,3,⋯,n)这就是H-S条件里由非负的最终需求和正的总产出组成的体系。由于能够通过行和列的相同变换将任一部门调为第1部门,上述体系具有一般性,这就证明了所有部门的完全纯产出恒大于0必然满足H-S条件。充分性证明。如果这个体系满足H-S条件,式(2)可以视为是n-1阶的投入产出体系,对于非负的ai1X·1,有Xi＞0(i=2,3,⋯,n)则y1为第1部门的纯产出。将式(2)改写成(1-a22)X2-a23X3⋯-a2nXn=a21X⋅1-a32X2+(1-a33)X3-⋯-a3nXn=a31X⋅1⋯⋯⋯⋯-an2X2-an3X3⋯+(1-ann)Xn=an1X⋅1根据克莱姆法则有Xj=Dj/D(j=2,3,⋯,n)(3)其中行列式D=|1-a22-a23⋯-a2n-a321-a33⋯-a3n⋮⋮⋮⋮-an2-an3⋯1-ann|D2=|a21X⋅1-a23⋯-a2na31X⋅11-a33⋯-a3n⋮⋮⋮⋮an1X⋅1-an3⋯1-ann|=X⋅1D′2‚⋯。将式(1)变形并将式(3)代入y1=(1-a11)X⋅1-(a12D′2+a13D′3+⋯+a1nD′n)X⋅1/D整理得y1=[(1-a11)D-(a12D′2+a13D′3+⋯+a1nD′n)]X⋅1/D(4)观察式(4),右式中括号里的值等于n阶行列式|I-A|,即将|Ι-A|=|1-a11-a12-a13⋯-a1n-a211-a22-a23⋯-a2n-a31-a321-a33⋯-a3n⋮⋮⋮⋮⋮-an1-an2-an3⋯1-ann|按第一行展开。于是式(4)变为y1=X⋅1|Ι-A|/D(5)根据H-S条件|Ι-A|＞0‚D＞0只要X·1在正值空间,y1就大于0,即第1部门的完全纯产出恒大于0。由于上述体系具有一般性,这就证明了只要投入产出体系满足H-S条件,任一部门的完全纯产出都恒大于0。通过上述证明,可以得出国民经济所有部门的完全纯产出恒大于0就是H-S条件的经济内涵的结论。当X⋅1=1有完全纯产出系数y′1=|Ι-A|/D＞0(6)式(5)表明完全纯产出是对应总产出的齐次线性函数,这是我们称y′1为完全纯产出系数的原因;式(6)给出了完全纯产出系数的计算公式。二投入产出体系的h-s条件和索洛条件特征投入产出表的每一行表明每个部门生产的产品产出到中间使用部门和最终使用部门的情况。如果某个部门的完全纯产出小于0,意味着该部门的总产出恒小于中间使用合计量,生产越多,其产品在国民经济中的缺口越大,因而该部门没有存在的意义。要求任何部门的完全纯产出必须恒大于0,从投入产出表来看,是通过横行的实物运动从技术角度规定了一个部门成立的条件。如果用货币单位计量,投入产出表的每一列表明每个部门在生产中的价值形成过程,因此在投入产出分析中,我们还可以通过纵列的价值运动从经济角度来规定一个部门成立的条件,这就是投入产出分析中的索洛(Solow)条件:如果1-nΣi=1aij＞0(j=1,2,⋯,n)则对于非负的最终需求Y,具有正的均衡总产出X。nΣi=1aij为j部门的转移价值(抽象折旧,以下同)系数,1-nΣi=1aij为j部门的增加值系数,索洛条件可以简述为:国民经济各部门的增加值(系数)大于0。索洛条件的经济含义显而易见:任何部门在生产中所消耗的各部门产品的价值量之和必须小于其总产值。因为任何部门的生产除了需要投入各部门的产品(中间投入)外,还要投入基本生产要素如资本、劳动等等(最初投入),如果国民经济各部门的总产值除了能补偿中间投入的价值量,还有剩余来补偿最初投入的价值量,国民经济各部门就可以生产出适量的总产出来满足非负的最终需求。索洛条件虽只是投入产出模型有正值均衡解的充分条件,但它表明了这样一个事实:如果某个部门的总产值连中间投入价值都不能补偿,该部门就处在绝对亏损的境地,其生产难以为继。无论什么样的经济体制,都要求各部门满足索洛条件以保持国民经济的顺利运转。H-S条件是各部门实物运动的规定性,索洛条件是各部门价值运动的规定性。将这两个>条件结合在一起,可以更深刻地反映经济运动的某些本质。1.H-S条件和索洛条件共同规定了国民经济各部门之间转移价值补偿和中间产品替换相统一的必要条件,补充和发展了马克思关于社会再生产二大部类产品价值补偿和实物替换的理论。马克思的社会再生产理论,将社会再生产运动归结为实物替换和价值补偿的统一,重点研究了第I部类产品的劳动力补偿价值与剩余价值之和与第Ⅱ部类产品的转移价值的数量关系,由此得到简单再生产的平衡条件和扩大再生产的必要条件。投入产出分析按产品划分部门,各部门既可生产生产资料,也可生产消费资料,无需将国民经济各部门抽象为二大部类。投入产出表中第I象限中的一行反映一个部门向国民经济各部门提供中间产品的状况,对应列反映了该部门消耗各部门的中间产品的状况,行和列结合,反映了该部门与国民经济各部门相互交换劳动资料的状况,因此投入产出表的第I象限反映了国民经济各部门之间转移价值的实物替换状况,这其实是马克思社会再生产理论中第I部类内部转移价值的实物替换问题。投入产出体系的H-S条件从技术的角度规定了各部门之间实物替换得到价值补偿的必要条件——每一部门的总产出必须能够满足各部门最低限度的中间使用(各部门的转移价值),且还有最终产品;投入产出体系的索洛条件从经济的角度规定了各部门之间实物替换得到价值补偿的必要条件——每一部门的总产值必须能够补偿各部门投入的价值之和(本部门的转移价值),且还有增加值。称其为必要条件,是因为