2022-2023学年广西贺州市平桂区平桂高级中学高三4月模拟考试数学试题

2022-2023学年广西贺州市平桂区平桂高级中学高三4月模拟考试数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若2"+3a=3〃+2。，则下列关系式正确的个数是（）

®b<a<0②a=b③®\<b<a

A.1B.2C.3D.4

2,复数满足z+|z|=4+8i,则复数z在复平面内所对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知数列｛《,｝满足：4=<,诺正整数M攵25）使得…+d=的2…％成

…。〃一］—1,•6

立，则％=（）

A.16B.17C.18D.19

4.已知p：训>l,log|x（）>7；q:VxeR,e">x,则下列说法中正确的是（）

22

A.是假命题B.〃八4是真命题

c."V（-><7）是真命题D.是假命题

5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

0O

・X1r21

■■■

K

10C

A.—B.3

3

C.-D.-

33

6.三棱柱ABC—48cl中，底面边长和侧棱长都相等，N84A=NCA4,=60,，则异面直线A片与BG所成角的余

弦值为（）

A石R娓「A/3n也

A.-----B.-----C・D.

3646

7.在A4BC中，内角A,3,C所对的边分别为a*,c,若依次成等差数列，则（）

tanAtanfitanC

A.。，瓦c依次成等差数列B.6,北，4依次成等差数列

C.。2,从"2依次成等差数列D./力3,03依次成等差数列

8.为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分

值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（）

数学抽象

直观想象

A.乙的数据分析素养优于甲

B.乙的数学建模素养优于数学抽象素养

C.甲的六大素养整体水平优于乙

D.甲的六大素养中数据分析最差

22

9.已知£、工分别为双曲线C：［一］=1（。＞0,。＞0）的左、右焦点，过耳的直线/交。于A、8两点，。

a'b

为坐标原点，若。|46|=|5"|,则C的离心率为（）

A.2B.75C.76D.77

10.过抛物线./=4x的焦点尸的直线交该抛物线于A,B两点,。为坐标原点.若|Aq=3,则直线AB的斜率为

A.+V2B.-72C.2亚D.±272

11.M是抛物线V=4x上一点，N是圆（x—iy+（y—2）2=l关于直线x—y—l=O的对称圆上的一点，则|用用最

小值是（）

A.孚TB.V3-1C.272-1D.|

12.为得到函数y=cos[2x+m]的图像，只需将函数y=sin2x的图像（）

57r

A.向右平移二个长度单位B.向右平移二个长度单位

612

C.向左平移5与7r个长度单位D.向左平移S;T个E长度单位

612

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量4,5满足（a+2/?）＜a-Z?）=-6,且|。|=1,|以=2,贝！|cos＜a,b＞=.

14.定义在R上的函数“X）满足：①对任意的都有/（x—y）=〃x）—〃y）；②当了＜0时，/（x）＞0,

则函数“X）的解析式可以是.

15.在（2-Jef的展开式中，V项的系数是（用数字作答）.

16.设复数z满足z（z+1）=-3+2i,则z=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）图1是由矩形AOEB,RtAABC和菱形5FGC组成的一个平面图形，其中A8=l,BE=BF=2,N尸BC=60。,

将其沿48,8c折起使得BE与8户重合，连结OG,如图2.

（1）证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面43cL平面BCGE；

（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.

18.（12分）为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在A市与B市之间建一条直达公路，中

间设有至少8个的偶数个十字路口，记为2m，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概

率均为！.

（1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示：

4市居民8市居民

喜欢杨树300200

喜欢木棉树250250

是否有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；

(2)若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有X个路口种植杨树，求X的分布列以及数学期望；

(3)在所有的路口种植完成后,选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为M，求证：-l)(m-2).

3/n(ad-bc)2

附：A=-------------------------

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K\.k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

19.(12分)如图，在三棱柱ABC-AgG中，已知四边形A4.GC为矩形，AA}=6,AB=AC=4,

ZBAC=ZBM=60°,N4AC的角平分线A。交CG于O.

(1)求证:平面BADJ_平面A41G。；

(2)求二面角A-BQ-A的余弦值.

x-cos0

20.(12分)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，,门(。为参数).以原点为极点，x轴的非负半轴

y=1+sin，

为极轴，建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程；

x=1+fcos6

(2)直线/：1.八a为参数)与曲线C交于A,8两点，求1461最大时，直线/的直角坐标方程.

y=fsin夕

21.(12分)已知函数/(x)=|2x-a|+|x-l|(aeR).

(I)当。=1时，求不等式的解集；

(II)若存在XGR满足不等式/(x)<4,求实数4的取值范围.

22.(10分)已知函数f(x)=|x-l|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|N|a|f(x)(a/),a、beR)恒成立，求实数x的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

a,。可看成是y=，与/(x)=2,+3x和g(x)=3、+2无交点的横坐标，画出图象，数形结合处理.

【详解】

令/(x)=2X+3x,g(x)=+2x,

作出图象如图，

由f(x)=2x+3x,g(x)=3'+2x的图象可知,

/(O)=g(O)=l,〃l)=g⑴=5,②正确；

xe(-oo,0),/(x)<g(x),有b<a<0,①正确;

xe(O,l),〃x)>g(x),有OcacAcl,③正确;

xe(l,+8),有l<b<a,④正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用函数图象比较大小，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.

2、B

【解析】

"+=t即可得到z,进而找到对应的点所

设2=。+砥a,beR),则z+忖4+=可得，

。=8

在象限.

【详解】

设z=a+bi(a,beR)^!|z+|z|=a+bi+yla2+b2=4+8z,

a+\la2+b2=4a=-6

z=-6+8i,

b=80=8

所以复数二在复平面内所对应的点为(-6,8)，在第二象限.

故选:B

【点睛】

本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模，考查运算能力.

3、B

【解析】

2

计算a；+%~+...+an~=<2,1+1—a6+n-5,故+a2+...+&「=ak+i+%—16=aA+l+1,解得答案.

【详解】

当〃26时，%=的2。""一1=(4,+1)4,-1,即+且％=31.

故％-+%-+…+Q”-=(%—4)+(°8—%)+…+(”"+1_%)+=a“+[—a6+n—5,

a

。「+i+…+&:-4+|+%—16=ak+t+1,故％=17.

故选：B.

【点睛】

本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.

4、D

【解析】

举例判断命题P与g的真假，再由复合命题的真假判断得答案.

【详解】

当天>1时，故〃命题为假命题；

2

记/(x)=*-X的导数为尸(X)=/-1,

易知/(x)=炭-丫在(-8,0)上递减，在(0,+»)上递增，

：.f(x)>/(0)=1>0,即故4命题为真命题；

p△(―>q)是假命题

故选D

【点睛】

本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题.

5、A

【解析】

根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.

【详解】

由题意，该几何体如图所示：

该几何体的体积V」><2x2x2」xk2x2=W.

2323

故选：A.

【点睛】

本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题.

6、B

【解析】

设A4,=c,A8=a，AC=b，根据向量线性运算法则可表示出A耳和80；分别求解出4耳和,闻，忸。(

根据向量夹角的求解方法求得cos<A4,6C；>,即可得所求角的余弦值.

【详解】

设棱长为1,A4j=c,AB=a>AC-b

由题意得：a-b=—,b・c=La-c=-

222

AB、=a+c,BC\=BC+BB、=h—a+c

：.AB}•BG=(Q+C)•仅-Q+C)=Q•。-Q2+Q.C+b・C-Q・C+c2=；-l+g+l=l

又|AB,|=+c)~—J/+2a.c+=>/3

|BC1|=J(/?-a+c)=[b2+〃2+c'2—2a・Z?+2Z7・c—2a・c=V2

4D“ABcBC}1V6

・•.cos<AB],BC.>=I——~~4=—f==——

'\AB][\BC]\V66

即异面直线A耳与BQ所成角的余弦值为：巫

6

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.

7、C

【解析】

由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得2cos8=」^—,由正弦定理可得

sinAsinC

2acosB=b2,再由余弦定理可得/+廿=2/^,从而可得结果.

【详解】

口」不依次成等差数列，

tanAtanBtanC

11_2cosAsinC+sinAcosC_sin(A+C)_sinB2cos8

.."J--,——，

tanAtanCtanBsinAsinCsinAsinCsinAsinCsinB

£由2R

2cos5=---------正弦定理得2acos3=,

sinAsinC

由余弦定理得力+。2一〃=》2,"+。2=2〃，即依次成等差数列，故选C.

【点睛】

本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦

定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的

式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

8、C

【解析】

根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.

【详解】

根据雷达图得到如下数据：

数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析

甲454545

乙343354

由数据可知选C.

【点睛】

本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.

9、D

【解析】

作出图象，取中点E,连接E尸2,设尸iA=x,根据双曲线定义可得x=2a,再由勾股定理可得到。2=7\,进而得

到e的值

【详解】

解：取A5中点E,连接EF2,则由已知可得8凡_1_£3,FtA=AE=EB,

设尸iA=x,则由双曲线定义可得AF2=2a+x,BFi-BF2=3x-2a-x=2a,

所以x=2a,则EF2=2Qa,

由勾股定理可得(4a)2+(273a)2=(2c)2,

所以c2=7a2,

则e=£=>/7

a

故选：D.

【点睛】

本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题.对于圆锥曲线中求离心率的问题，关

键是列出含有中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率.

10、D

【解析】

根据抛物线的定义，结合|AF|=3,求出A的坐标，然后求出AE的斜率即可.

【详解】

解：抛物线的焦点F(1,0),准线方程为x=—l,

设A(x,y),则|AF|=x+l=3,故x=2,此时y=±2近，即A(2,±2及).

则直线AF的斜率k=丝也=±272.

2-1

故选：D.

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题.

11、C

【解析】

求出点(1,2)关于直线x-y-1=0的对称点C的坐标，进而可得出圆(x—+(y—2)2=1关于直线x―y-1=0的

对称圆C的方程，利用二次函数的基本性质求出的最小值，由此可得出1MMmM即可得解.

【详解】

如下图所示：

设点(1,2)关于直线x-y-l=O的对称点为点C(a,b),

。+1

2a-b-3=0a=3(、

则,整理得＜解得＜C，即点c(3,o),

b-2。+。-3=0b=0

所以，圆(x—lY+(y—2)2=1关于直线x-y-l=O的对称圆。的方程为(X—3『+y2=i,

设点M则|MC|=J3+/-与+9=8(/-4)-+8'

当尸±2时，|困取最小值2啦，因此，|MNLn=|MQ血一1=2夜一1.

故选：C.

【点睛】

本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等

题.

12、D

【解析】

TTTTTTj7E7T

y=cos(2x+—)=sin(2x+—+—)=sin(2x+—)=sin2(x+—),所以要的函数y=cos(2x+—)的图象，只需将

3326123

5乃

函数y=sin2x的图象向左平移二个长度单位得到，故选D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13、一

2

【解析】

由数量积的运算律求得〃电，再由数量积的定义可得结论.

【详解】

由题意(。+2£>)•(〃-〃)=a+a-b-2b=l+a-/?-2x22=-6»

ab=\>BP|c/||/?|cos<a,b>=2cos<a,b>=\,二cos<a,b>=g.

故答案为：一.

2

【点睛】

本题考查求向量的夹角，掌握数量积的定义与运算律是解题关键.

14、f{x)=-x(或/(x)=-2x,答案不唯一)

【解析】

由〃x—y)=/(x)-/(y)可得/(x)是奇函数，再由》<。时，〃x)>o可得到满足条件的奇函数非常多，属于开

放性试题.

【详解】

在/(x-y)=/(x)-/(y)中，令x=y=O,得7(0)=。；令x=0,

则〃一〉)=/(0)-/3=-/3,故“X)是奇函数，由x<o时,/(x)>0,

知"x)=-x或/(力=-2x等，答案不唯一.

故答案为："x)=-x(或/(x)=—2x,答案不唯一).

【点睛】

本题考查抽象函数的性质，涉及到由表达式确定函数奇偶性，是一道开放性的题，难度不大.

15、-40

【解析】

(2-x)5的展开式的通项为：C；25-r(-x)r.

令r=3,得C；25-「(一X),=T0X3.

答案为：-40.

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

⑴求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出r值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r+1项，由特定项得出r值，最后求

出其参数.

16、l-3i.

【解析】

利用复数的运算法则首先可得出2,再根据共物复数的概念可得结果.

【详解】

•••复数二满足i(z+l)=-3+2i,

-3+2z

/.z+l=——=2+3i,：.z=\+3i,

i

故而可得［=1—3i，故答案为1—3i.

【点睛】

本题考查了复数的运算法则，共轨复数的概念，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、⑴见详解；⑵30.

【解析】

(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED,和菱形3尸GC内部的夹角，所以A0//6E,BF//CG依然成立,

又因E和尸粘在一起，所以得证.因为4B是平面BCGE垂线，所以易证.(2)在图中找到B-CG-A对应的平面角，

再求此平面角即可.于是考虑B关于GC的垂线，发现此垂足与A的连线也垂直于CG.按照此思路即证.

【详解】

(1)证：AD//BE,BF//CG,又因为E和尸粘在一起.

AD//CG,A,C,G,D四点共面.

又AB1BE,ABA.BC.

二AB_L平面BCGE,A8u平面ABC,二平面ABC_1,平面BCGE,得证.

(2)过B作8”_LGC延长线于H,连结AH,因为AB_L平面BCGE,所以ABLGC

而又8〃，GC,故GC，平面HAB，所以，GC.又因为8”，GC所以NBHA是二面角B-CG-A的平面角，

而在△3“。中NB”C=90，又因为NEBC=60故N5C7/=60,所以8〃=6Csin60=JL

而在ABH中NAB"=90,tanN3EA=K与=J==3,即二面角8—CG—A的度数为30.

BHJ33

E(F)

H

【点睛】

很新颖的立体几何考题.首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的.再者粘合后的多面体不是

直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法.最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查

考生的空间想象能力.

18、(1)没有(2)分布列见解析，E(X)=2(3)证明见解析

【解析】

(1)根据公式计算卡方值，再对应卡值表判断..

(2)根据题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,分别求得概率，写出分布列，根据期望公式求值.

(3)因为至少8个的偶数个十字路口，所以2m..8,即帆.4.要证3M..m(租-1)0-2),即证".〃““一1)(机-2),

3

根据组合数公式，即证M..2C：；易知有成立.设2m个路口中有p(〃eN,p,,2加)个路口种植杨树，下面

分类讨论①当pe{0,l,2}时，由"=.Cl-论证.②当pe{2加一2,2加一1,2加}时，由M.以心论证.③

当3触2加一3时，M=C+C],，设/(P)=C+<Xf，3釉2〃?一3,再论证当。="时

取得最小值即可.

【详解】

51000x(300x250-200x250)2

(1)本次实验中，K-=---------------------------—»10.1<10.828,

500x500x550x450

故没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性.

(2)依题意，X的可能取值为0,1,2,3,4,

故尸(x=0)=&=»P(X=4),P(X=l)=q；4/=LP(X=3),

164

p(x=2)=qgV63

-T6-8

X01234

1J_31

P

1648416

故E(X)=4x/=2.

(3)T2m..8,...机.4.要证3M..m0-1)0—2),即证M..2C：

首先证明：对任意m,kGN*,m..k,有CL>G：.

证明：因为c：,+「c；=cM>o,所以C篇〉C；.

设2m个路口中有p(peN,p,,2m)个路口种植杨树，

①当pe{0,1,2}时，

(2m-2)(2川-3)(2m-4)_八(m-l)(m-2)(2加-3)

M=Cm-p..Cl=qx

因为九.4,所以2〃?一3>nz,

于是M>4x(加-2)=4。：〉2c.

6

②当pe{2加一2,2m一1,2向时，M=C；.C：时2,同上可得M>2C：

③当3舜2机一3时，M=C：,+C)p,设/(P)=C+C)”3融2m-3,

当3釉2加一4时，/5+1)—/(。)=。入+《“3-

显然pw2加一p-l,当p>2机一〃一1即，战2加一4时，/(p+l)〉/(p),

当p<2加一p-l即3款加一1时，/(p+l)<f(p),

即/(加)</(团+1)<<f(2m-3)；/(3)>/(4)>...>/(;«),

因此/(P).J(机)=2C：,即M..2C；.

综上，M..2C：,即3M..m(m一1)(小一2).

【点睛】

本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列以及期望、排列组合，还考查运算求解能力以及必然与或然思想，属

于难题.

19、(1)见解析；(2)上叵

17

【解析】

(1)过点。作。E//AC交A4于石，连接CE,5E,设AOCE=O,连接B。，由角平分线的性质，正方形的性

质，三角形的全等，证得CE_LBO,CEVAD,由线面垂直的判断定理证得CEL平面840,再由面面垂直的判

断得证.

(2)平面几何知识和线面的关系可证得BOJ_平面A4,GC，建立空间直角坐标系。一孙z,求得两个平面的法向量,

根据二面角的向量计算公式可求得其值.

【详解】

(D如图，过点。作。E//AC交A%于E,连接CE,BE,设AT>nCE=。，连接B。，ACLAA,,.-.DEYAE,

又AO为NAAC的角平分线，，四边形AE0C为正方形，.•.C£_LAD,

又AC=AE,ZBAC=ZBAE,BA=BA,:.ABAC^^BAE,：.BC=BE,又。为CE的中点，:.CE1BO

又4),3。匚平面84£),AD|8。=0,,CE_L平面84。，

又CEu平面A41cle，，平面84£>>L平面A4CC，

(2)在MBC中，AB=AC=4,Zfi4C=60。，；.BC=4,在RtABOC中，C0=gcE=2应，BO=2&，

又AB=4,AO=1AO=20,BO2+AO2=AB2,：.BO±AD,

2

又BOLCE,ADCE=O,4£>,小匚平面？14|。]。，；.50，平面411。。，

故建立如图空间直角坐标系。一型，则A(2,—2,0),4(2,4,0),C,(-2,4,0),

4(0,6,2夜)，=(2,2,2也)，AC,=M,6,0),C}A,=(4,0,0),

设平面ABC的一个法向量为m=(4,yz),贝IJ“Uff，；•«-4%+6y=0

[m±AG2x,+2y,+2\Z2z.=0

令王=6,得加=(6,4,—5夜)，

〃_LG4

设平面AfC的一个法向量为〃=(%,%，Z2)，则

n±G4

r-»令得〃=((),0,-1)

2X2+2y2+2V2Z2=0

mn9723历

cos<m'n>=u7n=g0=—F厂'由图示可知二面角4一4G-A是锐角，

故二面角A-4G-A的余弦值为竺7.

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【点睛】

本题考查空间的面面垂直关系的证明，二面角的计算，在证明垂直关系时，注意运用平面几何中的等腰三角形的“三线

合一”，勾股定理、菱形的对角线互相垂直，属于基础题.

20、（1）/一2sin6=（）；（2）x+y-l=0.

【解析】

（D利用cos2e+cos2g=l消去参数9,得到曲线C的普通方程，再将x=〃cos。，y=psin。代入普通方程，即

可求出结论；

（2）由（1）得曲线C表示