适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学二轮总复习专题1函数与导数第3讲利用导数研究函数的单调性极值与最值课件

第3讲利用导数研究函数的单调性、极值与最值专题一内容索引0102必备知识•精要梳理关键能力•学案突破必备知识•精要梳理1.导数的几何意义函数f(x)在x=x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f'(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).温馨提示求曲线的切线方程时,要注意是在点P处的切线还是过点P的切线,前者点P为切点,后者点P不一定为切点.2.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.①f'(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在区间(-∞,+∞)内单调递增,但f'(x)≥0.②f'(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,如函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)为常数函数.(2)求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f'(x)>0或f'(x)<0.(3)若f(x)在区间D上单调递增,转化为在区间D上f'(x)≥0恒成立;若f(x)在区间D上单调递减,转化为在区间D上f'(x)≤0恒成立(注意:f'(x)=0在区间D的任意子区间上不恒成立).注意带“=”(4)若f(x)在区间D上存在单调递增区间,转化为f'(x)>0在区间D上有解;若f(x)在区间D上存在单调递减区间,转化为f'(x)<0在区间D上有解.注意不带“=”3.利用导数研究函数的极值、最值(1)若f'(x0)=0,且在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若f'(x0)=0,且在x0附近左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,则f(x)在区间[a,b]上必有最大值和最小值,且在极值点或端点处取得.(3)若函数在开区间或无穷区间上有唯一的极值,则这个极值就是相应的最值.这个条件不可少

易错提醒若函数的导数存在,则在某点处的导数等于零是函数在该点取得极值的必要不充分条件,因此已知极值点求参数值时,要对参数值进行检验.关键能力•学案突破突破点一导数的几何意义命题角度1

求曲线的切线方程[例1-1](2022·新高考Ⅱ,14)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为

,

.

5x-y+2=0方法总结求曲线y=f(x)的切线方程的3种类型及方法(1)已知切点P(x0,y0),求切线方程求出切线的斜率f'(x0),由点斜式写出方程.(2)已知切线的斜率k,求切线方程设切点为P(x0,y0),通过方程k=f'(x0)解得x0,再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点),求切线方程设切点为P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f'(x0),再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.命题角度2

两曲线的公切线问题[例1-3](2023·广西桂林、崇左一模)若曲线y=ax2与y=lnx有一条斜率为2的公切线,则a=

.

方法总结解决曲线y=f(x)和y=g(x)的公切线问题时,通常有两种方法:一是利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解;二是分别设出公切线与曲线y=f(x)和y=g(x)的切点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则有

,据此列式求解.对点练1(1)已知函数f(x)=lnx+图象的一条切线方程为y=kx+b,则k+b的最小值为(

)A.-1 B.0 C.1 D.2(2)若曲线f(x)=x3-2x在点P处的切线与直线l:x-y-2=0平行,则点P的坐标为

.

(3)若曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线,则实数a的取值范围为

.

B(-1,1)当x0=1时,点P(1,-1),则所求切线方程为y+1=x-1,即x-y-2=0,与直线l重合,不符合题意;当x0=-1时,点P(-1,1),则所求切线方程为y-1=x+1,即x-y+2=0,与直线l平行.综上所述,点P的坐标为(-1,1).突破点二利用导数研究函数的单调性命题角度1求单调区间或判断单调性[例2-1]函数f(x)=2(x2-x)lnx-x2+2x的单调递增区间为(

)D易错警示利用导数求函数的单调区间,其实质是解不等式问题,应注意以下几点(1)首先确定函数的定义域,忽视定义域的限制容易导致错误.(2)当函数在区间的端点处有定义时,单调区间可以写成闭区间也可以写成开区间,但当函数在区间的端点处没有定义时,单调区间只能写成开区间.(3)当函数具有多个单调递增区间(递减区间)时,一般不能用“∪”联结,而应该用“和”“及”等联结.对点练2已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则当0<x<4时,不等式f(x)>f'(x)的解集为(

)A解析

若题图中实线部分曲线为函数y=f(x)的图象,则虚线部分曲线为导函数y=f'(x)的图象.由导函数y=f'(x)的图象可知,当0<x<4时,函数y=f(x)的单调递减区间为(0,2).但由函数y=f(x)的图象可知,函数y=f(x)在区间(0,2)上不单调,不符合题意.若题图中实线部分曲线为导函数y=f'(x)的图象,则当0<x<4时,函数y=f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,4),符合题意.所以由题中图象可知,当0<x<4时,不等式f(x)>f'(x)的解集为(0,1).故选A.[例2-2]已知函数f(x)=lnx+ax2-(a+2)x+2(a为常数).(1)若函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直,求a的值;(2)若a>0,讨论函数f(x)的单调性.名师点析利用导数求含参数函数的单调区间时,基本策略是分类讨论,注意以下几点(1)注意确定函数的定义域,在定义域的限制条件下研究单调区间.(2)注意观察f'(x)的表达式(或其中的某一部分)的取值是否恒为正(或恒为负),这往往是分类讨论的出发点.(3)注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法,例如:对二次项系数正负的讨论,对判别式Δ的讨论,对根的大小比较的讨论等.(详见本书第4页)(4)分类讨论要做到不重不漏,同时还要注意对结果进行综述.对点练3已知函数f(x)=+alnx(a∈R,且a≠0),求函数f(x)的单调区间.命题角度2根据单调性求参数的取值范围[例2-3](2023·新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为(

)A.e2

B.e

C.e-1

D.e-2C设g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex>0在区间(1,2)内恒成立,所以函数g(x)=xex在区间(1,2)内单调递增,所以g(x)>g(1)=e,方法总结根据函数单调性求参数取值范围的类型及解法

已知函数f(x)在区间I上单调递增(或递减),f(x)中含参数转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在I上恒成立,要注意“=”能否取到已知函数f(x)在区间I上单调递增(或递减),I中含参数先求出f(x)的单调区间,再令I是其单调区间的子集,建立不等式(组)求解已知函数f(x)在区间I上存在单调递增(或递减)区间转化为f'(x)>0(或f'(x)<0)在I上有解求解已知函数f(x)在区间I上不单调方法一,转化为f'(x)=0在I上有解求解;方法二,运用补集思想,先求f(x)在区间I上单调时参数的取值范围,再取其补集对点练4A[例2-4]已知函数f(x)=(1+x)ln(1+x)-ax2-(2a+1)x,若f(x)在定义域内是减函数,求a的最小值.解

由题意知,f(x)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=ln(1+x)-2a(x+1).∵f(x)在定义域内是减函数,∴f'(x)≤0在区间(-1,+∞)内恒成立,即ln(1+x)-2a(x+1)≤0对x∈(-1,+∞)恒成立,令g'(x)=0,解得x=e-1.当x∈(-1,e-1)时,g'(x)>0,当x∈(e-1,+∞)时,g'(x)<0.∴g(x)在区间(-1,e-1)内单调递增,在区间(e-1,+∞)内单调递减,因此方法点拨已知函数单调性求参数取值范围问题注意点(1)已知函数单调性求参数取值范围问题主要采用等价转化法,但要注意函数在某一区间上单调递增(递减)与存在单调递增(递减)区间的区别,前者是恒成立问题,后者是不等式有解问题.(2)解决这类问题主要与参数处理相关,因此尽量采取措施合理地规避分类讨论,简化求解过程,否则就要运用分类讨论的思想解决问题.对点练5已知函数f(x)=,若f(x)在区间(0,1)内单调递增,求实数a的取值范围.命题角度3利用单调性比较大小或解不等式[例2-5](2022·新高考Ⅰ,7)设a=0.1e0.1,b=,c=-ln0.9,则(

)A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.a<c<bC令k(x)=(1+x)(1-x)ex-1,则当x∈(0,0.1]时,k'(x)=(1-x2-2x)ex>0,∴k(x)在区间(0,0.1]上单调递增.∴k(x)>k(0)=0.∴在区间(0,0.1]上,y2'

>0,∴y2=xex+ln(1-x)在区间(0,0.1]上单调递增.∴y2>0,∴a1>c1.∴在区间(0,0.1]上,b1>a1>c1.故当x=0.1时,有b>a>c.[例2-6](2023·江苏苏锡常镇一模)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=ex+sinx,则不等式f(2x-1)<eπ的解集是(

)D解析

当x≥0时,f'(x)=ex+cos

x,ex≥1,cos

x∈[-1,1],所以f'(x)=ex+cos

x≥0恒成立,所以f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,又f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)在区间(-∞,0]内单调递减,所以f(-π)=f(π)=eπ,方法总结利用导数解不等式或比较大小的思路:根据题目条件,通过已知函数或构造辅助函数,利用导数研究函数的单调性,把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,再由单调性比较大小或解不等式问题.对点练6A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.c<b<aBB突破点三利用导数研究函数的极值与最值命题角度1

利用导数求函数的极值或最值[例3-1]若x=-1是函数f(x)=(4x2-2ax-1)e2x-1的极值点,则f(x)的极小值为(

)A.-1 B.-2e-3

C.5e-3

D.1A解析

因为f(x)=(4x2-2ax-1)e2x-1,所以f'(x)=e2x-1[8x2+(8-4a)x-(2a+2)].依题意有f'(-1)=0,解得a=1,于是f(x)=(4x2-2x-1)e2x-1,f'(x)=4e2x-1(2x2+x-1).[例3-2]函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为

.

1方法点拨1.利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上的最值的一般步骤(1)求函数f(x)在区间(a,b)内的极值;(2)求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a),f(b);(3)将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象得到函数的最值.对点练7(1)函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2π]上的最小值、最大值分别为(

)D(2)若方程x3-3x+m=0在区间[0,2]上有解,则实数m的取值范围是(

)A.[-2,2]

B.[0,2]C.[-2,0]

D.(-∞,-2)∪(2,+∞)A解析

由题意得-m=x3-3x,x∈[0,2].令y=x3-3x,x∈[0,2],则y'=3x2-3.令y'=0,解得x=1(x=-1舍去).所以当x∈[0,1)时,y'<0;当x∈(1,2]时,y'>0.因此函数y=x3-3x,x∈[0,2]在区间[0,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增.又x=1时,y=-2;x=2时,y=2;x=0时,y=0,所以函数y=x3-3x,x∈[0,2]的值域是[-2,2],因此-m∈[-2,2],即m∈[-2,2].故选A.命题角度2根据函数的极值或最值求参数A思想方法等价转化思想在解决极值与最值问题中的应用利用导数研究函数的极值与最值问题,多与“参数处理”问题有关,解决这类问题时,基本策略是等价转化,通过对问题的不断转化进行求解.(1)函数f(x)在某一区间上有极值(点),可转化为方程f'(x)=0有满足某种条件的解.(2)求函数的极值、最值问题,可转化为研究函数的单调性问题.(3)求函数的极值、最值问题,可转化为解方程、不等式问题,而某些方程有解、不等式有解、不等式恒成立问题则可转化为研究函数的最值问题.对点练8B(2)已知f(x)=(x2+2x+a)ex,若f(x)存在极小值,则实数a的取值范围是

.

答案

(-∞,2)

解析

由题意得f'(x)=(2x+2)ex+(x2+2x+a)ex=ex(x2+4x+a+2),若f(x)存在极小值,则方程f'(x)=0有两个不相等的实根,即方程x2+4x+a+2=0有两个不相等的实根,所以Δ=16-4(a+2)>0,解得a<2,所以实数a的取值范围是(-∞,2).由于F(x)有两个极值点,所以方程mx2-mx+1=