2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案2.4《指数与指数函数》 (原卷版)

页第四节指数与指数函数核心素养立意下的命题导向1.将根式与指数幂相结合考查它们之间的互化，凸显数学运算的核心素养．2．与方程、不等式等相结合考查指数函数图象的应用，凸显直观想象的核心素养．3．与二次函数、不等式等问题综合考查指数型函数的性质及应用，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．[理清主干知识]1．根式(1)根式的概念若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)a的n次方根的表示xn＝a⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)当n为奇数且n>1时，,x＝±\r(n,a)当n为偶数且n>1时.))2．有理数指数幂幂的有关概念正分数指数幂：aSKIPIF1<0＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)负分数指数幂：aSKIPIF1<0＝eq\f(1,aSKIPIF1<0)＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂无意义有理数指数幂的性质aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)3．指数函数的图象和性质y＝axa>10<a<1图象性质函数的定义域为eq\a\vs4\al(R)；值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0，1)，即当x＝eq\a\vs4\al(0)时，y＝eq\a\vs4\al(1)当x>0时，恒有y>1；当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有0<y<1当x<0时，恒有y>1函数在定义域R上为增函数函数在定义域R上为减函数4．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．[澄清盲点误点]一、关键点练明1．函数y＝2x＋1的图象是()2．计算：π0＋2﹣2×(2eq\f(1,4))0.5＝________.3．若eq\r(2a－12)＝eq\r(3,1－2a3)，则实数a的取值范围为________．4．函数f(x)＝ax﹣2＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点________．5．函数y＝3x2﹣2x的值域为________．二、易错点练清1．计算eq\r(3,1＋\r(2)3)＋eq\r(4,1－\r(2)4)＝________.2．若函数f(x)＝(a2﹣3)·ax为指数函数，则a＝________.3．若函数f(x)＝ax在[﹣1，1]上的最大值为2，则a＝________.考点一指数幂的化简与求值[典例]eq\f(a3,\r(a)·\r(5,a4))(a>0)的值是()A．1B．aC．aSKIPIF1<0D．aSKIPIF1<0[方法技巧]1．指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．2．化简指数幂常用的技巧(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))﹣p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))p(ab≠0)；(2)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(aSKIPIF1<0))m，aeq\f(n,m)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(aSKIPIF1<0))n(式子有意义)；(3)1的代换，如1＝a﹣1a，1＝aSKIPIF1<0aSKIPIF1<0等；(4)乘法公式的常见变形，如(aSKIPIF1<0＋bSKIPIF1<0)(aSKIPIF1<0﹣bSKIPIF1<0)＝a﹣b，(aSKIPIF1<0±bSKIPIF1<0)2＝a±2aSKIPIF1<0bSKIPIF1<0＋b，(aSKIPIF1<0±bSKIPIF1<0)(aSKIPIF1<0∓aSKIPIF1<0bSKIPIF1<0＋bSKIPIF1<0)＝a±b.[针对训练]1．已知14a＝7b＝4c＝2，则eq\f(1,a)﹣eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝________.2．若x>0，则(2xSKIPIF1<0＋3SKIPIF1<0)(2xSKIPIF1<0﹣3SKIPIF1<0)﹣4xSKIPIF1<0(x﹣xSKIPIF1<0)＝________.考点二指数函数的图象及应用[典题例析](1)已知函数f(x)＝(x﹣a)(x﹣b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是()(2)(多选)已知实数a，b满足等式2020a＝2021b，下列四个关系式中成立的关系式是()A．0<b<aB．0<a<bC．a＝bD．a<b<0(3)函数y＝|3x﹣2|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．[答案](1)A(2)ACD(3)(﹣∞，﹣2][方法技巧]有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关参数取值范围问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．[针对训练]1．函数f(x)＝1﹣e|x|的图象大致是()2.函数f(x)＝ax﹣b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<03．若函数f(x)＝(eq\f(1,2))|1﹣x|＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是________．考点三指数函数的性质及应用考法(一)与指数函数有关的函数单调性问题[例1]若函数f(x)＝a|2x﹣4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝eq\f(1,9)，则f(x)的单调递减区间是()A．(﹣∞，2]B．[2，＋∞)C．[﹣2，＋∞)D．(﹣∞，﹣2][方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．考法(二)比较指数式大小[例2]已知f(x)＝2x﹣2﹣x，a＝(eq\f(7,9))﹣0.25，b＝(SKIPIF1<0)0.2，c＝log2eq\f(7,9)，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为()A．f(b)<f(a)<f(c)B．f(c)<f(b)<f(a)C．f(c)<f(a)<f(b)D．f(b)<f(c)<f(a)[方法技巧]比较指数幂大小的常用方法单调性法取中间不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底值法不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系图解法根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小考法(三)解指数方程或不等式[例3]设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，则实数a的取值范围是()A．(﹣∞，﹣3)B．(1，＋∞)C．(﹣3，1)D．(﹣∞，﹣3)∪(1，＋∞)[方法技巧]简单的指数方程或不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．考法(四)与指数函数有关的函数最值问题[例4](1)已知集合A＝{x|(2﹣x)·(2＋x)>0}，则函数f(x)＝4x﹣2x＋1﹣3(x∈A)的最小值为()A．4B．2C．﹣2D．﹣4(2)若函数f(x)＝(eq\f(1,3))SKIPIF1<0有最大值3，则a＝________.[方法技巧]解决形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且a≠1)型函数最值问题，多利用换元法，即令t＝ax，转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围．[针对训练]1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<cB．a<c<bC．b<a<cD．b<c<a2．(多选)对于给定的函数f(x)＝ax﹣a﹣x(x∈R，a>0，且a≠1)，下面给出四个命题，其中真命题是()A．函数f(x)的图象关于原点对称B．函数f(x)在R上不具有单调性C．函数f(|x|)的图象关于y轴对称D．当0<a<1时，函数f(|x|)的最大值是03．函数f(x)＝SKIPIF1<0的单调递增区间是()A.(﹣∞，eq\f(1,2)]B．[0，eq\f(1,2)]C.[eq\f(1,2)，+∞)D．[eq\f(1,2)，1]4．若不等式1＋2x＋4x·a>0在x∈(﹣∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是________．一、创新命题视角——学通学活巧迁移1．能说明“已知f(x)＝2|x﹣1|，若f(x)≥g(x)对任意的x∈[0，2]恒成立，则在[0，2]上，f(x)min≥g(x)max”为假命题的一个函数g(x)＝________.(填出一个函数即可)2．已知a，b，c，m都是正数，am＝bm＋cm，当m取何值时，长分别为a，b，c的三条线段能构成三角形？二、创新考查方式——领悟高考新动向1．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(﹣x0)＝﹣f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋2m﹣1(m∈R，且m≠0)是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是()A.[﹣eq\f(1,3)，0]B.[﹣eq\f(1,3)，0)C.[eq\f(1,3)，+∞]D．(﹣∞，0)2．已知函数y＝f(x)和函数y＝g(x)的图象关于y轴对称，当函数y＝f(x)和y＝g(x)在[a，b]上同时递增或同时递减时，[a，b]叫做函数y＝f(x)的“不动区间”．若[1，2]为函数y＝|2x＋t|的“不动区间”，则实数t的取值范围为________．3．对于某种类型的口服药，口服x小时后，由消化系统进入血液中的药物浓度y(单位)与时间t(时)的关系为y＝k(e﹣at﹣e﹣bt)，其中k>0，b>a>0，k，a，b为常数，对于某一种药物k＝4，a＝1，b＝2.(1)口服药物后________小时血液中药物浓度最高；(2)这种药物服药n(n∈N*)小时后血液中药物浓度f(n)如下表：n1234f(n)0.95450.93040.69320.4680n5678f(n)0.30100.18920.11630.0720一个病人上午8：00第一次服药，要使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上，第三次服药的时间是________．(时间以整点为准)4．已知函数f(x)＝2﹣x，给出下列结论：①若x>0，则f(x)>1；②对于任意的x1，x2∈R，x1﹣x2≠0，必有(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]<0；③若0<x1<x2，则x2f(x1)<x1f(x2)；④对于任意的x1，x2∈R，x1﹣x2≠0，必有eq\f(fx1＋fx2,2)>f(eq\f(x1＋x2,2)).其中所有正确结论的序号是________．eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、基础练——练手感熟练度1．函数y＝ln(2x﹣1)的定义域是()A．[0，＋∞)B．[1，＋∞)C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)2．函数y＝(eq\f(1,2))2x﹣x2的值域为()A.[eq\f(1,2)，+∞)B．(-∞，eq\f(1,2)]C.(0，eq\f(1,2)]D．(0，2]3．已知函数f(x)＝4＋2ax﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A．(1，6)B．(1，5)C．(0，5)D．(5，0)4．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞c＞a二、综合练——练思维敏锐度1．已知ab＝﹣5，则aeq\r(－\f(b,a))＋beq\r(－\f(a,b))的值是()A．2eq\r(5)B．0C．﹣2eq\r(5)D．±2eq\r(5)2．已知0<b<a<1，则在ab，ba，aa，bb中最大的是()A．baB．AaC．abD．bb3．函数y＝(eq\f(1,3))SKIPIF1<0的值域为()A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(2，＋∞)D．(0，1)∪(1，＋∞)4．函数y＝ax(a>0且a≠1)与函数y＝(a﹣1)x2﹣2x﹣1在同一个坐标系内的图象可能是()5．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x﹣m|﹣1为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<cB．a<c<bC．c<a<bD．c<b<a6．若ea＋πb≥e﹣b＋π﹣a，则有()A．a＋b≤0B．a﹣b≥0C．a﹣b≤0D．a＋b≥07．(多选)已知函数f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)，下面说法正确的有()A．f(x)的图象关于原点对称B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的值域为(﹣1，1)D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＜08．化简：(2eq\r(3,a2)·eq\r(b))(﹣6eq\r(a)·eq\r(3,b))÷(﹣3eq\r(6,a)·eq\r(6,b5))＝_______