高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时分层作业 七 2.4 指数函数 文-人教版高三数学试题

课时分层作业七指数函数一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018·揭阳模拟)函数f(x)=x2-的大致图象是 ()【解析】选B.由f(0)=-1可排除D,由f(-2)=4-4=0,f(-4)=16-16=0,可排除A,C.2.(2018·沈阳模拟)函数y=的值域为 ()A. B.C. D.(0,2]【解析】选A.u=f(x)=2x-x2=-(x-1)2+1≤1,函数y=是减函数,由复合函数的单调性可知,y≥,即函数的值域是.3.某宣传部门网站为弘扬社会主义思想文化,开展了以核心价值观为主题的系列宣传活动,并以“社会主义核心价值观”作为关键词便于网民搜索.此后,该网站的点击量每月都比上月增长50%,那么4个月后,该网站的点击量和原来相比,增长为原来的 ()A.2倍以上,但不超过3倍B.3倍以上,但不超过4倍C.4倍以上,但不超过5倍D.5倍以上,但不超过6倍【解析】选D.设第一个月的点击量为1,则4个月后点击量y=(1+50%)4=∈(5,6).该网站的点击量和原来相比,增长为原来的5倍以上,但不超过6倍.4.(2018·西安模拟)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是 ()A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.(-∞,-2] D.[1,+∞)【解析】选B.由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.5.已知函数f(x)=x-4+,x∈(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=a|x+b|的图象为 ()【解析】选A.因为x∈(0,4),所以x+1>1,所以f(x)=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即x=2时,取等号.所以a=2,b=1.因此g(x)=2|x+1|,该函数图象由y=2|x|的图象向左平移一个单位得到,结合图象知A正确.【变式备选】(2018·安阳模拟)已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),如果以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,那么f(x1)·f(x2)等于 ()A.1 B.a C.2 D.a2【解析】选A.因为以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,所以x1+x2=0.又因为f(x)=ax,所以f(x1)f(x2)===a0=1.6.已知函数y=f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠2},且y=f(x+2)是偶函数,当x<2时,f(x)=|2x-1|,那么当x>2时,函数f(x)的递减区间是 ()A.(3,5) B.(3,+∞)C.(2,4] D.(2,+∞)【解析】选C.因为y=f(x+2)是偶函数,所以f(-x+2)=f(x+2),则f(x)关于x=2对称,则f(x)=f(4-x).若x>2,则4-x<2,又当x<2时,f(x)=|2x-1|,所以当x>2时,f(x)=f(4-x)=|24-x-1|.当x≥4时,4-x≤0,24-x-1≤0,f(x)=|24-x-1|=1-24-x=1-16·,此时函数递增,当2<x<4时,4-x>0,24-x>1,此时f(x)=|24-x-1|=24-x-1=16·-1,此时函数递减区间为(2,4].7.若f(x)=,g(x)=,则下列等式不正确的是 ()A.f(2x)=2g2(x)+1B.f2(x)-g2(x)=1C.f2(x)+g2(x)=f(2x)D.f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)【解析】选D.f(2x)=,2g2(x)+1=2+1=,即f(2x)=2g2(x)+1,A正确;f2(x)-g2(x)=-=1,B成立;f2(x)+g2(x)=+=f(2x),C成立;f(x)f(y)-g(x)g(y)=×-×=,f(x+y)=,显然不等,所以D不正确.【题目溯源】本题源于教材人教A版必修1P83习题B组T4,“设f(x)=,g(x)=,求证:(1)[g(x)]2-[f(x)]2=1;(2)f(2x)=2f(x)g(x);(3)g(2x)=[g(x)]2+[f(x)]2”二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·保定模拟)函数f(x)=的定义域是________.

【解题指南】根据使函数f(x)=的解析式有意义的原则,构造不等式,解得函数的定义域.【解析】若使函数f(x)=的解析式有意义,自变量x须满足:-2≥0,解得:x∈(-∞,-1],故函数f(x)=的定义域为:(-∞,-1].答案:(-∞,-1]【变式备选】函数f(x)=+的定义域为 ()A.{x|x<1} B.{x|0<x<1}C.{x|0<x≤1} D.{x|x>1}【解析】选B.由已知得解得0<x<1.9.(2018·日喀则模拟)函数f(x)=ax(0<a<1)在[1,2]内的最大值比最小值大,则a的值为________.

【解析】因为函数f(x)=ax(0<a<1),所以函数f(x)=ax(0<a<1)在[1,2]内是减函数,因为函数f(x)=ax(0<a<1)在[1,2]内的最大值比最小值大,所以f(1)-f(2)=a-a2=,解得a=,或a=0(舍).答案:10.函数y=的单调递增区间是________. 【解析】使函数y=有意义,则-x2+2x+3≥0,得函数定义域为[-1,3],又因为函数t=-x2+2x+3在[-1,1]上递增,在[1,3]上递减,又因为函数y=可认为是由y=与t=-x2+2x+3复合而成的,所以函数y=的单调递增区间为[1,3].答案:[1,3]【误区警示】解答本题易出现以下两种错误:一是忽略函数的定义域,得出错误结论;二是对复合函数的理解错误造成错解.1.(5分)已知函数f(x)=若f(f(x))≥-2,则x的取值范围是 ()A.[-2,1] B.[,+∞)C.[-2,1]∪[,+∞) D.[0,1]∪[,+∞)【解析】选C.若x≤0,则f(f(x))=f(2x)=log22x=x≥-2,所以-2≤x≤0.若0<x≤1,则f(f(x))=f(log2x)==x≥-2,所以0<x≤1.若x>1,则f(f(x))=f(log2x)=log2log2x≥-2,即x≥4.综上所述,x的取值范围是[-2,1]∪[,+∞).2.(5分)(2018·长春模拟)若函数y=(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则loga+loga= ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.当a>1时,函数y=在[0,1]上单调递减,所以解得a=2,此时loga+loga=loga4=2;当0<a<1时,函数y=在[0,1]上单调递增,所以解得:a∈∅.综上可知:loga+loga=2.3.(5分)已知函数f(x)=,x1,x2,x3∈R,且x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值 ()A.一定等于零 B.一定大于零C.一定小于零 D.正负都有可能【解题指南】可先探究函数奇偶性、单调性,利用这两个性质再求解.【解析】选B.显然函数f(x)=为奇函数,且f(x)在R上是增函数,由x1+x2>0得,x1>-x2,所以f(x1)>f(-x2)=-f(x2),即f(x1)+f(x2)>0.同理可得f(x2)+f(x3)>0,f(x3)+f(x1)>0,所以f(x1)+f(x2)+f(x3)>0.4.(12分)(2018·保定模拟)已知函数f(x)=为奇函数. (1)求a的值.(2)判断函数f(x)的单调性,并根据函数单调性的定义证明.【解题指南】(1)根据题意,f(x)在原点有定义,并且f(x)为奇函数,从而有f(0)=0,这样即可求出a=-1.(2)可分离常数得到f(x)=1-,设任意的x1<x2,然后作差,通分,便可得出f(x1)<f(x2),从而得出f(x)的单调性.【解析】(1)因为函数f(x)是奇函数,且f(x)的定义域为R;所以f(0)==0,所以a=-1.(2)f(x)==1-,函数f(x)在定义域R上单调递增.理由:设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=.因为x1<x2,所以<,所以-<0,所以f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在定义域R上单调递增.【变式备选】已知+=3(a∈R),求值:.【解析】因为+=3,所以a+a-1=7,所以a2+a-2=47,所以==6.5.(13分)已知定义在R上的函数f(x)=2x-.(1)若f(x)=,求x的值.(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)当x<0时,f(x)=0