空间几何体的表面积和体积

第二节空间几何体的外表积和体积1精选课件总纲目录教材研读1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式考点突破2.空间几何体的外表积与体积公式考点二空间几何体的体积考点一空间几何体的外表积考点三与球有关的切、接问题

圆柱圆锥圆台侧面展开图

侧面积公式S圆柱侧=①2πrl

S圆锥侧=②

πrl

S圆台侧=③

π(r+r')l

1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式教材研读2.空间几何体的外表积与体积公式名称几何体

表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=④

Sh

锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V=⑤

Sh

台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下V=

(S上+S下+

)h球S=⑥4πR2

V=⑦

πR3

几个与球切、接有关的结论(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,①若球为正方体的外接球,则2R=

a;②若球为正方体的内切球,则2R=a;③若球与正方体的各棱相切,则2R=

a.(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=

.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1.将一个相邻边长分别为4π,8π的矩形卷成一个圆柱,那么这个圆柱的外表

积是 ()A.40π2

B.64π2C.32π2或64π2

D.32π2+8π或32π2+32πD答案

D当底面周长为4π时,底面圆的半径为2,两个底面的面积之和

是8π;当底面周长为8π时,底面圆的半径为4,两个底面的面积之和为32π.

无论哪种方式,侧面积都是矩形的面积32π2.故所求的外表积是32π2+8π

或32π2+32π.2.一个球的外表积是16π,那么这个球的体积为 ()A. πB. π

C.16πD.24πB答案

B设球的半径为R,则由4πR2=16π,解得R=2,所以这个球的体积为

πR3=

.3.圆锥的外表积等于12πcm2,其侧面展开图是一个半圆,那么底面圆

的半径为 ()A.1cmB.2cmC.3cmD. cmB答案

B设圆锥的底面半径为r,母线长为l,由题意可知l=2r,∴S=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12πcm2,∴r=2(cm).4.某几何体的三视图如下图,那么该几何体的体积为 ()

A.6

B.3 

C.2 

D.3答案

B由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,其底面为侧视图,

该侧视图是底边为2,高为

的三角形,正视图的长为三棱柱的高,故h=3,所以几何体的体积V=S·h=

×3=3

.B5.一个六棱锥的体积为2 ,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,那么该六棱锥的侧面积为

.12答案12解析设六棱锥的高为h,斜高为h0.因为该六棱锥的底面是边长为2的正六边形,所以底面面积为

×2×2×sin60°×6=6

,则

×6

h=2

,得h=1,所以h0=

=2,所以该六棱锥的侧面积为

×2×2×6=12.6.一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如下图

(单位:m),那么该四棱锥的体积为

m3.

2答案2解析四棱锥的底面是平行四边形,由三视图可知其面积为2×1=2m2,

四棱锥的高为3m,所以四棱锥的体积V=

×2×3=2m3.典例1(1)一个多面体的三视图如下图,那么该多面体的外表积为 (

)

A.21+ 

B.18+ 

C.21

D.18考点一空间几何体的外表积考点突破12精选课件(2)(2021安徽合肥质检)一个几何体的三视图如下图,那么该几何体的表面积为

.

13精选课件答案(1)A(2)26解析(1)根据题意作出直观图如图,该多面体是由正方体切去两个角

而得到的,根据三视图可知其表面积为6

+2×

×(

)2=6×

+

=21+

.故选A.

14精选课件(2)该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的局部,长方

体的长,宽,高分别为4,1,2,挖去半圆柱的底面半径为1,高为1,所以外表积

为S=S长方体-2S半圆柱底-S圆柱轴截面+S半圆柱侧=2×4×1+2×1×2+2×4×2-π×12-2×1+ ×2π×1=26.15精选课件方法技巧空间几何体外表积的求法(1)外表积是各个面的面积之和,求多面体的外表积,只需将它们沿着棱

剪开展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的外表积.求

旋转体的外表积,可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展

开后求外表积,但要弄清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中

的边长关系.(2)求不规那么几何体的外表积时,通常将所给几何体分割成根本的柱、

锥、台体,先求出这些根本的柱、锥、台体的外表积,再通过求和或作

差,求出不规那么几何体的外表积.16精选课件1-1

某几何体的三视图如下图,那么该几何体的外表积等于()

A.8+2 

B.11+2 C.14+2 

D.15B17精选课件答案

B由三视图知,该几何体是一个直四棱柱,上、下底面为直角梯

形,如下图.

直角梯形斜腰长为 = ,所以底面周长为4+ ,侧面积为2×(4+ )=8+2 ,两底面的面积和为2× ×1×(1+2)=3,所以该几何体的外表积为8+2 +3=11+2 .18精选课件1-2

(2021山西太原模拟)某几何体的三视图如下图,那么该几何体的表

面积为 ()

A.6π+1

B. +1C. + 

D. +1D19精选课件答案

D由几何体的三视图知,该几何体为一个组合体,其中下部是底

面直径为2,高为2的圆柱,上部是底面直径为2,高为1的圆锥的四分之一,

所以该几何体的表面积为4π+π+

+

+1=

+1,故选D.20精选课件考点二空间几何体的体积命题方向命题视角公式法求体积已知空间几何体,直接套用公式求解割补法求体积所给几何体为不规则几何体,通过割补法将其转化为规则几何体求解等体积法求体积常用的策略是转换几何体的底面和高,多用于棱锥21精选课件典例2(1)某几何体的三视图如下图(单位:cm),那么该几何体的体积

(单位:cm3)是 ()

A. +1

B. +3

C. +1

D. +3命题方向一公式法求体积22精选课件

(2)某四棱柱的三视图如下图,那么该四棱柱的体积为

.23精选课件解析(1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1cm,高为3cm的半

个圆锥和三棱锥S-ABC组成的,如图,三棱锥的高为3cm,底面△ABC中,

AB=2cm,OC=1cm,AB⊥OC.故其体积V= × ×π×12×3+ × ×2×1×3= cm3.应选A.

答案(1)A(2)

24精选课件

故该四棱柱的体积V=Sh=

×(1+2)×1×1=

.(2)由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体,将该几何体还

原到长方体中,如图所示,该几何体为四棱柱ABCD-A'B'C'D'.25精选课件典例3(1)(2021课标全国Ⅱ,6,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,

粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一

局部后所得,那么该几何体的体积为 ()

A.90πB.63πC.42πD.36π命题方向二割补法求体积26精选课件(2)如下图,在多面体ABCDEF中,ABCD是边长为1的正方形,且△

ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,那么该多面体的体积为 ()

A. 

B. 

C. 

D. 27精选课件答案(1)B(2)A解析(1)由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6,

高为14的圆柱,所以该几何体的体积V=

×32×π×14=63π.故选B.(2)解法一:如图所示,分别过A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱,

易知三棱锥的高为

,直三棱柱的高为1,AG=

=

,28精选课件取AD的中点M,连接MG,则MG=

,∴S△AGD=

×1×

=

,∴V=

×1+2×

×

×

=

.解法二:如图所示,取EF的中点P,连接PA、PB、PC、PD,则原几何体分

割为两个三棱锥和一个四棱锥,易知三棱锥P-AED和三棱锥P-BCF都是

棱长为1的正四面体,四棱锥P-ABCD是棱长为1的正四棱锥.

∴V=

×12×

+2×

×

×

=

.29精选课件典例4如下图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底

面ABC,那么三棱锥B1-ABC1的体积为 ()

A. 

B. 

C. 

D. 命题方向三等体积法求体积A30精选课件答案

A解析三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1的体积,三棱锥A-B1BC1

的高为

,底面积为

,故其体积为

×

×

=

.31精选课件方法技巧求空间几何体的体积的常用方法(1)公式法:对于规那么几何体的体积问题,可以直接利用公式进行求解.(2)割补法:把不规那么的图形分割成规那么的图形,然后进行体积计算;或者

把不规那么的几何体补成规那么的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何

体,便于计算其体积.(3)等体积法:一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的.如果一个几

何体的底面面积和高较难求解时,我们可以采用等体积法进行求解.等

体积法也称等积转化或等积变形,它是通过选择适宜的底面来求几何体

体积的一种方法,多用来解决有关锥体的体积,特别是三棱锥的体积.32精选课件2-1

(2021山东,13,5分)由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如以下图,那么该几何体的体积为

.

33精选课件解析由几何体的三视图可画出该几何体的直观图如下:

∴该几何体的体积V=2×1×1+

×π×1=2+

.答案2+

34精选课件2-2如图,△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥

BD,BD=3,FC=4,AE=5,那么此几何体的体积为

. 59635精选课件解析解法一:如图,取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,用“分割法〞把原

几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.

所以V几何体=V三棱柱+V四棱锥.由题知三棱柱ABC-NDM的体积为V1= ×8×6×3=72.四棱锥D-MNEF的体积为V2= S梯形MNEF·DN= × ×(1+2)×6×8=24,答案9636精选课件那么几何体的体积为V=V1+V2=72+24=96.解法二:用“补形法〞把原几何体补成一个直三棱柱,使AA'=BB'=CC'=

8,所以V几何体= V三棱柱= ×S△ABC·AA'= ×24×8=96.

37精选课件考点三与球有关的切、接问题命题方向命题视角柱体的外接、内切球问题主要包括正方体、长方体、直棱柱的外接球与内切球锥体的外接、内切球问题主要包括三棱锥的外接、内切球以及正四棱锥的外接球38精选课件典例5(1)直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,假设AB

=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,那么球O的半径为 ()A. 

B.2 

C. 

D.3 (2)(2021课标全国Ⅱ,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在

球O的球面上,那么球O的外表积为

.(3)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均

相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,那么 的值是

.

命题方向一柱体的外接、内切球问题39精选课件答案(1)C(2)14π(3)

解析(1)如图所示,由球心作平面ABC的垂线,垂足为BC的中点M.连接

OA,AM,

又AM=

BC=

,OM=

AA1=6,所以球O的半径R=OA=

=

.(2)由题意知长方体的体对角线为球O的直径,设球O的半径为R,则(2R)240精选课件=32+22+12=14,得R2= ,所以球O的外表积为4πR2=14π.(3)设圆柱内切球的半径为R,那么由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R,高为2R,∴ = = .41精选课件典例6(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上,假设该棱锥的高为4,底面边

长为2,那么该球的外表积为 ()A. 

B.16πC.9πD. (2)假设一个正四面体的外表积为S1,其内切球的外表积为S2,那么 =

.(3)(2021课标全国Ⅰ,16,5分)三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的

球面上,SC是球O的直径.假设平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S

-ABC的体积为9,那么球O的外表积为

.命题方向二锥体的外接、内切球问题42精选课件答案(1)A(2)

(3)36π解析(1)如图所示,设球的半径为R,正四棱锥的底面中心为O',球心

为O,由题意得AO'=

.

∵PO'=4,∴OO'=4-R,在Rt△AOO'中,∵AO2=AO'2+OO'2,∴R2=(

)2+(4-R)2,43精选课件解得R= ,∴该球的外表积为4πR2=4π× = .(2)设正四面体内切球的半径为r,正四面体的棱长为a,那么正四面体的表

面积S1=4× ·a2= a2,其内切球的半径为正四面体高的 ,即r= × a= a,因此内切球的外表积S2=4πr2= ,那么 = = .(3)由题意作出图形,如图.44精选课件设球O的半径为R,由题意知SB⊥BC,SA⊥AC,又SB=BC,SA=AC,则SB=BC

=SA=AC=

R.连接OA,OB,则OA⊥SC,OB⊥SC,因为平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,

所以OA⊥平面SCB,所以OA⊥OB,则AB=

R,所以△ABC是边长为

R的等边三角形,设△ABC的中心为O1,连接OO1,CO1.则OO1⊥平面ABC,CO1=

×

×

R=

R,则OO1=

=

R,则VS-ABC=2VO-ABC=2×

×

(

R)2×

R=

R3=9,所以R=3.所以球O的表面积S=4πR2=36π.45精选课件规律总结解决球与其他几何体的切、接问题(1)关键在于仔细观察、分析,弄清相关元素的位置关系和数量关系.(2)选准最正确角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体