2022年湖南省高考数学调研试卷（3月份）（学生版+解析版）

2022年湖南省高考数学调研试卷(3月份)

一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。)

1.(5分)设4={x|/gx>0},8={x|/-x-2V0},则(CRA)CB=()

A.{x|x>-1}B.{x|-l<x<l}C.{x|-l<x<l}D.{x[l<x<2}

2.(5分)已知，是虚数单位，若2=当为纯虚数，则实数。=()

A.1B.2C.-1D.-2

3.(5分)若》6=如+01(x+1)+42(x+1)2+«3(x+1)3+...+。6(X+1)6,则43=()

A.20B.-20C.15D.-15

4.(5分)下列说法中正确的是()

1O

A.已知随机变量X服从二项分布B(4,则E(X)=5

B."A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的充分不必要条件

C.已知随机变量X的方差为。(X),则£>(2X-3)=2D(X)-3

D.己知随机变量X服从正态分布N(4,。2)且尸(XW6)=0.85,则P(2<XW4)

=0.35

5.(5分)已知函数/(x)=/+2x"(1)+2,且其图象在点x=2处的切线的倾斜角为a,

it37r

则sin(-4-a)cos(——a)的值为()

22

3344

A.—B.一隹C.—D.-7^7

16161717

6.(5分)蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内

实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006

年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产

名录.已知某鞠的表面上有五个点尸、A、B、C、。恰好构成一正四棱锥P-4BCD,若

该棱锥的高为8,底面边长为4VL则该鞠的表面积为()

A.64nB.IOOTTC.132TTD.144TT

7.(5分)已知累函数/(x)=(m-l)2xm2-4m+2在(0,+oo)上单调递增，函数g(x)=

2X-a,VxiG[L5],3x2G[l.5],使得f(xi)(xz)成立,则实数a的取值范围是()

A.B.a2-23C.“231D.a27

y乙

8.（5分）已知双曲线C：---=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为尸1,尸2,M,N

为双曲线一条渐近线上的两点，A为双曲线的右顶点，若四边形MF1NF2为矩形，且/

，则双曲线C的离心率为（）

lr-V21,—

A.V3B.V7C.—D.V13

3

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

（多选）9.（5分）下列说法正确的是（）

A.为了更好地开展创文创卫工作，需要对在校中小学生参加社会实践活动的意向进行调

查，拟采用分层抽样的方法从该地区A、B、C、。四个学校中抽取一个容量为400的样本

进行调查，已知4、B、C、力四校人数之比为7：4：3：6,则应从B校中抽取的样本数量

为80

B.6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取2件，则至少取到1件次品的概率为0.6

C.已知变量x、y线性相关，由样本数据算得线性回归方程是y=0.4x+a,且由样本数

据算得元=4,y=3.7,则a=2.1

D.箱子中有4个红球、2个白球共6个小球，依次不放回地抽取2个小球，记事件M=

｛第一次取到红球）,N=｛第二次取到白球｝,则M、N为相互独立事件

（多选）10.（5分）已知函数/（无）=4sin（3x+（p）（4>0,3>0,|（pl<l）的部分图像如

图所示，下列结论正确的是（）

A..9=_[71

B.将『（X）的图像向右平移1个单位，得到函数y=2sin,x的图像

C.f（x）的图像关于直线》=-1对称

D.若|XI-X2|<4,则|/(XI)-f(X2)|<4

(多选)11.(5分)已知圆C过点A(1,3),B(2,2),直线m：3x-2y=0平分圆C的

面积，过点。(0,1)且斜率为k的直线/与圆C有两个不同的交点M,N,则()

A.圆心的坐标为C(2,3)

B.圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=l

17

C.k的取值范围为(-,-)

33

12遍

D.当仁牺，弦政V的长为丁

(多选)12.(5分)已知函数/(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时，/(x)="(x+l),

则下列命题正确的是()

A.当x>0时，/(x)=--X(x-1)

B.函数『CO有3个零点

C.f(x)<0的解集为(-8,-1)u(0,1)

D.Vxi,X2CR,都有「(Xi)-f(%2)|<2

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。)

13.(5分)若直线/的方向向量薪=(x,-1,2),平面a的法向量7=(-2,-2,4),

且直线平面a,则实数x的值是.

14.(5分)已知抛物线C：W=2y上有两动点P,Q,且|「。|=5,则线段PQ的中点到x轴

距离的最小值是.

0。92(_芬x〈-1

15.(5分)设函数/(x)={1/42，若/(X)在区间W，4]上的值域为

I-可/+@%+可，—1

[-1,2],则实数机的取值范围为.

16.(5分)用g(〃)表示自然数拉的所有正因数中最大的那个奇数，例如：9的正因数有1、

3、9,g(9)=9,10的正因数有1、2、5、10,g(10)=5.记S(九)=g(1)+g(2)

+g(3)+…+g(2〃)，则:

(1)S(4)=；

(2)S(〃)=.

四、解答题：(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.(10分)△48C的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin4sinB+ccosA=(acosA+2。)

cosB.

(I)求8；

(II)若b=26AB'CB=6,求△ABC的周长.

18.(12分)已知数列｛“"｝的前〃项的和为S”且满足S”=2如-1(gN*).

(1)求数列伍求的通项公式所及S”；

(2)若数列｛岳｝满足bn=\Sn-311，求数列｛儿｝的前n项的和Tn.

19.(12分)筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形.如图，四边形ABC。是一

个筝形，AB=AD=遍,CD=CB=1,AC=2,沿对角线AC将△AOC折起到E点，形

成四棱锥E-ABCZ).

(I)点M为线段4E中点，求证：BM〃平面EQ)；

(II)当EB=|时，求直线BC与平面E4。所成角的正弦值.

20.(12分)某市为了解2020年十一双节期间市民旅游出行的方式及满意程度，对去该市

市区内甲、乙、丙三个景点旅游的市民进行了调查.现从中随机抽取100人作为样本，

得到如表(单位：人)：

满意度得分甲乙丙

报团游自驾游报团游自驾游报团游自驾游

10分1211210714

5分414449

0分107217

合/p>

(1)从样本中任取1人，求这人没去丙景点的概率;

(2)根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.针对甲、乙、丙三个

景点，从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取2人，记X为去乙

景点的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)如果王某要去甲、乙、丙三个景点旅游，那么以满意度得分的均值为依据，你建议

王某是报团游还是自驾游？说明理由.

_X2V2

21.(12分)在平面直角坐标系xOy中，设尸为椭圆C瓶+京■=1的左焦点，

TT

直线x=-会与x轴交于点为椭圆C的左顶点，己知椭圆长轴长为8,且PM=2MF.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若过点P的直线与椭圆交于两点A,B,设直线AF,8尸的斜率分别为h,ki.

①求证：匕+七为定值；

②求aABF面积的最大值.

22.(12分)已知函数/(冗)—ex-Inx,g(x)

(1)求函数/(x)在上，什1](Z>0)上的最小值；

(2)证明：当.>0时,xf(x)<g(x).

2022年湖南省高考数学调研试卷（3月份）

参考答案与试题解析

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。）

1.(5分)设A={x|/gx>0},B={x|?-x-2<0},贝U(CRA)AB=()

A.{x\x>-1}B.[x\-l<x<l}C.{x|-1<x<1}D.{x|l<x<2}

【解答】解：因为A={x|/gx>0}={上>1},

B={xM-x-2<0}={x|(x-2)(x+1)<0}={x|-l<x<2},

所以CR4={4XWI},所以(CRA)AB={X|-l<x<l}.

故选：B.

2.(5分)已知i是虚数单位，若2=等为纯虚数，则实数。=()

A.1B.2C.-1D.-2

【解答】解：：Z=^=借郎哥=等+与为纯虚数,

£1±勺1=0，解得a=

0

故选：C.

3.(5分)若X6=〃0+〃1(X+1)+〃2(x+1)2+a3(X+1)3+...+。6(X+1)6,则〃3=()

A.20B.-20C.15D.-15

【解答】解：x6=[-1+(1+x)]6=ao+m(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+....+〃6(x+1)

6

则43=瑶•(-1)3=-20,

故选：B.

4.（5分）下列说法中正确的是（）

A.已知随机变量X服从二项分布B（41,则E（X）=1Q

B.“A与8是互斥事件”是“A与8互为对立事件”的充分不必要条件

C.已知随机变量X的方差为。（X）,则。（2X-3）=2£>（X）-3

D.已知随机变量X服从正态分布N（4,。2）且尸（XW6）=0.85,则P（2<XW4）

=0.35

11A

【解答】解：对于A：随机变量X服从二项分布8(4,-),则E(X)=4x|=^故A

333

错误；

对于8：“A与B是互斥事件”不能推出“A与B互为对立事件“，但是“A与B是互斥

事件”u“A与8互为对立事件“，故A与3是互斥事件”是“A与8互为对立事件”

的必要不充分条件，故8错误；

对于C：随机变量X的方差为。(X),则。(2X-3)=4。(X),故C错误；

对于。：因为随机变量X服从正态分布N(4,。2)且p(xW6)=0.85,所以P(XW2)

=0.15,所以尸(2<XW4)=0.35,故O正确.

故选：D.

5.(5分)已知函数/(x)=?+2xV(1)+2,且其图象在点x=2处的切线的倾斜角为a,

TC3TC

则sin(一+a)cos(——a)的值为()

22

3344

A.—B.一彳zC.—D.一—

16161717

【解答】解：=/+国(1)+2,

：.f(x)=37+W(1),

：.f(1)=3+般⑴，

即/'(1)=-l,/'(x)=3/-4x,

...图象在点x=2处的切线的斜率2/(2)=4=tana,

n37r

贝！Jsin(一+a)cos(——a)

22

=-cosasina

_sinacosa

sin2a-^-cos2a

-tana

l+tcm2a

4

="T7)

故选：D.

6.(5分)蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内

实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006

年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产

名录.己知某鞠的表面上有五个点尸、A、B、C、力恰好构成一正四棱锥尸-A8CD,若

该棱锥的高为8,底面边长为4位，则该鞠的表面积为（)

A.64nB.100nC.1321TD.144TC

【解答】解：正四棱锥P-ABC。的底面是正方形，底面边长为4VL高为8,如图所示:

所以正四棱锥P-ABCD的底面对角线的长为4V2XV2=8,

设正四棱锥外接球的半径为R,则#=（8-7?）2+42,解得R=5,

所以球的表面积为5=4Tf7?2=4TtX25=100n,

即该鞠的表面积为lOOn.

故选：B.

7.（5分）已知基函数/（x）=（瓶-1）2*机2-4巾+2在（0,+8）上单调递增，函数g（x）=

2X-a,Vxie[l,5],3xie[i,5],使得（%2）成立，则实数a的取值范围是（）

A.B.-23C.D.

【解答】解：・・•累函数/（%）=（巾一1）2%/-4皿+2在（0,+8）上单调递增，

•.・"[=;解得…

（m2-4m+2>0

:./（x）=/,

当刈日1,5]时，/（XI）€[1,25],则八阳）min=\,

又当了2日1,5]时，g（%2）6[2-a,32-。],g（X2）相加=2-a,

由题意得：122-小解得：

故选：A.

X2V2

8.（5分）已知双曲线C：—=1（。>°，^>0）的左、右焦点分别为乃，F2,M,N

z

ab乙

为双曲线一条渐近线上的两点，A为双曲线的右顶点，若四边形MF1N仍为矩形，且N

M4N=等，则双曲线C的离心率为（）

lr-.-

A.V3B.V7C.——D.V13

3

【解答】解：如图,

因为四边形MQNF2为矩形，所以|M7V|=|FIF2|=2C（矩形的对角线相等）,

所以以MN为直径的圆的方程为/+/=02,

直线MN为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为＞=务，

沱23解需著

由

所以N(a,〃)，M(-a,-b)或N(-a,-b),M(a,b),

不妨设N((7,b),M(-a,-b),又A(a,0)

所以|AM=J(a+a)2+炉="4a2+岳,丹川=J(a—a)2+炉=b,

在△AMN中，NMAN=号,

由余弦定理得|加辞=忸/2+忸川2-21AMi4N|・cos等,

即4c2=4a2+/?2+/>2+V4a2+b2xb,

贝ij2b=V4a2+b2,

所以4b2=4a1+b2,

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

（多选）9.（5分）下列说法正确的是（）

A.为了更好地开展创文创卫工作，需要对在校中小学生参加社会实践活动的意向进行调

查，拟采用分层抽样的方法从该地区A、B、C、。四个学校中抽取一个容量为400的样本

进行调查，已知A、B、C、。四校人数之比为7：4：3：6,则应从8校中抽取的样本数量

为80

B.6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取2件，则至少取到1件次品的概率为0.6

C.已知变量无、y线性相关，由样本数据算得线性回归方程是y=0.4久+a,且由样本数

据算得元=4,y=3.7,则a=2.1

D.箱子中有4个红球、2个白球共6个小球，依次不放回地抽取2个小球，记事件M=

｛第一次取到红球｝,N=｛第二次取到白球｝，则M、N为相互独立事件

【解答】解：对于选项A,

采用分层抽样的方法从该地区4、B、C、。四个学校中抽取一个容量为400的样本进行

调查，

A、B、C、。四校人数之比为7：4：3：6,

故应从8校中抽取的样本数量为400X元』=80,故正确;

最+屐03

对于选项B,至少取到1件次品的概率为=-=0.6,故正确;

对于选项C,,线性回归方程是y=0.4x+Q,且5=4,y=3.7,

・・・a=3.7-04X4=2.1,故正确;

对于选项。，M、N不是相互独立事件，故错误；

故选：ABC.

（多选）10.（5分）己知函数/（x）=Asin（a）x+（p）（A>0,a）>0,|（p|<l）的部分图像如

B.将的图像向右平移1个单位，得到函数y=2sin*x的图像

C./(x)的图像关于直线X=-1对称

D.若|XI-%2|V4,则(亢1)-f(%2)|<4

【解答】解：由图可知A=2,函数fG)的最小正周期为T=4X(5-3)=8,

rjiii27TTC

贝U3=下=不

,57r/057r

由f(5)=2sin(—+<p)=-2,得sin(—+(p)=-1,

44

所以，—+(p=+2^11,(kWZ),得华=百+2汨，(kEZ),

因为即|<1,得隼=?

TCTT

所以/(K)=2sin(―x+j),A项错误；

4T,

将fG)的图象向右平移1个单位，

得到函数/'(x-1)=2sin[—(x-1)+]]=2sin4的图象,8项正确；

4，4

可得/(-1)=2sin(-左+/)=0,故。项错误；

由于/(X)的最小正周期为7=至=8,

4

T

所以若|xi-功<4=彳则，(xi)-f(%2)|<4,故£>项正确.

故选：BD.

(多选)11.(5分)已知圆C过点A(1,3),B(2,2),直线相：3x-2y=0平分圆C的

面积，过点£>(0,1)且斜率为k的直线/与圆C有两个不同的交点M，N,则()

A.圆心的坐标为C(2,3)

B.圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1

17

C./的取值范围为(-,-)

33

12\[5

D.当时，弦的长为丁

【解答】解：设圆方程为(X-«)2+(y-b)2=P,

因为圆C被直线〃?：3x-2y=0平分，

所以圆心(“，b)在直线机上，则由3。-26=0,

由条件圆C过A,B两点，则一一M=I,

1(2-ay4-(2-by=rz

解得a=2,b=3,r=l,

所以圆心。(2,3),故A正确；

圆C的方程为(x-2)2+(厂3)2=1,故B正确；

由题可知过点。(0,1)且斜率为k的直线/方程为丫=区+1,即fcc-y+l=0,

由直线/与圆C由两个不同交点M,N,所以点C到直线/的距离小于半径r,

即喈坦〈I，解得穿《〈竽，故C错误；

V/c2+l33

当％时，可求得点C(2,3)到直线/的距离4=咋型=挛，

2M5

则弦长|MM=2〃2-d2=2小一(等)2=竿，故。正确；

故选：ABD.

(多选)12.(5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，/(x)=F(x+l),

则下列命题正确的是()

A.当x>0时，f(x)=-ex(x-1)

B.函数/(x)有3个零点

C.f(x)<0的解集为(-8,-1)u(0,1)

D.Vxi,X2GR,都有/(xi)-f(X2)|<2

【解答】解：函数/(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，/(x)="(x+1),

设x>0时，-x<0,/(-x)=ex(-x+1),'.f(x)=-/(-x)=ex(x-1),

x=0时，f(0)=0.因此函数/(x)有三个零点：0,+1.

当x<0时，f(x)="(x+1),f(x)=F(x+2),可得x=-2时，函数f(x)取得

极小值，

/(-2)=^-.可得其图象：

f(x)<0时的解集为：(-8,-1)u(0,1).

Vxi,X26R,都有/(Xi)-f(JC2)\^\f(0+)-f(0.)|<2.

因此8C£>都正确.

故选：BCD.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。)

13.(5分)若直线1的方向向量就=(x,-1,2),平面a的法向量Z=(-2,-2,4),

且直线平面a,则实数x的值是-1.

【解答】解：•.•直线/的方向向量茄=(x,-1,2),

平面a的法向量蔡=(-2,-2,4),且直线/，平面a,

—>—>

Am||n,

x-12

—2—24

解得实数》=-1.

故答案为：-1.

14.(5分)已知抛物线C：7=2)，上有两动点尸，Q,且|PQ=5,则线段PQ的中点到x轴

距离的最小值是2.

【解答】解：设抛物线C的焦点为凡点P在抛物线的准线y=-4上的投影为为，点Q

在直线了=-±上的投影为Q1,

线段PQ的中点为E,点E到x轴的距离为力则|PPi|+|QQi|=|/Yl+|Q/q2|PQ|=5,

所以(|PP1|+|QQ1|)-0.5—2,当且仅当|P/q+|QQ=|PQ|,即P、F、Q三点共线时

等号成立，

所以线段PQ的中点到x轴距离的最小值为2,

故答案为：2.

A

X

耳尸一301

X<-1

-

15.(5分)设函数/(X)+2,若八x)在区间w，4]上的值域为

-火

3,1

[-1,2],则实数m的取值范围为[-8,-1].

【解答】解：函数/(x)的图象如图所示，结合图象易得

当”同-8,-1]时,

f(x)€[-1,2].

16.(5分)用g(〃)表示自然数月的所有正因数中最大的那个奇数，例如：9的正因数有1、

3、9,g(9)=9,10的正因数有1、2、5、10,g(10)=5.记S(〃)=g(1)+g(2)

+g(3)+…+g⑵),则：

(1)S(4)-86

4n+2

(2)S(n)=

=2k-1,k&N*

【解答】解:由题意得g(〃)

),n=2k,kCN*

由g(")的定义易知g(")=g(2〃)，且若"为奇数则g(n)=n,

S(4)=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(16)=g(1)+g(3)+g(5)+…+g(15)

+g(2)+g(4)+…+g(16)

=1+3+5+…+15+g(1)+g(2)+g(3)+…+g(8)=64+g(1)+g(3)+g(5)+g(7)

+g(2)+g(4)+g(6)+g(8)

=64+l+3+5+7+g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=64+1+3+5+7+1+3+g(1)+g(2)

=64+1+3+5+7+1+3+1+g(1)=64+1+3+5+7+1+3+1+1=86,

S(〃)=g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2〃)=g(1)+g(3)+g(5)+…+g(2"-1)

+g(2)+g(4)+g(6)+・・・+g(2D

=l+3+5+7+…+2"-l+g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2"1)=4,rl+S(〃-1)=4""+4”

As(n-2)

=4"-1+4"-2+4"-3+...+4+5(])=+g(1)+g(2)=+2g(1)=+2=.

4n+2

故答案为：86；----

四、解答题：(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.(10分)△43C的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,已知〃sinAsin8+ccosA=(〃cosA+2b)

cosB.

(I)求&

(II)若b=2次，AB^CB=6,求5c的周长.

【解答】解:(I)因为asinAsinB+ccosA=(〃cosA+2h)cos8,可得a(sinXsinB-cosAcosB)

+ccosA=2/?cosB,

所以-〃cos(A+B)+ccosA=2/tcos8,可得〃cosC+ccosA=2bcos5,

由正弦定理可得sirL4cosC+sinCcosA=2sinBcosB,整理可得sin(A+C)=2sin8cos8=sin8,

因为sinBWO,可得COSB=2，

由BE(0,TT),可得3=可.

(II)由余弦定理可得。2=/+c2_2〃CCOS5,即(〃+c)2-3〃c=12,

因为=BA・BC=accosB=^ac=6,解得ac=12,

所以(〃+c)2-36=12,解得〃+C=4V5,

所以△ABC的周长为68.

18.(12分)已知数列｛如｝的前几项的和为S〃,且满足S〃=2a〃-1(n€N*).

(1)求数列｛如｝的通项公式所及S〃；

(2)若数列｛历｝满足加=|%-31|,求数列｛加｝的前〃项的和

【解答】解：（1）在S〃=2a〃-1中，令〃=1,则01=241-1,即m=l,

由-1知，S〃+i=2a〃+i-1,

两式相减得，+1=2〃〃+1-2dn,即Cln+\=2.Cbi9

所以数列｛〃〃｝是首项为1,公比为2的等比数列，

所以数列｛板｝的通项公式。〃=1・2〃一1=2〃7,前〃项和公式Sn=二胃）=2〃-1.

32—2n,l<n<5

(2)bn=\Sn-31|=|2H-1-31|=|2ZZ-32|=

2n-32,n>5

当时，Tn=(32-21)+(32-22)+・・・+(32-2〃)=32〃-(21+22+-+2,?)=

32M一2(；一,九)=32〃-2W+1+2；

i-z

1256

当〃>5时，Tn=(32-2)+(32-2)+•••+(32-2)+(2-32)+…+(2"-32)

=275+(21+22+-+2Z!)-32n=2X98+^1^|^-32n=2,7+1-32n+194,

(32律一2n+i+2,1<n<5

综上,Tn=\,

(2n+1-32n+194,n>5

19.（12分）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形.如图，四边形ABC。是一

个筝形，AB=AD=A/3,CD=CB=1,AC=2,沿对角线AC将△AOC折起到E点，形

成四棱锥E-ABC。.

（I）点M为线段AE中点，求证：8M〃平面ECQ；

（II）当E8=|时，求直线8C与平面£40所成角的正弦值.

【解答】解：（I）证明：延长A8,OC交于点凡

,:△AB8XFBC,.•.点B是线段4尸的中点,

•.•点M是线段AE中点，.•.M8〃EF,

平面ECD,EFu平面EC。，

〃平面ECD.

(II)作EOLAC于O,连接BO,

'：AAOE^/\EOB,：.BO±AC,

...AC,平面EOB,如图，建立空间直角坐标系,

.•.0后=与^=孚，08=空，

:.cosNEOB=0E2,需益B,=_J,/EOB=120°,

20E0B2

V3I3J3J?3

B（一,0,0）,C（0,-4，0）,A（0,0）,D（-笄，0,0）,E（一耳，0,-）,

222244

—731—J33-V33

BC=（一浮，-4,0）,AD=（一苧，-5,0）,DE=（―,0,一）,

222244

设平面AEO的法向量是蔡=（x,y,z）,

T一V33

（n-AD==0-

lL，取z=l,得n=（-V3,1,1）,

一法=/+1=0

设直线BC与平面EAD所成角为a,

—>T

ttTL,BCR

则直线2c与平面EAD所成角的正弦值sina=|cosVn,BC>|=|7-|=者.

|n|-|BC|

直线BC与平面EA。所成角的正弦值为

20.(12分)某市为了解2020年十一双节期间市民旅游出行的方式及满意程度，对去该市

市区内甲、乙、丙三个景点旅游的市民进行了调查.现从中随机抽取100人作为样本,

得到如表（单位：人）：

满意度得分甲乙丙

报团游自驾游报团游自驾游报团游自驾游

10分1211210714

5分414449

0分107217

合/p>

（1）从样本中任取1人，求这人没去丙景点的概率；

（2）根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.针对甲、乙、丙三个

景点，从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取2人，记X为去乙

景点的人数，求X的分布列和数学期望；

（3）如果王某要去甲、乙、丙三个景点旅游，那么以满意度得分的均值为依据，你建议

王某是报团游还是自驾游？说明理由.

【解答】解：（1）设事件“从样本中任取1人，这人没去丙景点”为事件A,

由表格中所给数据可得，去甲，乙，丙旅游的人数分别为19,39,42,

士D、

故6?⑷,4=^109+03-9=2509-

（2）由题意可得，X的所有可能取值为0,1,2,

从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机取1人，此人取乙景点的概率

J61

为一=一,

483

P（X=0）=C[x（1一1）2=§，=（x=1）=x|x（1-1）=

P（X=2）=X（1）2=i

故X的分布列为：

X012

P441

1———

999

4412

E(X)=0*@+1*@+2'@=可.

（3）由题干所给表格中数据可知，报团游，自驾游的总人数分别为52,48,

得分为10分报团游，自驾游的总人数分别为31,25,得分为5分报团游，自驾游的总人

数分别为12,14,

得分为0分报团游，自驾游的总人数分别为9,9,

31x10+12x5+9x0185

所以从满意度来看，报团游满意度的均值为

5226

25X10+14X5+9X020

自驾游满意度的均值为

483

18520

■:--->一，

263

...建议王某选择报团游.

XV

21.（12分）在平面直角坐标系xQv中，设尸为椭圆C：/+言=1（。>6>0）的左焦点,

直线x=-色与x轴交于点尸,M为椭圆C的左顶点，己知椭圆长轴长为8,且PM=2MF.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若过点P的直线与椭圆交于两点A,B,设直线A凡B尸的斜率分别为h,ki.

①求证：A1+&2为定值；

②求AAB尸面积的最大值.

【解答】解：（1）因为2a=8,所以a=4,

又PM=2MF,

a

所以—