解直角三角形的应用俯角仰角问题九年级数学上册尖子生培优题典2

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【华师大版】专题解直角三角形的应用：俯角仰角问题〔重难点培优〕姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷总分值100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔2021•湖南模拟〕如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，那么塔AB的高为〔〕米．〔3≈A．145米B．135米C．125米D．120米【分析】首先根据题意分析图形；此题涉及到两个直角三角形，设AB＝x〔米〕，再利用CD＝BC﹣BD＝100的关系，进而可解即可求出答案．【解析】在Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，∴BD＝AB．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴ABBC=tan30°∴BC=3AB设AB＝x〔米〕，∵CD＝100米，∴BC＝〔x+100〕米．∴x+100=3x∴x＝50〔3+1即塔AB的高为50〔3+1〕≈135应选：B．2．〔2021•二道区校级模拟〕如图，一艘潜水艇在海面下300米的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30°，潜水艇继续在同一深度直线航行960米到点B处，测得黑匣子C的俯角为60°，那么黑匣子所在的C处距离海面的深度是〔〕A．〔4803+300〕米B．〔9603+C．780米D．1260米【分析】易证∠BAC＝∠BCA，得BA＝BC．然后在直角△BCE中，利用锐角三角函数定义求出CE，即可得出答案．【解析】由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点．AB＝960米，∠BAC＝30°，∠EBC＝60°，∵∠BCA＝∠EBC﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠BCA．∴BC＝BA＝960〔米〕．在Rt△BEC中，sin∠EBC=CE∴CE＝BC•sin60°＝960×32=∴CF＝CE+EF＝〔4803+300应选：A．3．〔2021•龙岗区校级一模〕如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角α为30°，看这栋楼底部C处的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离AD为90米，那么这栋楼的高度BC为〔〕A．40033米B．903米C．1203米D．【分析】在直角三角形ADB中和直角三角形ACD中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长，此题得以解决．【解析】由题意可得，α＝30°，β＝60°，AD＝90米，∠ADC＝∠ADB＝90°，∴在Rt△ADB中，α＝30°，AD＝90米，∴tanα=BD∴BD＝303〔米〕，在Rt△ADC中，β＝60°，AD＝90米，∴tanβ=CD∴CD＝903〔米〕，∴BC＝BD+CD＝303+903=120即这栋楼的高度BC是1203米．应选：C．4．〔2021秋•雨花区校级月考〕如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测角仪测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A1处，测得点D的仰角为°．测角仪AB的高度为1米，那么楼房CD的高度为〔〕〔°＝1+2A．52+21B．53+21C．【分析】在Rt△BDE中，由于∠DBE＝45°，可得到BE＝DE，设DE＝x，表示出BE、B1E，再在Rt△B1DE中，由°＝1+2=DEB1【解析】如图，在Rt△BDE中，∵∠DBE＝45°，∴BE＝DE，设DE＝x，那么BE＝x，B1E＝x﹣20，在Rt△B1DE中，∵°＝1+2∴xx-20解得，x＝102+20∴CD＝CE+DE＝102+20+1＝102+应选：C．5．〔2021•章丘区模拟〕如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，那么树AB的高度是〔〕m．A．10B．15C．153D．153-【分析】先根据CD＝10m，DE＝5m得出∠DCE＝30°，故可得出∠DCB＝90°，再由∠BDF＝30°可知∠DBE＝60°，由DF∥AE可得出∠BGF＝∠BCA＝60°，故∠GBF＝30°，所以∠DBC＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解析】在Rt△CDE中，∵CD＝10m，DE＝5m，∴sin∠DCE=DE∴∠DCE＝30°．∵∠ACB＝60°，DF∥AE，∴∠BGF＝60°∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．∵∠BDF＝30°，∴∠DBF＝60°，∴∠DBC＝30°，∴BC=CDtan30°=10∴AB＝BC•sin60°＝103×32=应选：B．6．〔2021春•重庆月考〕清明假期，小明和小亮一起去爬山踏青，感受春的味道．小明和小亮分别选择了两条不同的路线登顶，如图，小明从A点出发水平直行到达了B点，然后沿坡度为i＝：1的斜坡BC走500米到达C点处，再从C点出发水平直行120米到达D点，最后从D点沿着坡度为i＝5：12的斜坡走520米登顶到达E点，而小亮选择了从A点直接沿着斜坡AE登顶E点，小亮在山顶E点测得山脚A点的俯角为22°，那么AB的长度约为〔〕〔参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈〕A．230米B．240米C．250米D．260米【分析】通过作垂线和平行线，构造直角三角形，利用坡度和直角三角形的边角关系可求出答案..【解析】如图，过C、E分别作CF⊥AB、EG⊥AB，垂足为F、G，延长CD交EG于点H，由斜坡BC的坡度i＝：1，即i＝3：4，BC＝500，设CF＝3x米，那么BF＝4x米，由勾股定理可得，CF2+BF2＝BC2，即〔3x〕2+〔4x〕2＝5002，解得，x＝100〔米〕，∴GF＝300〔米〕，BF＝400〔米〕，由斜坡DE的坡度i＝5：12，BC＝520米，设EH＝5y米，那么DH＝12y米，由勾股定理可得，EH2+DH2＝DE2，即〔5y〕2+〔12〕2＝5202，解得，y＝40〔米〕，∴EH＝5y＝200〔米〕，DH＝12y＝480〔米〕，∴EG＝EH+HG＝200+300＝500〔米〕，BG＝BF+CD+DH＝400+120+480＝1000〔米〕，在Rt△AEG中，∵tan22°=EGAG，即∴AB＝250〔米〕，应选：C．7．〔2021•温州〕如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为米，那么铁塔的高BC为〔〕A．〔1.5+150tanα〕米B．〔+150C．〔1.5+150sinα〕米D．〔+150【分析】过点A作AE⊥BC，E为垂足，再由锐角三角函数的定义求出BE的长，由BC＝CE+BE即可得出结论．【解析】过点A作AE⊥BC，E为垂足，如下图：那么四边形ADCE为矩形，AE＝150米，∴CE＝AD＝米，在△ABE中，∵tanα=BE∴BE＝150tanα，∴BC＝CE+BE＝〔1.5+150tanα〕〔米〕，应选：A．8．〔2021•邢台一模〕如图，点C从点B出发，沿射线BD方向运动，运动到点D后停止，那么在这个过程中，从A观测点C的俯角将〔〕A．增大B．减小C．先增大后减小D．先减小后增大【分析】根据俯角是向下看的视线与水平线的夹角解答即可．【解析】点C从点B出发，沿射线BD方向运动，运动到点D后停止，那么在这个过程中，从A观测点C的俯角将增大，应选：A．9．〔2021•市中区二模〕图1是济南动物园的一个大型娱乐设施﹣﹣摩天轮，它是一种大型转轮状的机械建筑设施，上面挂在轮边缘的是供乘客乘搭的座舱，乘客坐在摩天轮慢慢的往上转，可以从高处俯瞰泉城景色．图2是它的的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，AB是摩天轮垂直地面的直径，小嘉从摩天轮最低处B下来先沿水平方向向右行走20m到达C，再经过一段坡度〔或坡比〕为i＝，坡长为10m的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40m到达点E〔A、B、C、D、E均在同一平面内〕，在E处测得摩天轮顶端A的仰角为24°，那么AB的高度约为〔〕米．〔参考数据：sin24°≈，cos24°≈，tan24°≈〕A．B．C．D．【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=AM【解析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．如下图；在Rt△CDN中，CNDN设CN＝3k，DN＝4k，∵CD＝10m，∴〔3k〕2+〔4k〕2＝100，∴k＝2，∴CN＝6〔m〕，DN＝8〔m〕，∵四边形BMNC是矩形，∴BM＝CN＝6〔m〕，BC＝MN＝20〔m〕，EM＝MN+DN+DE＝20+8+40＝68〔m〕，在Rt△AEM中，tan24°=AM∴6+AB解得：AB＝〔m〕，应选：A．10．〔2021•广西〕小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，她的目高AB为米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，那么路灯顶端O到地面的距离约为〔sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin65°≈，cos65°≈，tan65°≈〕〔〕A．米B．米C．米D．米【分析】过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．【解析】过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∵tan65°=OF∴OF＝xtan65°，∴BF＝3+x，∵tan35°=OF∴OF＝〔3+x〕tan35°，∴x＝〔3+x〕，∴x＝，∴OF＝×＝，∴OE＝＝，应选：C．二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕请把答案直接填写在横线上11．〔2021•花都区一模〕如图，在热气球上的点C测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，点C到地面的高度CD为100米，点A，B，D在同一直线上，那么AB两点的距离是100〔3+1〕【分析】根据题意可得CD⊥AB，再根据特殊角三角函数即可求出AB两点的距离．【解析】根据题意可知：CD⊥AB，∴在Rt△BCD中，∠B＝45°，∴BD＝CD＝100，在Rt△ADC中，∠A＝30°，∴tan30°=CD即33解得AB＝100〔3+1答：AB两点的距离是100〔3+1故答案为：100〔3+112．〔2021•湖北〕如图，某活动小组利用无人机航拍校园，无人机的飞行速度为3m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10s．同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°，那么这架无人机的飞行高度大约是20m〔3≈【分析】过A点作AH⊥BC于H，过B点作BD垂直于过C点的水平线，垂足为D，如图，利用仰角定义得到∠ACD＝75°，∠BCH＝30°，利用速度公式计算出AB＝30m，先计算出AH＝15m，再利用正切的定义计算出BH＝153，由于∠ACH＝45°，那么CH＝AH＝15m，然后在Rt△BCD中利用∠BCD＝30°得到BD=15【解析】过A点作AH⊥BC于H，过B点作BD垂直于过C点的水平线，垂足为D，如图，根据题意得∠ACD＝75°，∠BCH＝30°，AB＝3×10＝30m，∵AB∥CD，∴∠ABH＝∠BCD＝30°，在Rt△ABH中，AH=12AB＝15∵tan∠ABH=AH∴BH=15tan30°∵∠ACH＝∠ACD﹣∠BCD＝75°﹣30°＝45°，∴CH＝AH＝15m，∴BC＝BH+CH＝〔153+15〕m在Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，∴BD=12BC=153答：这架无人机的飞行高度大约是20m．故答案为20．13．〔2021秋•普陀区期末〕如图，小明在教学楼AB的楼顶A测得：对面实验大楼CD的顶端C的仰角为α，底部D的俯角为β．如果教学楼AB的高度为m米，那么两栋教学楼的高度差CH为m⋅【分析】根据正切的定义分别求出DH、CH，结合图形计算即可．【解析】连接AD，过点A作AH⊥CD于点H，那么四边形ABDH是矩形，∴AB＝DH＝m米，在Rt△ADH中，∠DAH＝β，∴tanβ=DH∴AH=m在Rt△ACH中，∠CAH＝α，∴CH＝AH•tanα=mtanβ•tanα答：两栋教学楼的高度差CH为m⋅故答案为：m⋅14．〔2021•始兴县一模〕如图，为了测量塔CD的高度，小明在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，那么塔的高度是303m．〔小明的身高忽略不计，结果保存根号〕．【分析】从题意可知AB＝BD＝60m，至B处，测得仰角为60°，sin60°=CD【解析】∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，∴BD＝AB＝60m．∴DC＝BD•sin60°＝60×32=303答：该塔高为303m，故答案为：303．15．〔2021•历城区二模〕如图是某商场自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为6m，那么自动扶梯的垂直高度BD＝33m．〔结果保存根号〕【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到BC＝AC＝6m，根据三角函数的定义即可得到结论．【解析】∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴BC＝AC＝6m，在Rt△BDC中，∵BD＝BC•sin∠BCD＝6×32=33故答案为：33．16．〔2021•松江区二模〕如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔塔尖点P的仰角为60°，沿山坡向上走200米到达B处，在B处测得点P的仰角为15°．山坡AB的坡度i＝1：3，且H、A、B、P在同一平面内，那么电视塔的高度PH为1003米．〔结果保存根号形式〕【分析】过B作BM⊥HA于M，过B作BN∥AM，由题意得：AB＝200米，∠PBN＝15°，∠PAH＝60°，由坡度的定义求出∠BAM＝30°，再证△PAB是等腰直角三角形，得PA＝AB＝200米，然后在Rt△PAH中，sin∠PAH=PHPA=sin60【解析】过B作BM⊥HA于M，过B作BN∥AM，如下图：那么∠AMB＝90°，∠ABN＝∠BAM，由题意得：AB＝200米，∠PBN＝15°，∠PAH＝60°，∵山坡AB的坡度i＝1：3，∴tan∠BAM＝1：3=∴∠BAM＝30°，∴∠ABN＝30°，∴∠PAB＝180°﹣∠PAH﹣∠BAM＝90°，∠ABP＝∠ABN+∠PBN＝45°，∴△PAB是等腰直角三角形，∴PA＝AB＝200米，在Rt△PAH中，sin∠PAH=PHPA=sin60∴PH=32PA＝100故答案为：1003．17．〔2021春•新泰市期中〕如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来，在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．那么标识牌CD的高度是〔15﹣53〕米．【分析】过点B作BH⊥AE于点H，BF⊥CE于点F，根据题意可得∠BAH＝30°，BH＝5，AH＝53，四边形BHEF是矩形，再根据三角函数即可求得标识牌CD的高度．【解析】如图，过点B作BH⊥AE于点H，BF⊥CE于点F，根据题意可知：∠BAH＝30°，AB＝AE＝10，∴BH＝5，AH＝53，∵CE⊥AE，∴四边形BHEF是矩形，∴EF＝BH＝5，BF＝HE＝AH+AE＝53+10∵∠DAE＝60°，∴DE＝AE•tan60°＝103，∴DF＝DE﹣EF＝103-5∵∠CBF＝45°，∴CF＝BF＝53+10∴CD＝CF﹣DF＝53+10﹣〔103-5〕＝15﹣5所以标识牌CD的高度是〔15﹣53〕米．故答案为：〔15﹣53〕．18．〔2021•太和县模拟〕如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为〔50﹣103〕米〔结果保存根号〕．【分析】过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，可得四边形ECBG，HBDF是矩形，在Rt△AEG中，根据三角函数求得EG，在Rt△AHP中，根据三角函数求得AH，再根据线段的和差关系即可求解．【解析】过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，那么四边形ECBG，HBDF是矩形，∴EC＝GB＝20，HB＝FD，∵B为CD的中点，∴EG＝CB＝BD＝HF，由得：∠EAG＝90°﹣60°＝30°，∠AFH＝45°．在Rt△AEG中，AG＝AB﹣GB＝50﹣20＝30米，∴EG＝AG•tan30°＝30×33=在Rt△AHP中，AH＝HF•tan45°＝103米，∴FD＝HB＝AB﹣AH＝50﹣103〔米〕．答：2号楼的高度为〔50﹣103〕米．故答案为：〔50﹣103〕．三、解答题〔本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．〔2021•宣城模拟〕如图，小亮在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为60°，此时他距地面的高度AE为21米，电梯再上升9米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为45°，求大楼BC的高度．〔结果保存根号〕【分析】过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．求出EG和DH的长，在Rt△BDH中，求出BH，那么可得出答案【解析】过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．由得，∠BDH＝45°，∠CEG＝60°，AE＝21米，DE＝9米．在Rt△CEG中，CG＝AE＝21米，tan∠CEG=CG∴EG=CGtan60°∴DH＝EG＝73米．在Rt△BDH中，∵∠BDH＝45°，∴BH＝DH＝73米．∴BC＝CG+HG+BH＝CG+DE+BH＝21+9+73=〔30+73答：大楼BC的高度是〔30+73〕米．20．〔2021•河南模拟〕某建筑工地的平衡力矩塔吊如下图，在配重点E处测得塔帽A的仰角为30°，在点E的正下方23米处的点D处测得塔帽A的仰角为53°，请你依据相关数据计算塔帽与地面的距离AC的高度．〔计算结果精确到米，参考数据：3≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°=【分析】连接DE，先证四边形BCDE是矩形，得BE＝CD，BC＝DE＝23米，再由含30°角的直角三角形的性质得BE=3AB，然后求出AC=43CD，设AB＝x米，那么CD＝BE=3x米，AC=433x米，由BC＝AC【解析】连接DE，如下图：由题意得：DE⊥CD，BE⊥AC，DC⊥AC，DE＝23米，∴∠ABE＝∠CBE＝∠C＝∠CDE＝90°，∴四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD，BC＝DE＝23米，∵∠AEB＝30°，∴BE=3AB在Rt△ACD中，tan∠ADC=ACCD=tan53∴AC=43设AB＝x米，那么CD＝BE=3x米，AC=4∵BC＝AC﹣AB＝23，∴433x﹣x＝解得：x≈，∴AC＝AB+BC≈17.6+23≈〔米〕，答：塔帽与地面的距离AC的高度约为米．21．〔2021•安徽模拟〕如图，在高度为400米的热气球P上测得地面一点B的俯角∠DPB＝45°，测得山顶A的仰角∠APE＝25°，BC＝600米，求山高AC〔参考数据：sin25°≈，cos25°≈，tan25°≈〕．【分析】过点P作PF⊥BC于F，那么四边形CEPF为矩形，易证△BPF是等腰直角三角形，求出BF、PE，在Rt△APE中，再由三角函数定义求出AE，即可得出结果．【解析】过点P作PF⊥BC于F，如下图：那么四边形CEPF为矩形，∴CE＝PF＝400米，CF＝PE，∠EPF＝∠DPF＝90°，∴∠BPF＝90°﹣∠DPB＝90°﹣45°＝45°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝PF＝400米，∴CF＝BC﹣BF＝600﹣400＝200〔米〕，∴PE＝200米，在Rt△APE中，tan∠APE=AE∴AE＝PE•tan25°≈200×＝94〔米〕，∴AC＝AE+CE＝94+400＝494〔米〕，答：山高AC约为494米．22．〔2021•江西模拟〕，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：〔1〕坡顶A到地面PO的距离；〔2〕古塔BC的高度〔结果精确到1米〕．〔参考数据：sin76°≈，cos76°≈，tan76°≈〕【分析】〔1〕先过点A作AH⊥PO，根据斜坡AP的坡度为1：，得出AHPH=512，设AH＝5k，那么PH＝12k，AP＝13〔2〕先延长BC交PO于点D，根据BC⊥AC，AC∥PO，得出BD⊥PO，四边形AHDC是矩形，再根据∠BPD＝45°，得出PD＝BD，然后设BC＝x，得出AC＝DH＝x﹣14，最后根据在Rt△ABC中，tan76°=BCAC，列出方程，求出【解析】〔1〕过点A作AH⊥PO，垂足为点H，∵斜坡AP的坡度为1：，∴AHPH设AH＝5k，那么PH＝12k，由勾股定理，得AP＝13k，∴13k＝26，解得k＝2，∴AH＝10，答：坡顶A到地面PO的距离为10米．〔2〕延长BC交PO于点D，∵BC⊥AC，AC∥PO，∴BD⊥PO，∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH，∵∠BPD＝45°，∴PD＝BD，设BC＝x，那么x+10＝24+DH，∴AC＝DH＝x﹣14，在Rt△ABC中，tan76°=BCAC，即解得x≈19．答：古塔BC的高度约为19米．23．〔2021秋•成华区期末〕在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的一、二号楼进行测高实践．如图为实践时绘制的截面图，无人机从地面CD的中点B垂直起飞到达点A处，测得一号楼顶部E的俯角为55°，测得二号楼顶部F的俯角为37°，此时航拍无人机的高度为60米，一号楼的高CE为20米，求二号楼的高DF．〔结果精确到1