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第五讲复变函数的积分（一）1.复变函数积分概念2.解析函数的积分3.柯西公式§2.1复变函数积分1.复平面上的有向光滑曲线（1）复平面上曲线的参数方程表示或例1.复平面上的直线可表示为：或例2.复平面上单位圆可表示为：或注（2）复平面上的连续、光滑曲线例如：直线L:圆C:折线段C=AHB:CA(起点)B(终点)C（3）复平面上的有向光滑曲线（i）复平面上的有向曲线：（ii）复平面上的有向曲线的正向：C=C1+C2C1C2注：注（4）复平面上的有向曲线的参数方程表示定义DBxyo2.复变函数的积分

3.复变函数积分的计算方法命题1注：注：复变函数积分的计算公式)(òòò++-=LLLudyvdxivdyudxdzzf则4.复变函数积分的性质证明：见P51-52.例1答案：Aoxy5.举例答案例2例3提示oxyrCîíì¹==-=-òò=-++0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznLnp

答案注1注2例如：1.区域的连通阶数（1）有界区域D例如：§2.2解析函数的积分（有界区域）（有界区域）（无界区域）（2）围线（3）单连通区域（4）区域的连通阶数注：有界单连通区域的连通阶数为一.连通阶数大于一的有界区域是多连通区域.2.单连通区域上的柯西定理设f(z)在单连通区域D内解析，则对任意两点z0,z1∈D,积分∫Lf(z)dz不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线，即积分与路径无关。证明：因为f(z)在单连通区域D内解析，所以由高阶导数定理知，f(z)有二阶导数，从而f(z)有一阶连续导数。证毕柯西定理的另一种形式：证明：由图可见，有向曲线C1与C2-构成单连通区域D内的围线C，则证毕.注1容易证明，柯西定理的这两种形式是等价的.注2：在研究解析函数解析之初，人们将区域D上的解析函数f(z)定义为f(z)在D内可导，且导函数连续。注3注4注5由于单连通区域D上的复变函数f(z)沿起点为A,终点为B的曲线L的积分与L的形状无关，故简记为注63.多连通区域上的柯西定理证明：（见P55）推论：例4-28答案3§2.3Cauchy公式利用Cauchy定理，在多连通域上导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的1.单连通区域上的柯西公式定理方法.证明：（柯西公式）证毕.2.多连通区域上的柯西公式定理2证明：适当添加辅助线，使多连通区域分割成单连通区域，然后运用单连通区域上的柯西公式即可。（详见P59）解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.推论：

例53.举例解例6解例7解例8解CC1C21xyo4.小结：)(òòò++-=LLLudyvdxivdyudxdzzf则单连通

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