高考数学二轮专题复习与策略 第2部分 必考补充专题 突破点19 集合与常用逻辑用语教师用书 理-人教版高三数学试题

突破点19集合与常用逻辑用语提炼1集合的概念、关系及运算(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)空集是任何集合的子集．(4)含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．(5)重要结论：A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.提炼2充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(p⇒q，qD⇒/p)ABp是q的必要不充分条件(q⇒p，pD⇒/q)BAp是q的充要条件(p⇔q)A＝Bp是q的既不充分也不必要条件(pD⇒/q，qD⇒/p)A与B互不包含提炼3简单的逻辑联结词(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q).提炼4全(特)称命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)．它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．专题限时集训(十九)集合与常用逻辑用语[A组高考题、模拟题重组练]一、集合1．(2016·全国乙卷)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))D[∵x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3，∴A＝{x|1＜x＜3}．∵2x－3＞0，∴x＞eq\f(3,2)，∴B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞\f(3,2))))).∴A∩B＝{x|1＜x＜3}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞\f(3,2)))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＜x＜3)))).故选D.]2．(2016·全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝()A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}C[B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}，又A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．]3．(2016·山东高考)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)C[由已知得A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，则A∪B＝{x|x>－1}．故选C.]4．(2016·浙江高考)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝()A．[2,3] B．(－2,3]C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)B[∵Q＝{x∈R|x2≥4}，∴∁RQ＝{x∈R|x2<4}＝{x|－2<x<2}．∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，∴P∪(∁RQ)＝{x|－2<x≤3}＝(－2,3]．]5．(2012·全国卷)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则()A．AB B．BAC．A＝B D．A∩B＝∅B[∵A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<1}，∴BA.]6．(2016·威海二模)已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，定义A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝()A．(－1,2) B．[2,3)C．(2,3) D．(－1,2]B[A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x＜2}，由题意知A－B＝{x|2≤x＜3}，故选B.]二、命题及其关系、充分条件与必要条件7．(2016·泰安一模)以下说法错误的是()【导学号：67722074】A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B．“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件C．若命题p：存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)－x0＋1＜0，则綈p：对任意x∈R，都有x2－x＋1≥0D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D[“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”，A项正确；由x2－3x＋2＝0，解得x＝1或2，因此“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，B项正确；命题p：存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)－x0＋1＜0，则綈p：对任意x∈R，都有x2－x＋1≥0，C项正确；由p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，因此D项不正确．故选D.]8．(2016·天津高考)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件C[当x＝1，y＝－2时，x＞y，但x＞|y|不成立；若x＞|y|，因为|y|≥y，所以x＞y.所以x＞y是x＞|y|的必要而不充分条件．]9．(2016·四川高考)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥x－1，,y≥1－x，,y≤1，))则p是q的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[p表示以点(1,1)为圆心，eq\r(2)为半径的圆面(含边界)，如图所示．q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p是q的必要不充分条件．故选A.]10．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.]11．(2016·黄冈二模)设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是()A．－1＜x≤1 B．x≤1C．x＞－1 D．－1＜x＜1D[由x∈A且x∉B知x∈A∩(∁RB)，又∁RB＝{x|x＜1}，则A∩(∁RB)＝{x|－1＜x＜1}．]三、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词12．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则綈p为()A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2nC[因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.]13．(2013·全国卷Ⅰ)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．綈p∧qC．p∧綈q D．綈p∧綈qB[当x＝0时，有2x＝3x，不满足2x＜3x，∴p：∀x∈R,2x＜3x是假命题．如图，函数y＝x3与y＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解，∴q：∃x∈R，x3＝1－x2是真命题．∴p∧q为假命题，排除A.∴綈p为真命题，∴綈p∧q是真命题，选B.]14．(2016·潍坊二模)下列命题中假命题的是()A．∃x0∈R，lnx0＜0B．∀x∈(－∞，0)，ex＞x＋1C．∀x＞0,5x＞3xD．∃x0∈(0，＋∞)，x0＜sinx0D[对于A，比如x0＝eq\f(1,e)时，lneq\f(1,e)＝－1，是真命题；对于B，令f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝ex－1＜0，f(x)递减，所以f(x)＞f(0)＝0，是真命题；对于C，函数y＝ax当a＞1时是增函数，是真命题，对于D，令g(x)＝x－sinx，g′(x)＝1－cosx≥0，g(x)递增，所以g(x)＞g(0)＝0，是假命题．故选D.]15．(2016·青岛一模)已知命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为()A．m≥2 B．m≤－2或m＞－1C．m≤－2或m≥2 D．－1＜m≤2B[由命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0可得m≤－1，由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立，可得－2＜m＜2，若命题p，q均为真命题，则此时－2＜m≤－1.因为p∧q为假命题，所以命题p，q中至少有一个为假命题，所以m≤－2或m＞－1.]16．(2014·全国卷Ⅰ)不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－2y≤4))的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中真命题是()A．p2，p3 B．p1，p4C．p1，p2 D．p1，p3C[作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－2y＝4，))得交点A(2，－1)．目标函数的斜率k＝－eq\f(1,2)>－1，观察直线x＋y＝1与直线x＋2y＝0的倾斜程度，可知u＝x＋2y过点A时取得最小值0.y＝－eq\f(x,2)＋eq\f(u,2)，eq\f(u,2)表示纵截距结合题意知p1，p2正确．][B组“10＋5”模拟题提速练一、选择题1．(2016·济南模拟)已知集合M＝{x|x2－2x－8≤0}，集合N＝{x|lgx≥0}，则M∩N＝()A．{x|－2≤x≤4} B．{x|x≥1}C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥－2}C[M＝{x|－2≤x≤4}，N＝{x|x≥1}，则M∩N＝{x|1≤x≤4}．]2．(2016·菏泽一模)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x∈Z||x|≤1}，则A∩(∁ZB)＝()A．∅ B．4C．{3,4} D．{2,3,4}D[因为集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x∈Z||x|≤1}＝{－1,0,1}，所以A∩(∁ZB)＝{2,3,4}．]3．(2016·江南十校一模)已知集合P＝{x|－1＜x＜b，b∈N}，Q＝{x|x2－3x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则b的最小值等于()A．0 B．1C．2 D．3C[集合P＝{x|－1＜x＜b，b∈N}，Q＝{x|x2－3x＜0，x∈Z}＝{1,2}，P∩Q≠∅，可得b的最小值为2.]4．(2016·武汉一模)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，集合B＝{x|x2－cx＜0，c＞0}，若A⊆B，则c的取值范围为()A．(0,1] B．(0,1)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)C[由题意将两个集合化简得：A＝(0,1)，B＝(0，c)，因为A⊆B，所以c≥1.]5．(2016·贵州七校联考)以下四个命题中，真命题的个数是()①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a，b，使得lg(a＋b)＝lga＋lgb；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；④在△ABC中，A<B是sinA<sinB的充分不必要条件．A．0 B．1C．2 D．3C[对于①，原命题的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，而a＝2，b＝－2满足a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故①是假命题；对于②，根据对数的运算性质，知当a＝b＝2时，lg(a＋b)＝lga＋lgb，故②是真命题；对于③，易知“所有奇数都是素数”的否定就是“至少有一个奇数不是素数”，③是真命题；对于④，根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知A<B⇔a<b(a，b为角A，B所对的边)⇔2RsinA<2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)⇔sinA<sinB，故A<B是sinA<sinB的充要条件，故④是假命题．选C.]6．(2016·郑州一模)已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的()【导学号：67722075】A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[命题甲能推出命题乙，是充分条件，命题乙：直线EF和GH不相交，可能平行，命题乙推不出命题甲，不是必要条件．]7．(2016·临沂一模)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x≥－1))))，B＝{y|y＝ex＋1，x≤0}，则下列结论正确的是()A．A＝B B．A∪B＝RC．A∩(∁RB)＝∅ D．B∩(∁RA)＝∅D[A＝{y|0＜y≤2}，B＝{y|1＜y≤2}，则∁RA＝{y|y≤0或y＞2}，从而B∩(∁RA)＝∅.]8．(2016·青岛一模)已知a∈R，则“a＜1”是“|x－2|＋|x|＞a恒成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[因为|x－2|＋|x|≥|(x－2)－x|＝2，所以a＜1时，|x－2|＋|x|＞a恒成立，反之若|x－2|＋|x|＞a恒成立，则a＜1不一定成立，故选A.]9．(2016·威海二模)命题p：若2x≥2y，则lgx≥lgy；命题q：若随机变量N(3，σ2)，P(ξ≤6)＝0.72，则P(ξ≤0)＝0.28.下列命题为真命题的是()A．p∧q B．綈p∧qC．p∨綈q D．綈p∧綈qB[对于命题p，当x＜0，y＜0时，lgx，lgy没有意义，故命题p是假命题，对于命题q：由P(ξ≤3)＝eq\f(1,2)，P(0＜ξ≤3)＝P(3＜ξ≤6)＝0.72－0.5＝0.22，得P(ξ≤0)＝0.5－0.22＝0.28，故命题q是真命题．综上知綈p∧q为真命题，故选B.]10．(2016·商丘二模)命题p：函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝eq\f(1,3x＋1)的值域为(0,1)．下列命题是真命题的为()A．p∧q B．p∨qC．p∧(綈q) D．綈qB[令t＝x2－2x，则函数y＝log2(x2－2x)化为y＝log2t，由x2－2x＞0，得x＜0或x＞2，所以函数y＝log2(x2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)．函数t＝x2－2x的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x＝1，所以函数t＝x2－2x在定义域内的增区间为(2，＋∞)．又因为函数y＝log2t是增函数，所以复合函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是(2，＋∞)．所以命题p为假命题；由3x＞0，得3x＋1＞1，所以0＜eq\f(1,3x＋1)＜1，所以函数y＝eq\f(1,3x＋1)的值域为(0,1)，故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题，故选B.]二、填空题11．(2016·厦门二模)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．4[A＝{x|(x－1)(x－2)＝0，x∈R}＝{1,2}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}＝{1,2,3,4}．因为A⊆C⊆B，所以C可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．]12．(2016·泉州二