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文档简介
2022年湖北省随州市中考数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题给出的四个选项中,只有
一个是正确的)
1.2022的倒数是()
1
A.2022B.-2022C.—D.
20222022
2.如图,直线《/%,直线/与乙,4相交,若图中4=60。,则/2为()
40。C.50°D.60°
3.小明同学连续5次测验的成绩分别为:97,97,99,101,106(单位:分),则这组数据
的众数和平均数分别为()
A.97和99B.97和100C.99和100D.97和101
4.如图是一个放在水平桌面上的半球体,该几何体的三视图中完全相同的是()
A.主视图和左视图B.主视图和俯视图
C.左视图和俯视图D.三个视图均相同
5.我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载:“良马日行二百四十里,鸳马日行一百五十
里.鸳马先行一十二日,问良马儿何追及之.”意思是:“跑得快的马每天走240里,跑得慢
的马每天走150里,慢马先走12天,快马几天可以追上慢马?”若设快马x天可以追上慢
马,则可列方程为()
A.150(12+x)=240xB.240(12+x)=150A-
C.150(x-12)=240xD.240(x-12)=150x
6.2022年6月5日10时44分07秒,神舟14号飞船成功发射,将陈冬、刘洋、蔡旭哲三
位宇航员送入了中国空间站.已知中国空间站绕地球运行的速度约为7.7x10,机/s,则中国
空间站绕地球运行2x10's走过的路程(附用科学记数法可表示为()
A.15.4x10sB.1.54xl06C.15.4xlO6D.1.54xl07
7.己知张强家、体育场、文具店在同一直线上,下面的图象反映的过程是:张强从家跑步
去体育场,在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后散步走回家.图中x表示时间,
y表示张强离家的距离,则下列结论不正确的是()
Ay/km
2.5-
1.5
/min
A.张强从家到体育场用了15相加
B.体育场离文具店1.5也?
C.张强在文具店停留了206山
D.张强从文具店回家用了7>5min
8.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,如图,在正方形纸板ABCZ)中,BD为对角线,
E,尸分别为3C,CD的中点,APLEF分别交BD,EF于O,P两点,M,N分别为
BO,的中点,连接MP,NF,沿图中实线剪开即可得到一副七巧板.则在剪开之前,
关于该图形,下列说法正确的有()
①图中的三角形都是等腰直角三角形;
②四边形"〜是菱形;
③四边形的面积占正方形ABCZ)面积的1.
9.如图,已知点3,D,C在同一直线的水平地面上,在点C处测得建筑物AB的顶端A
的仰角为a,在点。处测得建筑物45的顶端A的仰角为尸,若CD=a,则建筑物AB的
高度为()
tana-tanptan夕一tana
Catanatan0D〃tanatan0
tantz-tan/?tan/?-tana
10.如图,已知开口向下的抛物线y=ax2+〃x+c与X轴交于点(-1,0),对称轴为直线
x=l.则下列结论正确的有()
@abc>0:②2a+b=0;③函数y=五+6x+c的最大值为-4a;
④若关于x的方程ar2+法+c=a+i无实数根,则一上”。.
二、填空题(本大题共有6小题,每小题3分,共18分,只需要将结果直接填写在答题卡
对应题号处的横线上)
11.计算:3x(-l)+|-3|=
12.如图,点A,B,。在OO上,若NABC=60。,则N4OC的度数为
;;:;:;'则x—y的值为——•
14.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+l与x轴,y轴分别交于点A,B,与反比例
函数y=4的图象在第一象限交于点C,若他=3C,则4的值为
X
15.已知为正整数,若"89,篦是整数,则根据89”?=,3x3X3x7〃?=3^3x1m可知m有
/300
最小值3x7=21.设〃为正整数,若是大于1的整数,则〃的最小值为最大
值为.
16.如图1,在矩形ABC。中,AB=8,AD=6,E,尸分别为AB,AD的中点,连接EF.如
图2,将AA砂绕点A逆时针旋转角。(0。<6><90。),使£F_LA。,连接班:并延长交W于
三、解答题(本大超共8小题,共72分,解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过
程)
17.(6分)解分式方程:
xx+3
18.(7分)已知关于x的一元二次方程/+(24+1)*+公+1=0有两个不等实数根演,马.
(1)求k的取值范围;
(2)若占/=5,求上的值.
19.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,点E,尸分别在边AB,C£>上,且四边形尸
为正方形.
(1)求证:AE=CF;
(2)已知平行四边形ABCD的面积为20,AB=5,求CF的长.
20.(10分)为落实国家“双减”政策,立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体
育社团、文学社团、美术社团”活动.该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你
最喜欢哪一种社团活动(每人必选且只选一种)”的问卷调查,根据调查结果,绘制了如图
所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息,解答下列问题:
(1)参加问卷调查的学生共有—人;
(2)条形统计图中m的值为—,扇形统计图中a的度数为一;
(3)根据调查结果,可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有一人;
(4)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比
赛,请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率.
调杳结果的条形统il•图
A:音乐社团
A人数(人)
B:体育社团
C:文学社团
D:美术社团
21.(9分)如图,已知。为上一点,点C在直径84的延长线上,BE与OO相切,交
C£)的延长线于点£,且BE=DE.
(1)判断8与0。的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=4,sinC=->
3
①求OO的半径;
②求比»的长.
22.(10分)2022年的冬奥会在北京举行,其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱,多
地出现了“一墩难求”的场面.某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快
就被抢购一空,该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买,并且从第二
天起,每天比前一天多供应,”个(加为正整数).经过连续15天的销售统计,得到第x天
(掇Ik15,且x为正整数)的供应量%(单位:个)和需求量丫2(单位:个)的部分数据如
下表,其中需求量为与x满足某二次函数关系.(假设当天预约的顾客第二天都会购买,当
天的需求量不包括前一天的预约数)
第X天12•••611•••15
供应量150150+加…150+5m150+10m…150+14m
%(个)
需求量220229...245...220...164
丫2(个)
(1)直接写出弘与x和%与x的函数关系式:(不要求写出x的取值范围)
(2)已知从第10天开始,有需求的顾客都不需要预约就能购买到(即前9天的总需求量超
过总供应量,前10天的总需求量不超过总供应量),求机的值;(参考数据:前9天的总需
求量为2136个)
(3)在第(2)问加取最小值的条件下,若每个“冰墩墩”售价为100元,求第4天与第
12天的销售额.
23.(10分)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作,是数学发展史的一个
里程碑.在该书的第2卷“几何与代数”部分,记载了很多利用几何图形来论证的代数结论,
利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.
(1)我们在学习许多代数公式时,可以用几何图形来推理,观察下列图形,找出可以推出
的代数公式,(下面各图形均满足推导各公式的条件,只需填写对应公式的序号)
公式②:(a+b)(c+d)=ac+ad+he+bd
公式③:(a-by=a2-2ab+b'
公式④:(a+b)2=a2+2ab+b2
图1对应公式,图2对应公式,图3对应公式,图4对应公式.
(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式(。+加("与=病-/的方法,
如图5,请写出证明过程;(己知图中各四边形均为矩形)
(3)如图6,在等腰直角三角形ABC中,ZBAC=90°,£>为的中点,E为边AC上任
意一点(不与端点重合),过点E作EGJ_BC于点G,作四,AD于点H,过点5作
3F//AC交EG的延长线于点记ABFG与ACEG的面积之和为5,与的
面积之和为S2.
q
①若E为边AC的中点,则之■的值为;
$2一
②若E不为边AC的中点时,试问①中的结论是否仍成立?若成立,写出证明过程;若不成
立,请说明理由.
(图5)(图6)
24.(12分)如图1,平面直角坐标系xOy中,抛物线y="2+fer+c(Q<0)与x轴分别交于
点A和点3(1,0),与y轴交于点C,对称轴为直线%=7,且Q4=OC,P为抛物线上一动
点.
,(1)直接写出抛物线的解析式;
(2)如图2,连接AC,当点P在直线AC上方时,求四边形PABC面积的最大值,并求出
此时P点的坐标;
(3)设M为抛物线对称轴上一动点,当P,〃运动时,在坐标轴上是否存在点N,使四
边形PMCN为矩形?若存在,直接写出点P及其对应点N的坐标;若不存在,请说明理由.
(图1)(图2)(备用图)
2022年湖北省随州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题给出的四个选项中,只有
一个是正确的)
1.2022的倒数是()
A.2022B.-2022C.」一D.———
20222022
【分析】根据倒数的定义即可得出答案.
【解答】解:2022的倒数是」一.
2022
故选:C.
2.如图,直线(/4,直线/与小/,相交,若图中Nl=60。,则/2为()
【分析】根据两直线平行,内错角相等,便可求得结果.
【解答】解:3/4,
r.Zl=N2,
-.-Zl=60°,
N2=60°,
故选:D.
3.小明同学连续5次测验的成绩分别为:97,97,99,101,106(单位:分),则这组数据
的众数和平均数分别为()
A.97和99B.97和100C.99和100D.97和101
【分析】观察这组数据发现97出现的次数最多,进而得到这组数据的众数为97,将五个数
据相加求出之和,再除以5即可求出这组数据的平均数.
【解答】解:•.•这组数据中,97出现了2次,次数最多,
这组数据的众数为97,
这组数据的平均数±=g(97+97+99+101+106)=100.
故选:B.
4.如图是一个放在水平桌面上的半球体,该几何体的三视图中完全相同的是()
A.主视图和左视图B.主视图和俯视图
C.左视图和俯视图D.三个视图均相同
【分析】根据三视图的定义判断即可.
【解答】解:该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图,均为半圆;俯视图是一个
圆.
故选:A.
5.我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载:“良马日行二百四十里,鸳马日行一百五十
里.野马先行一十二日,问良马几何追及之.”意思是:“跑得快的马每天走240里,跑得慢
的马每天走150里,慢马先走12天,快马几天可以追上慢马?”若设快马x天可以追上慢
马,则可列方程为()
A.150(12+%)=240%B.240(12+%)=150%
C.150(x-12)=240xD.240(x-12)=150x
【分析】设快马x天可以追上慢马,根据路程=速度x时间,即可得出关于x的一元一次方
程,此题得解.
【解答】解:设快马x天可以追上慢马,
依题意,得:150(x+12)=240x.
故选:A.
6.2022年6月5日10时44分07秒,神舟14号飞船成功发射,将陈冬、刘洋、蔡旭哲三
位宇航员送入了中国空间站.已知中国空间站绕地球运行的速度约为7.7x10,〃$,则中国
空间站绕地球运行2x10、走过的路程(㈤用科学记数法可表示为()
A.15.4x10sB.1.54xl06C.15.4x10"D.1.54xl07
【分析】根据路程=速度x时间列出代数式,根据单项式乘单项式的法则计算,最后结果写
成科学记数法的形式即可.
【解答】解:7.7X103X2X102
=(7.7X2)X(103X102)
-15.4x10s
=1.54xl06(米),
故选:B.
7.已知张强家、体育场、文具店在同一直线上,下面的图象反映的过程是:张强从家跑步
去体育场,在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后散步走回家.图中x表示时间,
y表示张强离家的距离,则下列结论不正确的是()
率y/km
O153045651001/min
A.张强从家到体育场用了\5min
B.体育场离文具店1.5如?
C.张强在文具店停留/20min
D.张强从文具店回家用了35min
【分析】由函数图象分别得出选项的结论然后作出判断即可.
【解答】解:由图象知,
4、张强从家到体育场用了15加",故A选项不符合题意;
B、体育场离文具店2.5-1.5=1(切?),故8选项符合题意;
C、张强在文具店停留了65-45=20(m加),故C选项不符合题意;
张强从文具店回家用了100-65=35(加〃),故。选项不符合题意;
故选:B.
8.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,如图,在正方形纸板ABC。中,BD为对角线,
E,尸分别为3C,8的中点,"JLEF分别交BD,EF于O,P两点,M,N分别为
BO,。。的中点,连接MP,NF,沿图中实线剪开即可得到一副七巧板.则在剪开之前,
关于该图形,下列说法正确的有()
①图中的三角形都是等腰直角三角形;
②四边形MPEB是菱形;
③四边形/¥90的面积占正方形面积的1.
4
B.①②C.①③D.②③
【分析】①利用正方形的性质和中位线的性质可以解决问题;
②利用①的结论可以证明二用P解决问题;
&如图,过M作MGJ.3C于G,设钻=3C=x,利用正方形的性质与中位线的性质分别
求出BE和MG即可判定是否正确.
【解答】解:①如图,尸分别为BC,CD的中点,
,所为的中位线,
.-.EF//BD,
■:APVEF,
s.APLBD,
•.•四边形A8CD为正方形,
.♦.A、。、P、C在同一条直线上,
AABC,AACD>MBD、ABC。、NOAB、\OAD.AOBC、NOCD、AEFC都是等腰
直角三角形,
■:M,N分别为BO,OO的中点,
.-.MP//BC,NFIIOC,
:3NF、AOMP也是等腰直角三角形.
故①正确;
②根据①得0M=8M=变PM,.^.3MwPM
2
四边形MPEB不可能是菱形.故②错误;
③F分别为BC,8的中点,
:.EF//BD,EF=-BD,
2
•.•四边形A8CO是正方形,且设A8=8C=x,
BD=\[lx,
.APVEF,
s.APYBD,
:.BO=OD,
.,.点P在AC上,
:.PE=-EF,
2
:.PE=BM,
四边形胡"石是平行四边形,
BO=-BD,
2
为80的中点,
:.BM=-BD=—x,
44
•.•E为BC的中点,
:.BE=-BC=-x,
22
过M作MG_L3C于G,
J21
:.MG=—BM=-x,
24
四边形BMPE的面积=BEMG=-x2,
8
四边形PFDM的面积占正方形面积的1.
8
,:E、尸是BC,CD的中点,
S&CEF=WS^CBD=gS四边形ABC。,
二.四边形PHW的面积占正方形438面积的(1.
故③正确.
故选:C.
9.如图,已知点5,D,C在同一直线的水平地面上,在点C处测得建筑物的顶端A
的仰角为a,在点。处测得建筑物AB的顶端A的仰角为夕,若CD=a,则建筑物A3的
高度为()
tana-tan/tan/?-tana
Catanatanpatanatan0
tana-imptan/?一tana
八AB
【分析】设AB=x,在RtAABD中,tanp=----=上,可得BD二1-则
BDBDtan/3
YABx
BC=BD+CD=a+------,在RtAABC中,tana=----=,求解x即可.
X
tan/3BCa+------
tanf}
【解答】解:设Afi=x,
ARx
在RtAABD中,tan/7=——=—,
BDBD
x
BD=
tanB
x
BC=BD+CD=a+
tan/?'
AHx
在RtAABC中,tana=——
x
BCa+----
tanp
解得x=atanatan/
tan/?-tana
故选:
10.如图,已知开口向下的抛物线y=ax2+〃x+c与X轴交于点(-1,0),对称轴为直线
x=l.则下列结论正确的有()
①abc>0;
②2a+A=0;
③函数+c的最大值为Ta;
④若关于x的方程ar?+6x+c=a+l无实数根,则」<a<0.
【分析】①错误.根据抛物线的位置一一判断即可;
②正确.利用抛物线的对称轴公式求解;
③正确.设抛物线的解析式为y=a(x+l)(x-3),当x=l时,y的值最大,最大值为Ta;
④正确.把问题转化为一元二次方程,利用判别式<0,解不等式即可.
【解答】解:•.•抛物线开口向下,
・・•抛物线交y轴于正半轴,
.•.c>0,
/.Z>>0,
:.abc<0,故①错误.
・・•抛物线的对称轴是直线x=l,
-2=1,
2a
...2a+Z;=0,故②正确.
・・•抛物线交x轴于点(-1,0),(3,0),
••・可以假设抛物线的解析式为y=a(x+l)3),
当x=l时,y的值最大,最大值为-4a,故③正确.
•・•ax2+bx+c=a+\无实数根,
a(x+l)(x-3)=a+1无实数根,
ax2-2ax-4a-l=0,△<0,
/.4«2-4tz(-4a-l)<0,
a(5a+l)<0,
:.--<a<0故④正确,
5
故选:c.
二、填空题(本大题共有6小题,每小题3分,共18分,只需要将结果直接填写在答题卡
对应题号处的横线上)
11.计算:3x(-l)+|-3l=0.
【分析】根据有理数的乘法和加法运算法则计算即可.
【解答】解:3x(-l)+|-3|=-3+3=0.
故答案为:0.
12.如图,点A,B,C在OO上,若48C=60。,则NAOC的度数为_120。
【分析】根据圆周角定理解答即可.
【解答】解:由圆周角定理得:ZAOC=2ZABC,
vZABC=60°,
/.ZAOC=120°,
故答案为:120°.
13.已知二元一次方程组则x-y的值为1.
【分析】将第一个方程化为x=4-2y,并代入第二个方程中,可得2(4-2y)+y=5,解得
y=l,将y=l代入第一个方程中,可得x=2,即可求解.
【解答】解:解法一:由x+2y=4可得:
x=4-2y,
代入第二个方程中,可得:
2(4-2y)+y=5,
解得:y=1,
将y=l代入第一个方程中,可得
x4-2x1=4,
解得:x=2,
=2-1=1,
故答案为:1;
解法二:.“:+2y=%,
由②一①可得:
x-y=l,
故答案为:1.
14.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+l与x轴,y轴分别交于点A,B,与反比例
函数y=&的图象在第一象限交于点C,若AB=BC,则劣的值为2.
X
【分析】过点C作轴于点H.求出点C的坐标,可得结论.
【解答】解:过点C作CH_Lx轴于点
・.•直线y=x+l与1轴,y轴分别交于点A,B,
A(-l,0),8(0,1),
:.OA=OB=\,
•・・OB//CH,
AOAB।
二.---=——=1,
OHCB
,,OA=OH=i,
:.CH=2OB=29
・,.C(l,2),
•.•点C在y=2上,
X
:.k=2,
故答案为:2.
15.已知机为正整数,若89,〃是整数,则根据,89〃?=J3x3x3x7〃?=3j3x7,w可知m有
最小值3x7=21.设”为正整数,若是大于1的整数,则〃的最小值为3.最大
值为
【分析】先将再化简为10,E,可得”最小为3,由、迎300是大于1的整数可得、迎越
nn
小,型越小,则〃越大,当
2=2时,即可求解.
n
【解答】解:;,且为整数,
n最小为3,
...陛是大于1的整数,
Vn
..陛越小,迎越小,则”越大,
nn
当2时,
300)
——=4,
n
/.〃=75,
故答案为:3;75.
16.如图1,在矩形ABCD中,AB=8,4)=6,E,尸分别为43,4)的中点,连接瓦如
图2,将AAEF绕点A逆时针旋转角。(0。<6<90。),使瓦连接3E并延长交加于
点H.则/8HD的度数为_90。,的长为.
【分析】如图,设防交AZ)于点J,AD交BH于点O,过点E作EKLAB于点K.证明
ADAF^ABAE,推出NADF=/4SE,可得NDHO=NBAO=90°,解直角三角形求出所,
AJ,EJ,再利用平行线分线段成比例定理求出OJ,再根据cosNOD//=cosNABO,可得
【解答】解:如图,设四'交4)于点J,AD交BH于点、O,过点E作EK_L4?于点K.
■.■ZEAF=ZBAD^90°,
:.ZDAF=ZBAE,
AFAE1
'AD-"
.AF_AD
""AE~~AB'
M)AF^ABAE,
:.ZADF=ZABE,
/DOH=ZAOB,
:.ZDHO=ZBAO=90°,
,/BHD=90。,
vAF=3,AE=4,ZE4F=90°,
.•.EF=V32+42=5,
\-ED±ADf
...--AEAF=-EF-A/,
22
EJ//AB,
OJ_=EJ_
OA~^\B
16
OJ=y
12a
OA=AJ+OJ=---1—=4,
________55______
OB=\!AB2+AO-=V42+82=4x/5,OD=AD-AO=6-4=2,
cosZODH-cosZABO,
,DH_AB
~OD~~BO'
DH_8
‘三"法’
5
故答案为:90°,
5
三、解答题(本大超共8小题,共72分,解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过
程)
17.(6分)解分式方程:.
xx+3
【分析】把分式方程化为整式方程,解整式方程即可.
14
【解答】解:上=二_左右两边同时乘以。+3)x得
xx+3
x+3=4x,
3=3x9
x=\•
检验:把x=i代入原方程得』=」一,等式成立,
11+3
所以x=l是原方程的解.
18.(7分)已知关于x的一元二次方程X,+(2Z+l)x+/+1=0有两个不等实数根%,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若内々=5,求上的值.
【分析】(1)根据判别式的意义得到△=(2k+l)2-4(^+l)>0,然后解不等式即可;
(2)根据根与系数的关系得到中2=A?+1,再利用为々=5得至1]二+1=5,然后解关于A的
方程,最后利用k的范围确定k的值.
【解答】解:(1)根据题意得△=(21+1)2-4(省+1)>0,
解得“>3;
4
(2)根据题意得芭%2="2+1,
,/x}x2=5,
.•./+1=5,
解得kx=-2,k2=2f
,3
•二A》一,
4
:.k=2.
19.(8分)如图,在平行四边形ABC。中,点E,尸分别在边AB,CD上,且四边形8£D-
为正方形.
(1)求证:AE=CF;
(2)已知平行四边形A38的面积为20,A8=5,求CF的长.
【分析】(1)根据正方形的性质可以得到。E=£B,根据平行四边形的性质可以得到
AB=CD,然后即可得到结论成立;
(2)根据平行四边形的面积,可以得到DE的长,然后根据正方形的性质,可以得到破的
长,从而可以求得AE的长,再根据(1)中的结论,即可得到CF的长.
【解答】(1)证明:•.•四边形阻W为正方形,
:.DF=EB,
•.•四边形/WCZ)是平行四边形,
:.DC=AB,
:.DC-DF=AB-EB,
:.CF=AE,
即AE=CF;
(2)解:•.•平行四边形的面积为20,AB=5,四边形BED尸为正方形,
:.5DE=20,DE=EB,
:.DE=EB=4,
.-.AE=AB-EB=5-4=\,
由(1)知:AE=CF,
:.CF=\.
20.(10分)为落实国家“双减”政策,立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体
育社团、文学社团、美术社团”活动.该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你
最喜欢哪一种社团活动(每人必选且只选一种)”的问卷调查,根据调查结果,绘制了如图
所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息,解答下列问题:
(1)参加问卷调查的学生共有60人;
(2)条形统计图中m的值为,扇形统计图中a的度数为一;
(3)根据调查结果,可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有一人;
(4)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比
赛,请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率.
调查结果的条形统计图
A:音乐社团
B:体育社团
C:文学社团
D:美术社团
【分析】(1)利用24+40%即可求出参加问卷调查的学生人数.
(2)根据加=60-10-24-15,a=360°x”即可得出答案.
60
(3)用该校总人数乘以样本中最喜欢“音乐社团”的占比即可.
(4)画树状图列出所有等可能的结果,再找出恰好选中甲、乙两名同学的结果,利用概率
公式可得出答案.
【解答】解:(1)24+纵)%=60(人),
参加问卷调查的学生共有60人.
故答案为:60.
(2)m=60-10-24-15=ll,
a=360°x—=90°,
60
故答案为:11;90°.
(3)600x—=100(人),
60
.•.估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有100人.
故答案为:100.
(4)画树状图如图:
开始
甲乙丙丁
小小小小
乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙
•.•共有12种等可能的结果,其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种,
恰好选中甲、乙两名同学的概率为<7•=•!1".
126
21.(9分)如图,己知。为。O上一点,点C在直径84的延长线上,BE与OO相切,交
8的延长线于点E,且8E=DE.
(1)判断CD与0。的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=4,sinC=-,
3
①求OO的半径;
②求砒>的长.
【分析】(1)结论:8是。。的切线;只要证明8,8即可;
(2)①根据sinC=',构建方程求解即可;
3
②证明ACD4s△CM,推出42="=4=立,设AD=同,BD=2k,利用勾股定
BDCD4近2
理求解即可.
【解答】解:(1)结论:CD是。。的切线;
理由:如图,连接
,;EB=ED,OB=OD,
:.ZEBD=AEDB,Z.OBD=AODB,
•.•破是OO的切线,08是半径,
:.OBLBE,
.•.NOBE=90。,
;.ZEBD+NOBD=90°,
/EDB+NODB=900,
s.ODLDE,
・.・or)是半径,
.•.CD是oo的切线;
(2)①设OD=Q4=r,
,.・OD上CD,
.OD\
sinC==—,
OC3
r1
J.---------=一,
r+43
.1=2,
/.OO的半径为2;
②在RtACOD中,CD=y/0C2-OD2=府-2?=472,
•.•/S是直径,
:.ZADB=90°,
:.ZDBA+ZBAD=90°,
■.OD=OA,
.-.ZOAD=ZODA,
-.■ZADC+ZODA=90°,
:.ZADC=NCBD,
•.•zc=zc,
..ACDA^ACBD,
ADAC45/2
"BD-00-472-V'
设AD=同,BD=2k,
AEr+BEr^AB1,
(y/2lc)2+(2k)2=42,
22.(10分)2022年的冬奥会在北京举行,其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱,多
地出现了“一墩难求”的场面.某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快
就被抢购一空,该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买,并且从第二
天起,每天比前一天多供应,”个(,〃为正整数).经过连续15天的销售统计,得到第x天
(1麴k15,且x为正整数)的供应量%(单位:个)和需求量,3(单位:个)的部分数据如
下表,其中需求量内与x满足某二次函数关系.(假设当天预约的顾客第二天都会购买,当
天的需求量不包括前一天的预约数)
第X天12•.•611..•15
供应量150150+小…150+5m150+10m…150+14m
%(个)
需求心220229…245220…164
丫2(个)
(1)直接写出为与X和丫2与X的函数关系式;(不要求写出X的取值范围)
(2)已知从第10天开始,有需求的顾客都不需要预约就能购买到(即前9天的总需求量超
过总供应量,前10天的总需求量不超过总供应量),求,〃的值;(参考数据:前9天的总需
求量为2136个)
(3)在第(2)问m取最小值的条件下,若每个“冰墩墩”售价为100元,求第4天与第
12天的销售额.
2
【分析】(1)由已知直接可得y=15O+(x-l)〃?=»ir+15O-"7,y2=ax+bx+c,用待
定系数法可得%=-炉+12x+209;
(2)求出前9天的总供应量为(1350+36附个,前10天的供应量为(1500+45,〃)个,根据
前9天的总需求量为2136个,前10天的总需求量为2136+229=2365(个),可得
[135,+36机<736,而加为正整数,即可解得的值为20或21;
[1500+45,九.2365
(3),"最小值为20,从而第4天的销售量即供应量为y=210,销售额为21000元,第12
天的销售量即需求量为%=209,销售额为20900元.
【解答】解:(1)根据题意得:=\50+(x-l')m=mx+\50-m,
设%=a^+bx+c,将(1,220),(2,229),(6,245)代入得:
a+b+c=220
<4a+2b+c=229,
36a+6b+c=245
a=-\
解得<6=12>
c=209
%=—x?+12x+209;
(2)前9天的总供应量为150+(150+m)+(150+2/77)+......+(150+&〃)=(1350+36m)个,
前10天的供应量为1350+36w+(150+9m)=(1500+45m)个,
在必=-d+12x+209中,4-x=10Wy=-102+12x10+209=229,
•.•前9天的总需求量为2136个,
.•.前10天的总需求量为2136+229=2365(个),
•・・前9天的总需求量超过总供应量,前10天的总需求量不超过总供应量,
0350+36〃?<2136
"[1500+45/n..2365'
75
解得19一,,m<21-,
96
•••加为正整数,
..•根的值为20或21;
(3)由(2)知,机最小值为20,
第4天的销售量即供应量为乂=4x20+150—20=210,
.•.第4天的销售额为210x100=21000(元),
而第12天的销售量即需求量为必=-122+12x12+209=209,
.•.第12天的销售额为209x100=20900(元),
答:第4天的销售额为21000元,第12天的销售额为20900元.
23.(10分)《几何原本》是古希腊数学家欧儿里得的一部不朽著作,是数学发展史的一个
里程碑.在该书的第2卷“几何与代数”部分,记载了很多利用几何图形来论证的代数结论,
利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.
(1)我们在学习许多代数公式时,可以用几何图形来推理,观察下列图形,找出可以推出
的代数公式,(下面各图形均满足推导各公式的条件,只需填写对应公式的序号)
(图1)(图2)(图3)(图4)
公式①:(a+b+c)d=ad+bd+cd
公式②:(a+b)(c+d}=ac+ad+bc+bd
公式③:(a-b)2=a2-lab+b2
公式④:(«+b)2=a2+2ab+b2
图1对应公式①,图2对应公式,图3对应公式,图4对应公式.
(2)《几何原本》中记载了一•种利用几何图形证明平方差公式(a+6)(a-6)="-从的方法,
如图5,请写出证明过程;(己知图中各四边形均为矩形)
(3)如图6,在等腰直角三角形A8C中,N84C=90。,。为8c的中点,E为边AC上任
意一点(不与端点重合),过点E作EG_LBC于点G,作四,4)于点”,过点5作
8尸//AC交EG的延长线于点尸.记与ACEG的面积之和为耳,与AA£W的
面积之和为S2.
则色的值为
①若E为边AC的中点,
$2
②若E不为边AC的中点时,试问①中的结论是否仍成立?若成立,写出证明过程;若不成
立,请说明理由.
【分析】(1)观察图象可得图1对应公式①,图2对应公式②,图3对应公式④,图4对应
公式③;
(2)由图可得S^AKLC=AK-AC=a(a-b)=BF-BD=S^DBFG,即可得
222
S正方形BCEF=/=S矩形AKHD+B~,从而有a=(a-b)(a+b)+从,故(a+b)(a-b)=a-b;
(3)①设B£>=加,可得=/力,由石是AC中点,即得HE=£>GAH,
2
S\=SgFG+S&cEG=%m,^2=^^ABD+^MEH~f即得肃=2;
②设BD=a,DG=b,AD=BD=CD=a9AH=HE=DG=h,EG=CG=a-hf
FG=BG=a+b,£=5AB榜+S&c£G=gx(a+b)2+gx(a—Z?)2=。2+62,
iiis
22
S,z=SSBD+SCMuF\tzHn=—24+—2xb?=—2{'a+Z?/)»从而n§=2.
【解答】(1)解:观察图象可得:
图1对应公式①,图2对应公式②,图3对应公式④,图4对应公式③;
故答案为:①,②,④,③;
(2)证明:
如图:
由图可知,矩形8C£F和矩形EG/"都是正方形,
•;AK=BM=BF—MF=a—b,BD=BC-CD=a—b,
S矩形AKZC=AK-AC=a(a-b)=BF-BD=S矩影DBFG,
=a=+
Sjg方形BC£F=S矩彩COHZ.+S矩彩DBFG+S正方形EGHL^IUK-COHLS矩物1Kze+b
a-S矩形AK"O
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