2022年湖北省随州市中考数学试卷-初中数学【北师大版】七年级下册课件说课稿教案试题真题测试题

2022年湖北省随州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有

一个是正确的）

1.2022的倒数是（)

1

A.2022B.-2022C.—D.

20222022

2.如图，直线《/%，直线/与乙，4相交，若图中4=60。,则/2为（)

40。C.50°D.60°

3.小明同学连续5次测验的成绩分别为:97,97,99,101,106(单位:分），则这组数据

的众数和平均数分别为（)

A.97和99B.97和100C.99和100D.97和101

4.如图是一个放在水平桌面上的半球体,该几何体的三视图中完全相同的是（）

A.主视图和左视图B.主视图和俯视图

C.左视图和俯视图D.三个视图均相同

5.我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，鸳马日行一百五十

里.鸳马先行一十二日，问良马儿何追及之.”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢

的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢

马，则可列方程为()

A.150(12+x)=240xB.240(12+x)=150A-

C.150(x-12)=240xD.240(x-12)=150x

6.2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三

位宇航员送入了中国空间站.已知中国空间站绕地球运行的速度约为7.7x10,机/s,则中国

空间站绕地球运行2x10's走过的路程（附用科学记数法可表示为（)

A.15.4x10sB.1.54xl06C.15.4xlO6D.1.54xl07

7.己知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步

去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家.图中x表示时间，

y表示张强离家的距离，则下列结论不正确的是（）

Ay/km

2.5-

1.5

/min

A.张强从家到体育场用了15相加

B.体育场离文具店1.5也？

C.张强在文具店停留了206山

D.张强从文具店回家用了7>5min

8.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCZ）中，BD为对角线,

E,尸分别为3C,CD的中点，APLEF分别交BD,EF于O,P两点，M,N分别为

BO,的中点，连接MP,NF,沿图中实线剪开即可得到一副七巧板.则在剪开之前,

关于该图形，下列说法正确的有（）

①图中的三角形都是等腰直角三角形；

②四边形"〜是菱形；

③四边形的面积占正方形ABCZ）面积的1.

9.如图，已知点3,D,C在同一直线的水平地面上，在点C处测得建筑物AB的顶端A

的仰角为a,在点。处测得建筑物45的顶端A的仰角为尸，若CD=a,则建筑物AB的

高度为（）

tana-tanptan夕一tana

Catanatan0D〃tanatan0

tantz-tan/?tan/?-tana

10.如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+〃x+c与X轴交于点（-1,0）,对称轴为直线

x=l.则下列结论正确的有（）

@abc>0:②2a+b=0；③函数y=五+6x+c的最大值为-4a；

④若关于x的方程ar2+法+c=a+i无实数根，则一上”。.

二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡

对应题号处的横线上）

11.计算：3x（-l）+|-3|=

12.如图，点A,B,。在OO上，若NABC=60。，则N4OC的度数为

；；：；：；'则x—y的值为——•

14.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+l与x轴，y轴分别交于点A,B,与反比例

函数y=4的图象在第一象限交于点C,若他=3C,则4的值为

X

15.已知为正整数，若"89,篦是整数,则根据89”?=，3x3X3x7〃?=3^3x1m可知m有

/300

最小值3x7=21.设〃为正整数，若是大于1的整数，则〃的最小值为最大

值为.

16.如图1,在矩形ABC。中，AB=8,AD=6,E,尸分别为AB,AD的中点，连接EF.如

图2,将AA砂绕点A逆时针旋转角。（0。<6><90。），使£F_LA。，连接班:并延长交W于

三、解答题（本大超共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过

程）

17.（6分）解分式方程：

xx+3

18.（7分）已知关于x的一元二次方程/+（24+1）*+公+1=0有两个不等实数根演，马.

（1）求k的取值范围；

（2）若占/=5,求上的值.

19.（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E,尸分别在边AB,C£>上，且四边形尸

为正方形.

（1）求证：AE=CF；

（2）已知平行四边形ABCD的面积为20,AB=5,求CF的长.

20.（10分）为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体

育社团、文学社团、美术社团”活动.该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你

最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图

所示的两幅不完整的统计图.

根据图中信息，解答下列问题：

（1）参加问卷调查的学生共有—人；

（2）条形统计图中m的值为—，扇形统计图中a的度数为一；

（3）根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有一人；

（4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比

赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率.

调杳结果的条形统il•图

A：音乐社团

A人数（人）

B：体育社团

C：文学社团

D：美术社团

21.（9分）如图，已知。为上一点，点C在直径84的延长线上，BE与OO相切，交

C£）的延长线于点£,且BE=DE.

（1）判断8与0。的位置关系，并说明理由；

(2)若AC=4,sinC=->

3

①求OO的半径；

②求比»的长.

22.（10分）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多

地出现了“一墩难求”的场面.某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快

就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二

天起，每天比前一天多供应，”个（加为正整数）.经过连续15天的销售统计，得到第x天

（掇Ik15,且x为正整数）的供应量%（单位：个）和需求量丫2（单位：个）的部分数据如

下表，其中需求量为与x满足某二次函数关系.（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当

天的需求量不包括前一天的预约数）

第X天12•••611•••15

供应量150150+加…150+5m150+10m…150+14m

%（个）

需求量220229...245...220...164

丫2（个）

（1）直接写出弘与x和%与x的函数关系式：（不要求写出x的取值范围）

（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超

过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求机的值；（参考数据：前9天的总需

求量为2136个）

（3）在第（2）问加取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第

12天的销售额.

23.（10分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个

里程碑.在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论,

利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.

（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出

的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）

公式②：(a+b)(c+d)=ac+ad+he+bd

公式③：(a-by=a2-2ab+b'

公式④：(a+b)2=a2+2ab+b2

图1对应公式,图2对应公式,图3对应公式,图4对应公式.

（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式（。+加（"与=病-/的方法,

如图5,请写出证明过程；（己知图中各四边形均为矩形）

（3）如图6,在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,£＞为的中点，E为边AC上任

意一点（不与端点重合），过点E作EGJ_BC于点G,作四，AD于点H,过点5作

3F//AC交EG的延长线于点记ABFG与ACEG的面积之和为5,与的

面积之和为S2.

q

①若E为边AC的中点，则之■的值为；

$2一

②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成

立，请说明理由.

(图5)(图6)

24.（12分）如图1,平面直角坐标系xOy中，抛物线y="2+fer+c（Q<0）与x轴分别交于

点A和点3（1,0）,与y轴交于点C,对称轴为直线％=7,且Q4=OC,P为抛物线上一动

点.

,（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图2,连接AC,当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出

此时P点的坐标；

（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P,〃运动时，在坐标轴上是否存在点N,使四

边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由.

（图1）（图2）（备用图）

2022年湖北省随州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有

一个是正确的）

1.2022的倒数是（）

A.2022B.-2022C.」一D.———

20222022

【分析】根据倒数的定义即可得出答案.

【解答】解：2022的倒数是」一.

2022

故选：C.

2.如图，直线（/4，直线/与小/,相交，若图中Nl=60。，则/2为（）

【分析】根据两直线平行，内错角相等，便可求得结果.

【解答】解：3/4，

r.Zl=N2,

-.-Zl=60°,

N2=60°,

故选：D.

3.小明同学连续5次测验的成绩分别为：97,97,99,101,106（单位：分），则这组数据

的众数和平均数分别为（）

A.97和99B.97和100C.99和100D.97和101

【分析】观察这组数据发现97出现的次数最多，进而得到这组数据的众数为97,将五个数

据相加求出之和，再除以5即可求出这组数据的平均数.

【解答】解：•.•这组数据中，97出现了2次，次数最多，

这组数据的众数为97,

这组数据的平均数±=g（97+97+99+101+106）=100.

故选：B.

4.如图是一个放在水平桌面上的半球体，该几何体的三视图中完全相同的是（）

A.主视图和左视图B.主视图和俯视图

C.左视图和俯视图D.三个视图均相同

【分析】根据三视图的定义判断即可.

【解答】解：该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图，均为半圆；俯视图是一个

圆.

故选：A.

5.我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，鸳马日行一百五十

里.野马先行一十二日，问良马几何追及之.”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢

的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢

马，则可列方程为（）

A.150（12+%）=240%B.240（12+%）=150%

C.150（x-12）=240xD.240（x-12）=150x

【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程=速度x时间，即可得出关于x的一元一次方

程，此题得解.

【解答】解：设快马x天可以追上慢马，

依题意，得：150（x+12）=240x.

故选：A.

6.2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三

位宇航员送入了中国空间站.已知中国空间站绕地球运行的速度约为7.7x10，〃$，则中国

空间站绕地球运行2x10、走过的路程（㈤用科学记数法可表示为（）

A.15.4x10sB.1.54xl06C.15.4x10"D.1.54xl07

【分析】根据路程=速度x时间列出代数式，根据单项式乘单项式的法则计算，最后结果写

成科学记数法的形式即可.

【解答】解：7.7X103X2X102

=（7.7X2）X（103X102）

-15.4x10s

=1.54xl06（米），

故选：B.

7.已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步

去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家.图中x表示时间，

y表示张强离家的距离，则下列结论不正确的是（）

率y/km

O153045651001/min

A.张强从家到体育场用了\5min

B.体育场离文具店1.5如？

C.张强在文具店停留/20min

D.张强从文具店回家用了35min

【分析】由函数图象分别得出选项的结论然后作出判断即可.

【解答】解：由图象知，

4、张强从家到体育场用了15加"，故A选项不符合题意；

B、体育场离文具店2.5-1.5=1（切?），故8选项符合题意；

C、张强在文具店停留了65-45=20（m加），故C选项不符合题意；

张强从文具店回家用了100-65=35（加〃），故。选项不符合题意；

故选：B.

8.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABC。中，BD为对角线,

E,尸分别为3C,8的中点，"JLEF分别交BD,EF于O,P两点，M,N分别为

BO,。。的中点，连接MP,NF,沿图中实线剪开即可得到一副七巧板.则在剪开之前,

关于该图形，下列说法正确的有（）

①图中的三角形都是等腰直角三角形；

②四边形MPEB是菱形；

③四边形/¥90的面积占正方形面积的1.

4

B.①②C.①③D.②③

【分析】①利用正方形的性质和中位线的性质可以解决问题；

②利用①的结论可以证明二用P解决问题；

&如图，过M作MGJ.3C于G,设钻=3C=x,利用正方形的性质与中位线的性质分别

求出BE和MG即可判定是否正确.

【解答】解：①如图，尸分别为BC,CD的中点，

,所为的中位线，

.-.EF//BD,

■：APVEF,

s.APLBD,

•.•四边形A8CD为正方形，

.♦.A、。、P、C在同一条直线上，

AABC,AACD>MBD、ABC。、NOAB、\OAD.AOBC、NOCD、AEFC都是等腰

直角三角形，

■：M,N分别为BO,OO的中点，

.-.MP//BC,NFIIOC,

:3NF、AOMP也是等腰直角三角形.

故①正确；

②根据①得0M=8M=变PM,.^.3MwPM

2

四边形MPEB不可能是菱形.故②错误；

③F分别为BC,8的中点，

:.EF//BD,EF=-BD,

2

•.•四边形A8CO是正方形，且设A8=8C=x,

BD=\[lx,

.APVEF,

s.APYBD,

:.BO=OD,

.,.点P在AC上，

:.PE=-EF,

2

:.PE=BM,

四边形胡"石是平行四边形，

BO=-BD,

2

为80的中点，

:.BM=-BD=—x,

44

•.•E为BC的中点，

:.BE=-BC=-x,

22

过M作MG_L3C于G,

J21

:.MG=—BM=-x,

24

四边形BMPE的面积=BEMG=-x2,

8

四边形PFDM的面积占正方形面积的1.

8

,:E、尸是BC,CD的中点，

S&CEF=WS^CBD=gS四边形ABC。，

二.四边形PHW的面积占正方形438面积的（1.

故③正确.

故选：C.

9.如图，已知点5,D,C在同一直线的水平地面上，在点C处测得建筑物的顶端A

的仰角为a,在点。处测得建筑物AB的顶端A的仰角为夕，若CD=a,则建筑物A3的

高度为（）

tana-tan/tan/?-tana

Catanatanpatanatan0

tana-imptan/?一tana

八AB

【分析】设AB=x,在RtAABD中，tanp=----=上，可得BD二1-则

BDBDtan/3

YABx

BC=BD+CD=a+------,在RtAABC中，tana=----=,求解x即可.

X

tan/3BCa+------

tanf}

【解答】解：设Afi=x,

ARx

在RtAABD中，tan/7=——=—,

BDBD

x

BD=

tanB

x

BC=BD+CD=a+

tan/?'

AHx

在RtAABC中，tana=——

x

BCa+----

tanp

解得x=atanatan/

tan/?-tana

故选：

10.如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+〃x+c与X轴交于点(-1,0),对称轴为直线

x=l.则下列结论正确的有()

①abc>0；

②2a+A=0；

③函数+c的最大值为Ta；

④若关于x的方程ar?+6x+c=a+l无实数根，则」<a<0.

【分析】①错误.根据抛物线的位置一一判断即可；

②正确.利用抛物线的对称轴公式求解；

③正确.设抛物线的解析式为y=a(x+l)(x-3),当x=l时，y的值最大，最大值为Ta；

④正确.把问题转化为一元二次方程，利用判别式<0,解不等式即可.

【解答】解：•.•抛物线开口向下，

・・•抛物线交y轴于正半轴，

.•.c>0，

/.Z>>0,

:.abc<0,故①错误.

・・•抛物线的对称轴是直线x=l,

-2=1,

2a

...2a+Z;=0,故②正确.

・・•抛物线交x轴于点(-1,0),(3,0),

••・可以假设抛物线的解析式为y=a(x+l)3),

当x=l时，y的值最大，最大值为-4a,故③正确.

•・•ax2+bx+c=a+\无实数根,

a(x+l)(x-3)=a+1无实数根，

ax2-2ax-4a-l=0,△<0,

/.4«2-4tz(-4a-l)<0,

a(5a+l)<0,

:.--<a<0故④正确，

5

故选：c.

二、填空题(本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡

对应题号处的横线上)

11.计算：3x(-l)+|-3l=0.

【分析】根据有理数的乘法和加法运算法则计算即可.

【解答】解：3x(-l)+|-3|=-3+3=0.

故答案为：0.

12.如图，点A,B,C在OO上，若48C=60。，则NAOC的度数为_120。

【分析】根据圆周角定理解答即可.

【解答】解：由圆周角定理得：ZAOC=2ZABC,

vZABC=60°,

/.ZAOC=120°,

故答案为：120°.

13.已知二元一次方程组则x-y的值为1.

【分析】将第一个方程化为x=4-2y,并代入第二个方程中，可得2(4-2y)+y=5,解得

y=l,将y=l代入第一个方程中，可得x=2,即可求解.

【解答】解：解法一：由x+2y=4可得：

x=4-2y,

代入第二个方程中，可得：

2(4-2y)+y=5,

解得：y=1,

将y=l代入第一个方程中，可得

x4-2x1=4,

解得：x=2,

=2-1=1,

故答案为：1;

解法二：.“：+2y=%,

由②一①可得：

x-y=l,

故答案为：1.

14.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+l与x轴，y轴分别交于点A,B,与反比例

函数y=&的图象在第一象限交于点C,若AB=BC,则劣的值为2.

X

【分析】过点C作轴于点H.求出点C的坐标，可得结论.

【解答】解：过点C作CH_Lx轴于点

・.•直线y=x+l与1轴，y轴分别交于点A,B,

A(-l,0),8(0,1),

：.OA=OB=\,

•・・OB//CH,

AOAB।

二.---=——=1,

OHCB

,,OA=OH=i,

:.CH=2OB=29

・,.C(l,2),

•.•点C在y=2上，

X

:.k=2,

故答案为：2.

15.已知机为正整数，若89,〃是整数,则根据，89〃?=J3x3x3x7〃?=3j3x7，w可知m有

最小值3x7=21.设”为正整数，若是大于1的整数，则〃的最小值为3.最大

值为

【分析】先将再化简为10,E，可得”最小为3,由、迎300是大于1的整数可得、迎越

nn

小，型越小，则〃越大，当

2=2时，即可求解.

n

【解答】解：；,且为整数,

n最小为3,

...陛是大于1的整数，

Vn

..陛越小，迎越小，则”越大,

nn

当2时,

300)

——=4,

n

/.〃=75,

故答案为：3；75.

16.如图1,在矩形ABCD中，AB=8,4）=6,E,尸分别为43,4）的中点，连接瓦如

图2,将AAEF绕点A逆时针旋转角。（0。<6<90。），使瓦连接3E并延长交加于

点H.则/8HD的度数为_90。，的长为.

【分析】如图，设防交AZ）于点J,AD交BH于点O,过点E作EKLAB于点K.证明

ADAF^ABAE,推出NADF=/4SE,可得NDHO=NBAO=90°,解直角三角形求出所，

AJ,EJ,再利用平行线分线段成比例定理求出OJ,再根据cosNOD//=cosNABO,可得

【解答】解：如图，设四'交4）于点J,AD交BH于点、O,过点E作EK_L4?于点K.

■.■ZEAF=ZBAD^90°,

:.ZDAF=ZBAE,

AFAE1

'AD-"

.AF_AD

""AE~~AB'

M)AF^ABAE，

:.ZADF=ZABE,

/DOH=ZAOB,

:.ZDHO=ZBAO=90°,

，/BHD=90。,

vAF=3,AE=4,ZE4F=90°,

.•.EF=V32+42=5,

\-ED±ADf

...--AEAF=-EF-A/,

22

EJ//AB,

OJ_=EJ_

OA~^\B

16

OJ=y

12a

OA=AJ+OJ=---1—=4,

________55______

OB=\!AB2+AO-=V42+82=4x/5,OD=AD-AO=6-4=2,

cosZODH-cosZABO,

,DH_AB

~OD~~BO'

DH_8

‘三"法’

5

故答案为：90°,

5

三、解答题(本大超共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过

程)

17.(6分)解分式方程：.

xx+3

【分析】把分式方程化为整式方程，解整式方程即可.

14

【解答】解：上=二_左右两边同时乘以。+3)x得

xx+3

x+3=4x,

3=3x9

x=\•

检验：把x=i代入原方程得』=」一,等式成立，

11+3

所以x=l是原方程的解.

18.(7分)已知关于x的一元二次方程X，+(2Z+l)x+/+1=0有两个不等实数根%,x2.

(1)求k的取值范围；

(2)若内々=5,求上的值.

【分析】(1)根据判别式的意义得到△=(2k+l)2-4(^+l)>0,然后解不等式即可；

(2)根据根与系数的关系得到中2=A?+1,再利用为々=5得至1］二+1=5,然后解关于A的

方程，最后利用k的范围确定k的值.

【解答】解：(1)根据题意得△=(21+1)2-4(省+1)>0,

解得“>3；

4

(2)根据题意得芭%2="2+1，

,/x}x2=5，

.•./+1=5,

解得kx=-2,k2=2f

,3

•二A》一，

4

:.k=2.

19.(8分)如图，在平行四边形ABC。中，点E,尸分别在边AB,CD上，且四边形8£D-

为正方形.

（1）求证：AE=CF；

（2）已知平行四边形A38的面积为20,A8=5,求CF的长.

【分析】（1）根据正方形的性质可以得到。E=£B,根据平行四边形的性质可以得到

AB=CD,然后即可得到结论成立；

（2）根据平行四边形的面积，可以得到DE的长，然后根据正方形的性质，可以得到破的

长，从而可以求得AE的长，再根据（1）中的结论，即可得到CF的长.

【解答】（1）证明：•.•四边形阻W为正方形，

:.DF=EB,

•.•四边形/WCZ）是平行四边形，

:.DC=AB,

:.DC-DF=AB-EB,

:.CF=AE,

即AE=CF；

（2）解：•.•平行四边形的面积为20,AB=5,四边形BED尸为正方形，

:.5DE=20,DE=EB,

:.DE=EB=4,

.-.AE=AB-EB=5-4=\,

由（1）知：AE=CF,

:.CF=\.

20.（10分）为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体

育社团、文学社团、美术社团”活动.该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你

最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图

所示的两幅不完整的统计图.

根据图中信息，解答下列问题：

（1）参加问卷调查的学生共有60人;

（2）条形统计图中m的值为,扇形统计图中a的度数为一；

（3）根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有一人；

（4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比

赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率.

调查结果的条形统计图

A：音乐社团

B：体育社团

C：文学社团

D：美术社团

【分析】（1）利用24+40%即可求出参加问卷调查的学生人数.

（2）根据加=60-10-24-15,a=360°x”即可得出答案.

60

（3）用该校总人数乘以样本中最喜欢“音乐社团”的占比即可.

(4)画树状图列出所有等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两名同学的结果，利用概率

公式可得出答案.

【解答】解：(1)24+纵)％=60(人)，

参加问卷调查的学生共有60人.

故答案为：60.

(2)m=60-10-24-15=ll,

a=360°x—=90°,

60

故答案为：11;90°.

(3)600x—=100(人)，

60

.•.估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有100人.

故答案为：100.

(4)画树状图如图：

开始

甲乙丙丁

小小小小

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

•.•共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，

恰好选中甲、乙两名同学的概率为＜7•=•!1".

126

21.(9分)如图，己知。为。O上一点，点C在直径84的延长线上，BE与OO相切，交

8的延长线于点E,且8E=DE.

(1)判断CD与0。的位置关系，并说明理由；

(2)若AC=4,sinC=-,

3

①求OO的半径；

②求砒＞的长.

【分析】(1)结论：8是。。的切线；只要证明8,8即可；

(2)①根据sinC='，构建方程求解即可；

3

②证明ACD4s△CM,推出42="=4=立，设AD=同,BD=2k,利用勾股定

BDCD4近2

理求解即可.

【解答】解：(1)结论：CD是。。的切线；

理由：如图，连接

,;EB=ED,OB=OD,

：.ZEBD=AEDB,Z.OBD=AODB,

•.•破是OO的切线，08是半径，

:.OBLBE,

.•.NOBE=90。，

；.ZEBD+NOBD=90°,

/EDB+NODB=900,

s.ODLDE,

・.・or)是半径，

.•.CD是oo的切线；

(2)①设OD=Q4=r,

,.・OD上CD,

.OD\

sinC==—,

OC3

r1

J.---------=一，

r+43

.1=2,

/.OO的半径为2；

②在RtACOD中，CD=y/0C2-OD2=府-2?=472,

•.•/S是直径，

:.ZADB=90°,

:.ZDBA+ZBAD=90°，

■.OD=OA,

.-.ZOAD=ZODA,

-.■ZADC+ZODA=90°,

：.ZADC=NCBD,

•.•zc=zc,

..ACDA^ACBD,

ADAC45/2

"BD-00-472-V'

设AD=同,BD=2k,

AEr+BEr^AB1,

(y/2lc)2+(2k)2=42,

22.（10分）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多

地出现了“一墩难求”的场面.某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快

就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二

天起，每天比前一天多供应，”个（，〃为正整数）.经过连续15天的销售统计，得到第x天

（1麴k15,且x为正整数）的供应量%（单位：个）和需求量,3（单位：个）的部分数据如

下表，其中需求量内与x满足某二次函数关系.（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当

天的需求量不包括前一天的预约数）

第X天12•.•611..•15

供应量150150+小…150+5m150+10m…150+14m

%（个）

需求心220229…245220…164

丫2（个）

（1）直接写出为与X和丫2与X的函数关系式；（不要求写出X的取值范围）

（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超

过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求，〃的值；（参考数据：前9天的总需

求量为2136个）

（3）在第（2）问m取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第

12天的销售额.

2

【分析】（1）由已知直接可得y=15O+（x-l）〃?=»ir+15O-"7,y2=ax+bx+c,用待

定系数法可得%=-炉+12x+209；

（2）求出前9天的总供应量为（1350+36附个，前10天的供应量为（1500+45,〃）个，根据

前9天的总需求量为2136个，前10天的总需求量为2136+229=2365（个），可得

[135,+36机<736,而加为正整数，即可解得的值为20或21；

[1500+45,九.2365

（3），"最小值为20,从而第4天的销售量即供应量为y=210,销售额为21000元，第12

天的销售量即需求量为%=209,销售额为20900元.

【解答】解：（1）根据题意得：=\50+（x-l'）m=mx+\50-m,

设%=a^+bx+c,将（1,220）,（2,229）,（6,245）代入得：

a+b+c=220

<4a+2b+c=229,

36a+6b+c=245

a=-\

解得<6=12>

c=209

%=—x?+12x+209；

（2）前9天的总供应量为150+（150+m）+（150+2/77）+......+（150+&〃）=（1350+36m）个，

前10天的供应量为1350+36w+（150+9m）=（1500+45m）个,

在必=-d+12x+209中，4-x=10Wy=-102+12x10+209=229,

•.•前9天的总需求量为2136个，

.•.前10天的总需求量为2136+229=2365（个），

•・・前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量，

0350+36〃？<2136

"[1500+45/n..2365'

75

解得19一,，m<21-,

96

•••加为正整数，

..•根的值为20或21；

（3）由（2）知，机最小值为20,

第4天的销售量即供应量为乂=4x20+150—20=210,

.•.第4天的销售额为210x100=21000（元），

而第12天的销售量即需求量为必=-122+12x12+209=209,

.•.第12天的销售额为209x100=20900（元），

答：第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元.

23.（10分）《几何原本》是古希腊数学家欧儿里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个

里程碑.在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论,

利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.

（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出

的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）

(图1)(图2)(图3)(图4)

公式①：(a+b+c)d=ad+bd+cd

公式②：(a+b)(c+d}=ac+ad+bc+bd

公式③：(a-b)2=a2-lab+b2

公式④：(«+b)2=a2+2ab+b2

图1对应公式①，图2对应公式,图3对应公式,图4对应公式.

（2）《几何原本》中记载了一•种利用几何图形证明平方差公式（a+6）（a-6）="-从的方法,

如图5,请写出证明过程；（己知图中各四边形均为矩形）

（3）如图6,在等腰直角三角形A8C中，N84C=90。，。为8c的中点，E为边AC上任

意一点（不与端点重合），过点E作EG_LBC于点G,作四，4）于点”，过点5作

8尸//AC交EG的延长线于点尸.记与ACEG的面积之和为耳，与AA£W的

面积之和为S2.

则色的值为

①若E为边AC的中点,

$2

②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成

立，请说明理由.

【分析】（1）观察图象可得图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应

公式③；

(2)由图可得S^AKLC=AK-AC=a(a-b)=BF-BD=S^DBFG,即可得

222

S正方形BCEF=/=S矩形AKHD+B~,从而有a=(a-b)(a+b)+从,故(a+b)(a-b)=a-b；

（3）①设B£>=加，可得=/力，由石是AC中点，即得HE=£>GAH,

2

S\=SgFG+S&cEG=%m，^2=^^ABD+^MEH~f即得肃=2；

②设BD=a,DG=b,AD=BD=CD=a9AH=HE=DG=h,EG=CG=a-hf

FG=BG=a+b,£=5AB榜+S&c£G=gx(a+b)2+gx(a—Z?)2=。2+62,

iiis

22

S,z=SSBD+SCMuF\tzHn=—24+—2xb?=—2{'a+Z?/)»从而n§=2.

【解答】(1)解：观察图象可得：

图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③;

故答案为：①，②，④，③；

(2)证明：

如图：

由图可知，矩形8C£F和矩形EG/"都是正方形,

•;AK=BM=BF—MF=a—b,BD=BC-CD=a—b,

S矩形AKZC=AK-AC=a(a-b)=BF-BD=S矩影DBFG,

=a=+

Sjg方形BC£F=S矩彩COHZ.+S矩彩DBFG+S正方形EGHL^IUK-COHLS矩物1Kze+b

a-S矩形AK"O