专题08 轴对称中的翻折、旋转问题专训（原卷版）

专题08轴对称中的翻折、旋转问题专训【题型目录】题型一轴对称中的翻折问题专训题型二轴对称中的旋转问题专训重难点专训轴对称中的15道翻折问题专训轴对称中的15道旋转问题专训【知识梳理】知识要点一：翻折（对折）的定义一条直线把一个平面图形分成两个全等的图形,其中的一个图形沿着这条直线翻折到另一个图形上面,则两部分完全重合,这个过程就叫做对折.知识要点二：翻折（对折）的特点翻折问题实际上就是对称变换；翻折是一种对称变换，属于轴对称，对称轴（折㡾所在直线）是对应点的连线的垂直平分线，翻折前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；教学初，为使学生直观感悟，可以进行一些实际操作，以便于学生形成直观感受，利于问题的解决。知识要点三：翻折（对折）的基本图形及图形特点翻折图形的基本背景图形有：三角形、四边形、梯形等，解决这些问题的基本方法是精确找出翻折前后相等边与角，以及结合图形的性质把边角的关系联系起来，同时结合方程思想、数形结合等数学思想进行解题。翻折特点：有翻折----就有重合----就有全等-----对应线段相等、对应角相等，运用勾股定理、等面积法结合图形特点进行解题。【经典例题一轴对称中的翻折问题专训】【例1】（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2022秋·四川泸州·八年级统考期末）如图，中，将沿折叠，使得点C落在上的点处，连接与的角平分线交于点E；如果；那么下列结论：①；②垂直平分；③；④；其中正确的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．42．（2023春·湖北武汉·七年级统考期末）如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边AB上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论是______（填写序号）．

3．（2023秋·江西南昌·八年级南昌市外国语学校校联考期末）【母体呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为．求的周长．解：是由折叠而得到，．，．，．，∴的周长为：．(1)【知识应用】在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接．如图1，若，，求的面积；(2)如图2，求证：平分；(3)【拓展应用】如图3，在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接，过点作．若，，，直接写出长；(4)若，求证．【经典例题二轴对称中的旋转问题专训】【例2】（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，，，直角的顶点是的中点，将绕顶点旋转，两边，分别交，于点，．下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．在旋转过程中，上述四个结论始终正确的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【变式训练】1．（2022秋·广西贵港·八年级统考期中）如图，在中，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F．当在内绕点P旋转时，对于下列结论：①；②，③；④，其中正确结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2022秋·广东惠州·八年级惠州一中校考期中）在中，，；将一块三角板的直角顶点放作斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、点，图①，②，③是旋转得到的三种图形．当是等腰三角形时，的度数为______（写出所有可能的值）．3．（2023春·全国·八年级专题练习）阅读材料：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．如图①，等腰和等腰中，，将绕点A旋转，连接，利用上面结论或所学解决下列问题：(1)若，求证：；(2)连接，当点D在线段上时．①如图②，若，则的度数为；线段与之间的数量关系是；②如图③，若，为中边上的高，判断的度数及线段之间的数量关系说明理由．【重难点训练】轴对称中的15道翻折问题专训1．（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图是一张三角形纸片ABC，，点M是边的中点，点E在边AC上，将沿BE折叠，使点C落在边AC上的点D处，若，则（

）A．18° B．54° C．60° D．72°2．（2022秋·广东广州·八年级校考期中）如图，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点A与点B重合，则折痕的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图，将一个等腰直角三角形按如图方式折叠，若，，下列四个结论：①平分；②长为；③是等腰三角形；④的周长等于的长，其中，正确的是（

）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④4．（2023春·七年级单元测试）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（

）A． B． C． D．5．（2023春·全国·七年级专题练习）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点折叠后的对应点分别为，若，则的度数为（）A．48° B．46° C．44° D．42°6．（2023春·福建福州·七年级统考期末）如图，将四边形纸片沿折叠，点A、D分别落在点、处．若，，则与之间的数量关系可用等式表示为___________．

7．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在和中，，，相交于点E，．将沿折叠，点落在点处，若，则的大小为________．

8．（2023春·江苏·七年级统考期末）在中，，，点D是边上一点，过点D将折叠，使点C落在下方的点处，折痕与交于点E，当与的一边平行时，的度数为___________．

9．（2022春·四川成都·七年级统考期末）如图是一张直角三角形纸片，其中．请按下列步骤操作：①沿的垂直平分线/折叠，折痕与交于点D：②沿过点C的直线l，折叠，使点A落到上的点E处，若，则的度数为__________．10．（2022春·江西抚州·七年级统考期末）已知，点P是射线BC上一动点，把沿AP折叠，B点的对应点为点D，当是等腰三角形时，的度数为______．11．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）综合与探究一张直角三角形纸片，，其中，D，E分别是边上一点．将沿折叠，点C的对应点为点．(1)如图1，若，则______°，______°．(2)如图2，若点落在直角三角形纸片上，请探究与的数量关系，并说明理由．(3)如图3，若点落在直角三角形纸片外，（2）中与的数量关系还成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请求出与的数量关系．12．（2023春·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图1，一张三角形纸片，点D，E分别是边上两点．研究（1）：如果沿直线折叠，使点A落在上的点处，则与的数量关系是；研究（1）：如果折成图2的形状，猜想，和的数量关系是；研究（3）：如果折成图3的形状，猜想，和的数量关系是什么，并说明理由．

13．（2023·全国·八年级假期作业）已知是一张三角形的纸片．(1)如图①，沿折叠，使点落在边上点的位置，与的之间存在怎样的数量关系？为什么？(2)如图②所示，沿折叠，使点落在四边形的内部点的位置，、与之间存在怎样的数量关系？为什么？(3)如图③，沿折叠，使点落在四边形的外部点的位置，、与之间存在怎样的数量关系？为什么？14．（2023春·全国·七年级专题练习）同学们，我们已学习了角平分线的概念和性质，那么你会用它们解决有关问题吗？(1)如图（1），已知，填空：∵是的平分线（已知）∴________________________(2)如图（2），已知，若将沿着射线翻折，射线落在处，请你画出射线，射线一定平分．为什么？理由如下：∵是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，∴________，∴射线________是∠________的角平分线．拓展应用(3)如图（3），将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在C处，折痕为，再将它的另一个角也折叠，顶点B落在D处并且使过点C，折痕为．直接利用（2）的结论；①若度，求的度数；②若度，求的度数；③的补角有________；的余角有________．15．（2023秋·河南周口·八年级统考期末）综合与实践在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．(1)概念理解如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：_______________筝形（填“是”或“不是”）(2)性质探究如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明．(3)拓展应用如图3，是锐角的高，将沿AB边翻折后得到，将沿AC边翻折后得到，延长EB，FC交于点G．①请写出图3中的“筝形”：____________；（写出一个即可）②若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数．轴对称中的15道旋转问题专训1．（2023·广东深圳·校考三模）古代大型武器投石机，是利用杠杆原理将载体以不同的抛物线投射出去的装置．图是图投石机的侧面示意图．为炮架的炮梢两顶点，已知A、B两点到炮轴O的距离分别为1米和8米，当炮索自然垂落垂直于地面时，落在地面上的绳索还有5米．如图，拉动炮索，炮梢绕炮轴O旋转，点A的对应点为，点B的对应点为．当炮索的顶端在地面且与炮轴在同一直线上时，若垂直地面，，此时，到水平地面的距离是（

）米

A．12 B． C． D．212．（2022春·上海普陀·七年级校考期末）如图，在中，，，，点是的中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时（点不与、重合），以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中一定正确的结论有（

）．A．个 B．个 C．个 D．个3．（2022春·湖南张家界·七年级统考期末）如图，将绕点A按逆时针方向旋转100°得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，若，则的度数为（

）A．20° B．30° C．40° D．45°4．（2021秋·山东日照·八年级日照港中学校考期末）如图，已知与都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，绕顶点A旋转，连接．以下三个结论：①；②；③；其中结论正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．05．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，已知△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转n°（0＜n＜∠BAC）得到△ADE，AD交BC于点F，DE交BC、AC于点G、H，则以下结论：①△ABF≌△AEH；②连接AG、FH，则AG⊥FH；③当AD⊥BC时，DF的长度最大；④当点H是DE的中点时，四边形AFGH的面积等于AF×GH．其中正确的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．（2022秋·黑龙江大庆·七年级大庆市第三十六中学校考期末）如图，已知中，，，直角的顶点是的中点，两边分别交于点E、F，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④，当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有_______（填序号）．7．（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）一副直角三角尺按如图①所示叠放，现将含45°的三角尺固定不动，将含30°的三角尺绕顶点A顺时针旋转.如图②，当时，此时.继续旋转三角尺，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则（）其他所有可能符合条件的度数为_______8．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图是一款折叠式台灯，其侧面示意图为折线A−B−C−D，∠C=60°，连接BD，∠CBD=80°，线段AB绕点B旋转，AB的延长线与射线CD相交与点E，当∠ABC为______度时，△BDE是等腰三角形．9．（2021秋·福建南平·八年级校考期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，把一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B．梦想飞扬学习小组将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，给出下列结论：①线段AE与AF的长度之和为定值；②∠BEO与∠OFC的度数之和为定值；③四边形AEOF的面积为定值．其中正确的是：_______________．（填序号）10．（2021秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）如图，在中，，点在内，将以点为旋转中心进行旋转，使点B与点C重合，点M落在点N处，若,且B、M、N三点恰共线，则=_______．11．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）已知：如图1，点C为线段上一点，都是等边三角形，交于点E，交于点F．(1)求证：；(2)求证：为等边三角形；(3)将绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．12．（2022秋·山东德州·八年级校考期中）如图1，在中，于，，D是AE上的一点，且，连接、．(1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；(2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；(3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变：①试猜想与的数量关系，不用说明理由；②你能求出与所成的锐角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明