三角恒等变换(测试题及答案)

三角恒等变换(测试题及答案)

三角恒等变换测试题第I卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.求cos24cos36-cos66cos54的值。A。0.B。1/2.C。1/4.D。1/82.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan(2α)的值为：A。1/2.B。2/3.C。3/4.D。4/53.函数y=sin(x)+cos(x)的最小正周期为：A。π。B。2π。C。4π。D。π/24.已知等腰三角形顶角的余弦值等于4/5，则这个三角形底角的正弦值为：A。3/5.B。4/5.C。5/6.D。5/45.α,β都是锐角，且sin(α)=1/3，cos(α+β)=-1/2，则sin(β)的值是：A。-2/3.B。-1/3.C。1/3.D。2/36.已知-x<π/3且cos(-x)=-√3/2，则cos(2x)的值是：A。-7/24.B。-1/8.C。1/8.D。7/247.函数y=sin(x)+cos(x)的值域是：A。[0,1]。B。[-1,1]。C。[-1/2,1/2]。D。[1/2,√2]8.将y=2sin(2x)的图像向左平移π/4个单位，得到y=3sin(2x)-cos(2x)的图像，只需将y=2sin(2x)的图像：A。向右平移π/4个单位。B。向左平移π/4个单位C。向右平移π/2个单位。D。向左平移π/2个单位9.已知等腰三角形顶角的正弦值等于4/5，则这个三角形底角的余弦值为：A。3/5.B。4/5.C。5/6.D。5/410.函数y=sin(x)+3cos(2x)的图像的一条对称轴方程是：A。x=π/4.B。x=π/6.C。x=π/2.D。x=π/3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上）11.已知α,β为锐角，cosα=1/10，cosβ=1/5，则α+β的值为__π/6__。12.在△ABC中，已知tanA,tanB是方程3x^2-7x+2=0的两个实根，则tanC=__1/2__。13.若角的终边经过点P(1，-2)，则sin^2的值为__5/13__。14.已知tanx=2，则(3sin^2x+2cos^2x)/(cos^2x-3sin^2x)的值为__-1/2__。关于函数$f(x)=\cos2x-2\sqrt3\sinx\cosx$，下列命题：①若存在$x_1,x_2$有$x_1-x_2=\pi$时，$f(x_1)=f(x_2)$成立；②$f(x)$在区间$\left(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)$上是单调递增；③函数$f(x)$的图像关于点$\left(\frac{\pi}{4},0\right)$对称；④将函数$f(x)$的图像向左平移$\frac{5\pi}{2}$个单位后将与$y=2\sin2x$的图像重合．其中正确的命题序号为①、②、③。解答题：17.已知$\frac{\pi}{2}<\beta<\alpha<\frac{3\pi}{2}$，$\cos(\alpha-\beta)=\frac{4}{3}$，$\sin(\alpha+\beta)=-\frac{1}{3}$，求$\sin2\alpha$。解：由$\cos(\alpha-\beta)=\frac{4}{3}$得$\sin(\alpha-\beta)=-\frac{\sqrt{5}}{3}$，再由$\sin(\alpha+\beta)=-\frac{1}{3}$得$\cos(\alpha+\beta)=-\frac{2\sqrt{5}}{3}$。because\frac{\pi}{2}<\beta<\alpha<\frac{3\pi}{2}$。XXX$$\alpha+\beta$和$\alpha-\beta$都在第二象限。XXX$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\sin(\alpha+\beta-\beta)\cos(\alpha-\beta)$2\left(\sin(\alpha+\beta)\cos\beta-\cos(\alpha+\beta)\sin\beta\right)\left(\cos^2\frac{\alpha-\beta}{2}-\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$2\left(-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{2\sqrt{5}}{3}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\left(\frac{16}{25}-\frac{9}{25}\right)=\frac{28}{25}$。答案：$\frac{28}{25}$。18.求$\frac{2\sin\frac{1}{2}(4\cos\frac{1}{2}-2)}{\cos\frac{1}{2}-1}$的值。解：$\frac{2\sin\frac{1}{2}(4\cos\frac{1}{2}-2)}{\cos\frac{1}{2}-1}=\frac{4\sin\frac{1}{2}\cos\frac{1}{2}-2\sin\frac{1}{2}}{\cos\frac{1}{2}-1}$2\cdot\frac{2\sin\frac{1}{2}\cos\frac{1}{2}}{\cos\frac{1}{2}-1}-2\cdot\frac{\sin\frac{1}{2}}{\cos\frac{1}{2}-1}$2\cdot\frac{\sin1}{\cos1-1}-2\cdot\frac{\sin\frac{1}{2}}{\cos\frac{1}{2}-1}$2\cdot\frac{2\sin^2\frac{1}{2}}{2\sin^2\frac{1}{2}}-2\cdot\frac{\sin\frac{1}{2}}{\cos^2\frac{1}{2}-\sin^2\frac{1}{2}}$2-2\cot\frac{1}{2}=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=2\sqrt{3}-2$。答案：$2\sqrt{3}-2$。19.已知$\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{11}\right)$，$\beta\in\left(0,\pi\right)$，且$\tan(\alpha-\beta)=\frac{4}{27}$，$\tan\beta=-\frac{4}{3}$，求$\tan(2\alpha-\beta)$的值及角$2\alpha-\beta$。解：由$\tan(\alpha-\beta)=\frac{4}{27}$得$\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}=\frac{4}{27}$。由$\tan\beta=-\frac{4}{3}$得$\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=-\frac{4}{3}$。XXX$$\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\frac{4}{27}$，$\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=-\frac{4}{3}$。therefore$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{4\cos\beta}{27\cos^2\beta-4\sin^2\beta}=-\frac{16}{7}$。XXX$$\tan\alpha=-\frac{16}{7}$。XXX$$\tan(2\alpha-\beta)=\frac{2\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=-\frac{2}{5}$。又因为$2\alpha-\beta<\frac{2\pi}{11}<\frac{\pi}{2}$，$\tan(2\alpha-\beta)<0$。therefore$$2\alpha-\beta=\pi-\arctan\frac{2}{5}$。答案：$\tan(2\alpha-\beta)=-\frac{2}{5}$，$2\alpha-\beta=\pi-\arctan\frac{2}{5}$。20.函数$y=\sin^2x+\sin^2x+3\cos^2x$，求：1）函数的最小值及此时的$x$的集合；2）函数的单调减区间；3）此函数的图像可以由函数$y=2\sin^2x$的图像经过怎样变换而得到。解：（1）$y=\sin^2x+\sin^2x+3\cos^2x=2\sin^2x+3\cos^2x+2\sinx\cosx+1$2\left(\sinx+\frac{1}{\sqrt{2}}\cosx\right)^2+1-\frac{1}{2}$geq1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。当且仅当$\sinx+\frac{1}{\sqrt{2}}\cosx=-\sqrt{2}$时取等。therefore$$y_{\min}=\frac{1}{2}$，$x=k\pi+\arctan\frac{1}{\sqrt{2}}$，$k\in\mathbb{Z}$。2）$y'=(4\sinx+2\cosx)\cosx-6\sinx\cosx=2\sinx(2\sinx+\cosx)$。therefore$函数$y$在区间$\left[-\frac{\pi}{2},0\right)$上单调递减，在区间$\left(0,\frac{\pi}{2}\right]$上单调递增。3）将$y=2\sin^2x$的图像向左平移$\frac{\pi}{4}$个单位再上下翻折即可。21.已知函数$f(x)=\cosx+3\sinx\cosx+1$，$x\in\mathbb{R}$。1）求证$f(x)$的小正周期和最值；2）求这个函数的单调递增区间。解：（1）$\becausef(x+2\pi)-f(x)=\cos(x+2\pi)+3\sin(x+2\pi)\cos(x+2\pi)+1-\cosx-3\sinx\cosx-1$cosx-3\sinx\cosx+1-\cosx-3\sinx\cosx-1=-2\cosx-6\sinx\cosx=-2f(x)$。XXX(x)$的小正周期为$\pi$。当$\sinx=1$，$\cosx=0$时，$f(x)=4$，当$\sinx=-1$，$\cosx=0$时，$f(x)=-2$。because-1\leq\cosx\leq1$，$-1\leq\sinx\leq1$。XXX(x)$的最大值为$4$，最小值为$-2$。2）$f'(x)=-\sinx+3\cos^2x-3\sin^2x=-4\sin^2x-2\sinx+3=-4(\sinx+\frac{1}{4})^2+\frac{13}{4}$。because-1\leq\sinx\leq1$。XXX'(x)\leq\frac{13}{4}$，即$f(x)$在$\mathbb{R}$上单调递增。答案：（1）$f(x)$的小正周期为$\pi$，最大值为$4$，最小值为$-2$；（2）$f(x)$在$\mathbb{R}$上单调递增。二、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限。当角度为90度的奇数倍时，三角函数的符号与原函数相同，当角度为90度的偶数倍时，三角函数的符号与原函数相反。而符号的正负则取决于角度所在的象限。在使用诱导公式化简时，先将角度化为kπ±α的形式，然后根据口诀进行化简。三、和角与差角公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβtan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)可以使用tan(α±β)=tanα±tanβ/(1∓tanαtanβ)将其变形。四、二倍角公式：sin2α=2sinαcosαcos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²αtan2α=2tanα/(1-tan²α)五、注意这些公式的来龙去脉。这些公式都可以由公式cos(α±β)=cosαcosβ±sinαsinβ推导出来。六、注意公式的顺用、逆用、变用。例如，可以使用逆用sinαcosβ±cosαsinβ=sin(α±β)sinαsinβ推导出来。另外，还需要注意公式的变形和使用。七、合一变形（辅助角公式）可以将两个三角函数的和或差化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式，其中A、ω、φ、B均为常数。具体公式为：Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin(α+arctan(B/A))八、万能公式cos2α=1/(1+tan²α)sin2α=tan²α/(1+tan²α)tan2α=sin²α/cos²α=2tanα/(1+tan²α)九、用sinα，cosα表示tanα/2XXX(α/2)=sinα/(1+cosα)=1-cosα/sinα十、积化和差与和差化积积化和差公式：sinαcosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]和差化积公式：sinα±sinβ=2sin[(α±β)/2]cos[(α∓β)/2]cosα±cosβ=2cos[(α±β)/2]cos[(α∓β)/2]cosαcosβ可以用和差化积公式得到：cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]。同样地，sinαsinβ可以用和差化积公式得到：sinαsinβ=[cos(α+β)-cos(α-β)]。另外，和差化积公式也适用于sinθ+sinφ和sinθ-sinφ，以及cosθ+cosφ和cosθ-cosφ，分别可以得到：sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]，sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]，cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]，cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]。三角恒等变换方法可以用来证明三角恒等式。这个方法包括三个方面的变换：变角、变名、变式。其中，变角是将未知角度转化为已知角度的方法，变名是将正切和余切转化为正弦和余弦的方法，变式是利用升幂公式和降幂公式以及和角和差角公式等展开和合并式子的方法。恒等式的证明方法有很多种，包括直接推证法、左右归一法、比较法和分析法等。例1中，已知α为第四象限角，需要化简cosα。首先可以得到1-sinα=cosα/sinα，1-cosα=sinα/cosα。然后将cosα和sinα用1-sinα和1-cosα表示，得到cosα+sinα=[cosα/(1-sinα)]+[sinα/(1-cosα)]。接着，将分式通分并合并同类项，得到cosα+sinα=[cosα(1-cosα)+sinα(1-sinα)]/[(1-sinα)(1-cosα)]。然后，将cosα(1-cosα)+sinα(1-sinα)用和差化积公式展开，得到cosα(1-cosα)+sinα(1-sinα)=cosα-sinα。最后，将cosα-sinα代入原式，得到cosα/(1-sinα)+sinα/(1-cosα)=cosα-sinα/(1-sinα)(1-cosα)。因此，cosα可以化简为cosα-sinα/(1-sinα)(1-cosα)。例2中，已知270-1/2，所以cos2α>1/4.然后，将分式的分母用1+cos2α-1代替，得到(1+cos2α)/(2+cos2α)=(1+cos2α)/(1+cos2α-1+3)=(1+cos2α)/(cos2α+3)。接着，将cos2α用1-sin2α代替，得到(1+cos2α)/(cos2α+3)=(1+1-sin2α)/(1-sin2α+3)=(2-sin2α)/4.最后，将sin20°用cos2(10°)代入，得到(2-sin2(10°))/4=cos2(10°)/2+1/2.因此，原式可以化简为cos2(10°)/2+1/2.例3中，需要计算tan20°+4sin20°。首先，将tan20°用sin20°和cos20°表示，得到tan20°=sin20°/cos20°。然后，将tan20°代入原式，得到sin20°/cos20°+4sin20°。接着，将分数通分，得到(5sin20°+cos20°)/(cos20°)。最后，将cos20°用1-sin2(20°)代入，得到(5sin20°+1-sin2(20°))/(1-sin2(20°))。因此，tan20°+4sin20°可以化简为(5sin20°+1-sin2(20°))/(1-sin2(20°))。解：（1）由于p与q是共线向量，所以它们的坐标比例相等，即frac{2-2\sinA}{\sinA-\cosA}=\frac{cosA+\sinA}{1+\sinA}$化简得$2\cosA+\sinA=1$同时，由于$A,B,C$是锐角三角形的三个内角，所以$00$，$\sinA>0$将$2\cosA+\sinA=1$两边平方得$4\cos^2A+4\cosA\sinA+\sin^2A=1$再利用$\cos^2A+\sin^2A=1$化简得$3\cos^2A+4\cosA\sinA=0$两边除以$\cos^2A$得$3+4\tanA=0$，即$\tanA=-\frac{3}{4}$由于$00$，$\sinA<0$因此$A$的大小为$\arctan\left(-\frac{3}{4}\right)$2）$y=2\sin^2B+\cos(60-2B)=1-\cos(2B)+\frac{1}{2}\cos2B=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\cos2B-\frac{1}{2}\cos^2B$令$f(B)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\cos2B-\frac{1}{2}\cos^2B$，则$y=f(B)$f'(B)=\sin2B+\cosB\sinB=\sinB(2+\cosB)$，$f''(B)=2\cosB-\sin^2B\geq0$因此$f(B)$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上单调递增，最大值为$f(\frac{\pi}{2})=\frac{5}{2}$当且仅当$\cosB=1$时取到最大值，即$B=0$，$C=120^\circ$因此$y$的最大值为$\frac{5}{2}$，当且仅当$B=0$，$C=120^\circ$时取到。sin2B-cos2B+1=sin(2B-π)+1，当2B-π=π时，即B=3π/2.小结：三角函数与向量之间有密切联系，解题时要时刻注意。例6：设关于x的方程sinx+3cosx+a=0在(0,2π)内有两个不同的解α、β。1)求α的取值范围；2)求tan(α+β)的值。解：(1)因为sinx+3cosx=2(3sin(x+π/6))，所以方程化为sin(x+π/6)=-1/3.又因为sin(x+π/2)≠±1（当等于和±1时仅有一解），所以|sin(x+π/6)|<1，即|a|<2且a≠-3.因此，a的取值范围是(-2,-3)∪(-3,2)。2)因为α、β是方程的两个不同的解，所以sinα+3cosα+a=0，sinβ+3cosβ+a=0.将两式相减得(sinα-sinβ)+3(cosα-cosβ)=0，即2sin(α-β)/2cos(α+β)/2-3sin(α+β)/2=0.因为sin(α+β)/2≠0，所以tan(α+β)/2=3/2，从而tan(α+β)=3.小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0,2π)这一条件。例7：已知函数f(x)=m-2sinx/cosx在区间[0,π/2]上单调递减，试求实数m的取值范围。解：由已知条件得m-2sinx1/cosx1>m-2sinx2/cosx2，即cosx2-cosx1>2sin(x1-x2)。因为0≤x1<x2≤π/2，所以cosx2-cosx1<1，所以2sin(x1-x2)<1，即x2-x1<π/6.因此，m<2sin(π/6)/cos(π/2)=2/√3，即m的取值范围为(-∞,2/√3)。1.已知方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$\alpha$和$\beta$，则有$a=\frac{1}{\alpha\beta}。b=-\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}。c=\frac{\alpha\beta}{\alpha\beta}$。2.设$a=\sin56°-\cos56°。b=\cos50°\cos128°+\cos40°\cos38°。c=\frac{2221+\tan40°30'}{1-tan40°30'}。d=\cos80°-2\cos250°+1$，则有$d>b>a>d$。3.函数$y=\sin2x+\frac{1}{3}\sin3x$，$x\in\mathbb{R}$的值域为$[-\frac{4}{3},\frac{4}{3}]$。4.设$f(x)=\sin(\frac{\pi}{4}-x)-2\cos2x+1$，则$f(x)$的最小正周期为$\frac{\pi}{2}$。5.已知向量$\vec{a}=(\cos\alpha,\sin\alpha)$，$\vec{b}=(\cos\beta,\sin\beta)$，$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{2}$，则有$\cos(\alpha-\beta)=-\frac{1}{2}$，$\sin\alpha=\frac{7}{25}$。6.已知$\sin(\pi-x-y)=\frac{1}{2}$，$\cosx+\cosy=\frac{1}{2}$，则有$\cos(\frac{x-y}{2})=\frac{1}{4}$。7.若$\alpha$为第二象限的角，$\tan\alpha=-\frac{3}{4}$，且$\sin\alpha<\cos\alpha$，则有$\cos\alpha=\frac{4}{5}$。8.已知$\sin(\frac{\pi}{5}-x)=\frac{1}{3}$，$0<x<\frac{\pi}{5}$，求$\cos2x+\cos(\frac{\pi}{5}+x)$的值。答案为$\frac{1}{3}$。9.已知$\triangleABC$中，$\angleA=60^\circ$，$AB=2$，$AC=3$，则有$BC=\sqrt{7}$，$\sinB=\frac{\sqrt{21}}{6}$，$\cosC=\frac{1}{2}$，$\tanA=\sqrt{3}$。10.若$\sinx+\cosx=\frac{4}{5}$，则有$\sin2x=\frac{24}{25}$，$\cos2x=\frac{7}{25}$。11.已知$\triangleABC$中，$AB=AC$，$\angleA=20^\circ$，则有$\angleB=80^\circ$，$\angleC=80^\circ$，$\sinB=2\sin10^\circ\cos10^\circ$，$\cosC=2\cos^210^\circ-1$。12.若$a,b,c$是正实数，且满足$a+b+c=1$，则有$\frac{a}{b+c+bc}+\frac{b}{c+a+ca}+\frac{c}{a+b+ab}\geq\frac{3}{4}$。13.若$a,b,c$是正实数，且满足$a^2+b^2+c^2=1$，则有$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq\frac{1}{8}$。14.若$a,b,c$是正实数，且满足$a+b+c=3$，则有$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\leq1$。sinβ=sin[α-(α-β)]=sinα·cos(α-β)-cosα·sin(α-β)=sinα·cosα-cosα·sinα=0，∴β=0.btanα+tan(-α)=-b/a，∴XXX(α-(-α))=1，∴tanα·tan(-α)=-1，∴-b/a=1-tanα·tan(-α)，∴b=a-c，∴c=a+b.a=sin(56°-45°)=sin11°，b=-sin40°cos52°+cos40°sin52°=sin(52°-40°)=sin12°，c=1-tan(240°30′)/(4a)=cos81°=sin9°，d=(2cos240°-2sin240°)=cos80°=sin10°，∴b>a>d>c.y=sin2x+sin2x=sin2x-XXX，∴选择C.由(1+3tanα)(1+3tanβ)=4，可得tan(α+β)=3，又α+β∈(0，π)，∴α+β=arctan(3/(1-3tanαtanβ)).XXX是第二象限的角，∴可能在第一或第三象限，又sin<cos，∴为第三象限的角，∴cosα<0，∵tanα=-5/2，∴cosα=-2/√29，∴cosα<0.XXXα,β∈(0,π)，cosα=-3/5，cosβ=-7/25，∴sinα=4/5，sinβ=24/25，∴tan2β=-24/7，∴tanα=-12/5，∴α∈(π/2,π)，∴α+2β∈(3π/2.5π/2)，又tanα=-12/5，tanβ=-24/7，∴XXX(α+2β)=-1，∴α+2β=2π-π/4=7π/4.1)f(x)=sinx-cosx，∴f(x+T)=sin(x+T)-cos(x+T)=sinx·cosT+cosx·sinT-cosx·cosT+sinx·sinT=sin(x+T)-cos(x+T)-cosT(sin(x+T)+cos(x+T))=f(x)-cosT(f(x))，∴f(x+T)=f(x)-cosT(f(x))，∴当cosT=-1时，f(x