新高考数学一轮复习讲练测专题3.5指数与指数函数（讲）解析版

专题3.5指数与指数函数新课程考试要求1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.3.了解指数函数的变化特征.核心素养培养学生数学抽象（例5）、数学运算（多例）、逻辑推理（例8）、直观想象（例6.7.9）等核心数学素养.考向预测1.指数幂的运算；2．指数函数的图象和性质的应用；3．与指数函数相关，考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等，常与的对数函数等结合考查，如比较函数值的大小；【知识清单】1．根式和分数指数幂1．n次方根定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*个数n是奇数a＞0x＞0x仅有一个值，记为eq\r(n,a)a＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±eq\r(n,a)a＜0x不存在2.根式(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：①(eq\r(n,a))n＝a.②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|，n为偶数.))3.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.2．指数函数的图象和性质(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数【考点分类剖析】考点一根式、指数幂的化简与求值【典例1】（2021·湖南长沙市·高三其他模拟）镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）A．甲同学和乙同学 B．丙同学和乙同学C．乙同学和甲同学 D．丙同学和甲同学【答案】C【解析】判断出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系即可得出答案.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴有SKIPIF1<0．又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．故选：C.【典例2】计算：21【答案】QUOTE=12.【解析】分析：直接利用指数幂的运算法则求解即可,求解过程注意避免计算错误.详解：2===1【规律方法】化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．【变式探究】1.计算：1.5－×0＋80.25×＋(×)6－【答案】【解析】原式＝.2.计算：×0＋×－＝________.【答案】【解析】原式＝×1＋×－.【易错提醒】1.根式：（1）任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．（2）eq\r(n,0)＝0(n＞1，且n∈N*)．（3）有限制条件的根式化简的步骤2.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．3.把根式eq\r(n,am)化成分数指数幂的形式时，不要轻易对eq\f(m,n)进行约分，否则，有时会改变a的取值范围而导致出错，如eq\r(8,a2)，a∈R，化成分数指数幂应为aeq\s\up4(\f(2,8))，a∈R，而aeq\s\up4(\f(1,4))＝eq\r(4,a)，则有a≥0，所以化简时，必须先确定a的取值范围．4.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．考点二：根式、指数幂的条件求值【典例3】已知x+x−1=3 【答案】2【解析】题意(x12∴x3故答案为25【典例4】设，求的值．【答案】7【解析】,.【总结提升】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如(x12+x【变式探究】已知，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）【答案】【解析】（1）将两边平方得，所以.（2）将两边平方得，所以.（3）由（1）（2）可得考点三：指数函数的概念【典例5】（2021·四川凉山彝族自治州·高三三模（文））函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【解析】运用代入法进行求解即可.【详解】由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B【规律方法】判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，a≠1)这一结构形式．【变式探究】若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有()A．a＝1或2 B．a＝1C．a＝2 D．a>0且a≠1【答案】C【解析】由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋3＝1,a>0,a≠1))，解得a＝2，故选C.考点四：指数函数的图象

【典例6】（2021·吉林长春市·高三其他模拟（文））如图，①②③④中不属于函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一个是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【解析】利用指数函数的图象与性质即可得出结果.【详解】根据函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，可知①④正确，函数SKIPIF1<0为单调递增函数，故③正确.所以②不是已知函数图象.故选：B【典例7】（2020·浙江绍兴市阳明中学高三期中）函数y＝ax－SKIPIF1<0(a>0，且a≠1)的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】就SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分类讨论可得正确的选项.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为增函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故A,B不符合.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为减函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故C不符合，D符合.故选：D.【总结提升】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．3.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：=1\*GB3①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；=2\*GB3②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；=3\*GB3③从周期性，判断图象的循环往复；=4\*GB3④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．=5\*GB3⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：=1\*GB3①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；=2\*GB3②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．4.过定点的图象(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)，.特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；(2)与的图象关于y轴对称；(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．【变式探究】1.（2020·上海高一课时练习）函数和（其中且）的大致图象只可能是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由于过点，故D选项错误.当时，过且单调递增；过点且单调递增，过且.所以A选项错误.当时，过且单调递减，过点且单调递增，过且.所以B选项错误.综上所述，正确的选项为C.故选：C2.如图所示是下列指数函数的图象：(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.则a，b，c，d与1的大小关系是()A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c【答案】B【解析】可先分为两类，(3)(4)的底数一定大于1，(1)(2)的底数一定小于1，然后再由(3)(4)比较，c，d的大小，由(1)(2)比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B.【特别提醒】指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大．高频考点五：指数函数的性质及其应用【典例8】（2020·浙江高三月考）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】作差，对SKIPIF1<0分类讨论，利用指数函数的单调性即可求出.【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.综上所述：SKIPIF1<0故选：A【典例9】（2021·北京高三其他模拟）已知函数SKIPIF1<0则不等式SKIPIF1<0的解集是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】作出函数SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0的大致图象，数形结合即可求解.【详解】在同一坐标系中，作出函数SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0的大致图象，观察SKIPIF1<0的区域，由图象可知，在区间SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，由此SKIPIF1<0的解集SKIPIF1<0.故选：A【典例10】（2020·上海高三专题练习）函数的值域是_________.【答案】【解析】设

当时，有最大值是9；当时，有最小值是-9，，由函数在定义域上是减函数，

∴原函数的值域是故答案为【典例11】（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知函数的图像经过点，（1）求值；（2）求函数的值域；【答案】（1）（2）【解析】（1）函数的图像经过点（2）由（1）可知在上单调递减，则在时有最大值又函数的值域为【规律方法】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．4.简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．5.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．6.有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象和性质，数形结合求解．【变式探究】1.（2018年新课标I卷文）设函数fx=2−x ，A.−∞ ，  −1B.0【答案】D【解析】将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知会有2x<02x<x+1，解得x<0，所以满足fx+1<f2x的x的取值范围是2.