【2022-高考数学一轮复习(学科版)】考点18-等差数列(讲解)(解析版)

考点18等差数列【思维导图】【常见考法】考法一：定义的运用1.已知数列中，，，证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；【答案】【解析】因为，且，所以数列为首项为，公差为的等差数列.所以，即.2．已知数列中，，，数列满足。（1）求证：数列为等差数列。（2）求数列的通项公式。【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：由题意知，，又，故，又易知，故数列是首项为，公差为1的等差数列。（2）由（1）知，所以由，可得，故数列的通项公式为。考法二：中项性质1.等差数列，，，的第四项等于。【答案】9【解析】由题得.所以等差数列的前三项为0,3,6,公差为3，所以等差数列的第四项为9.2.等差数列的前项和为，若，则。【答案】9【解析】由等差数列性质可知：，解得：3．已知数列为等差数列，为其前项和，，则。【答案】21【解析】由等差数列的性质可得，.4．已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为。【答案】9【解析】因为，，且，，成等差数列，所以，因此，当且仅当，即，时，等号成立.5．在等差数列中，若为方程的两根，则。【答案】15【解析】为方程的两根，，由等差数列的性质得，即，.6．等差数列中，若，则的值是。【答案】16【解析】依题意，由，得，即所以7．在中，若，，成等差数列，，则当取最大值时，。【答案】2【解析】因为，，成等差数列所以所以由正弦定理得由余弦定理当且仅当时取等号，所以此时8．ΔABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若角A,【答案】3【解析】∵A,B因为a=1,b=3，∴由余弦定理得∴SΔABC9．已知，，且，，成等差数列，则有最小值。【答案】100【解析】由题意可知：，且：，由均值不等式有：，当且仅当时等号成立.10．设有四个数的数列,该数列前项成等比数列,其和为m,后项成等差数列,其和为.则实数m的取值范围为。【答案】【解析】设的前项为，由于数列的前项成等比数列,其和为m,后项成等差数列,其和为，所以，由（3）（4）得，所以即，先将（2）代入（1），然后将（3）代入（1）得，整理得.考法三：前n项和的性质1．设等差数列的前项和为，若，，则的值为。【答案】6【解析】因为，所以，故.2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则=。【答案】1【解析】∵等差数列{an}中，，∴，∴，．3.已知等差数列的前项和为，且，，则；【答案】60【解析】数列{an}为等差数列则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差数列．S10，S20-S10，S30-S20仍然成等差数列．因为在等差数列{an}中有S10=10，S20=30，所以S30=60．4.数列的通项公式为，要使数列的前项和最大，则的值为。【答案】13或12【解析】因为，所以数列是以为首项，公差的等差数列，所以由二次函数的性质可得：当或时，最大。5.若数列是等差数列，首项，，则使前项和成立的最大自然数是__________．【答案】【解析】由于等差数列首项，而，故公差，且，所以，，故使前项和成立的最大自然数是.故填：.6．是等差数列的前项和，，则时的最大值是。【答案】4034【解析】由所以所以可知等差数列是单调递增的,且前2017项均是负数，又即故当时，的最大值是40346．设等差数列的前项和，且，则满足的最大自然数的值为。【答案】12【解析】由,利用等差数列的性质可得：,又<0,>0，∴>0,<0.∴，则满足Sn>0的最大自然数n的值为12.考点四：实际运用1．《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日共走一千二百六十里，第一日､第四日､第七日所走之和为三百九十里，问第一日所走里数为。【答案】100【解析】由题意，该男子每日走的路程数构成等差数列，，，则，解得，，解得，所以公差，.2．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人12月营收贯数为。【答案】70【解析】设每个月的收入为等差数列{an}．公差为d．则a3=25，S12=510．∴a1+2d=25，12a1+d=510，解得a1=15，d=5，3．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1864人全部派遣到位需要的天数为。【答案】16【解析】根据题意设每天派出的人数组成数列，分析可得数列是首项，公差的等差数列，该问题中的1864人全部派遣到位的天数为，则，依次将选项中的值代入检验得，满足方程.4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的是最小的两份之和，则最小的一份的量是。【答案】【解析】由题意可得中间的那份为20个面包，设最小的一份为，公差为，由题意可得，解得.5．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共