新高考数学一轮复习10.4 双曲线（精练）（基础版）（解析版）

10.4双曲线（精练）（基础版）题组一题组一双曲线的定义及应用1．（2021·太原期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左右焦点，点P在该双曲线上，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．4 B．4或6 C．3 D．3或7【答案】D【解析】由双曲线定义知：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<03或7，故答案为：D.2．（2022郫都期中）双曲线SKIPIF1<0的两个焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，双曲线上一点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为11，则点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为（）A．1 B．21 C．1或21 D．2或21【答案】B【解析】不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为双曲线的左右焦点，当P在双曲线的左支时，由双曲线的定义可知，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0=11，所以SKIPIF1<0，当P在双曲线的右支时，由双曲线的定义可知，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0=11，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以右支上不存在满足条件的点P.故答案为：B.3．（2021怀仁期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左右焦点，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0的右支交于SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0的周长的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由双曲线SKIPIF1<0可知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0.SKIPIF1<0当SKIPIF1<0轴时，SKIPIF1<0的周长最小值为SKIPIF1<0故答案为：C4．（2022奉贤期中）已知SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0分别为双曲线的左、右焦点.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】5【解析】因为双曲线的渐近线方程为3x-y=0，即y=3x=SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得a=1，根据双曲线定义P是双曲线SKIPIF1<0右支上的一点，满足|PF1|-|PF2|=2a=2，所以|PF1|=|PF2|+2=5.故答案为：55．（2022·开封模拟）若双曲线SKIPIF1<0的焦距为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0．【答案】4或SKIPIF1<0【解析】当焦点在x轴时，可得m>0，2m−4>0，2m+2m−4=42当焦点在y轴时，可得m<0，2m−4<0，2−m+4−2m=42所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案为：4或SKIPIF1<06．（2022·岳普湖模拟）已知双曲线SKIPIF1<0，F1，F2是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆.则M的横坐标为，若F1到圆M上点的最大距离为SKIPIF1<0，则△F1PF2的面积为.【答案】1；SKIPIF1<0【解析】双曲线的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.设圆SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0相切于SKIPIF1<0，根据双曲线的定义可知SKIPIF1<0，根据内切圆的性质可知SKIPIF1<0①，而SKIPIF1<0②.由①②得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0到圆M上点的最大距离为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0在第一象限，解得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以△F1PF2的面积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：1；SKIPIF1<07．（2021温州期中）已知双曲线x2-y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则∣PF1∣+∣PF2∣的值为.【答案】SKIPIF1<0【解析】∵PF1⊥PF2，SKIPIF1<0∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．∵双曲线方程为x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12∴|PF1|+|PF2|的值为SKIPIF1<0故答案为SKIPIF1<0题组二题组二双曲线的离心率及渐近线1．（2021高三上·南开期末）已知双曲线SKIPIF1<0，过原点作一条倾斜角为SKIPIF1<0的直线分别交双曲线左、右两支于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，以线段SKIPIF1<0为直径的圆过右焦点SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为（）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设双曲线的左焦点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，如下图所示：由题意可知，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，也为SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0为矩形，故SKIPIF1<0，由已知可知SKIPIF1<0，由直角三角形的性质可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为等边三角形，故SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，由双曲线的定义可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故答案为：A.2．（2022湖南月考）已知双曲线的左焦点为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为双曲线右支上一点，SKIPIF1<0为坐标原点，满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】∵SKIPIF1<0，O为SKIPIF1<0的中点，∴△SKIPIF1<0为直角三角形，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴e＝SKIPIF1<0.故答案为：B.3．（2021·全国甲卷）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由|PF1|=3|PF2|，|PF1|-|PF2|=2a得|PF1|=3a，|PF2|=a在△F1PF2中，由|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cos60°解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故答案为：A4．（2022·靖远模拟）若双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线与直线y＝2围成了一个等边三角形，则C的离心率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】D【解析】由题意得：渐近线方程的斜率为SKIPIF1<0，又渐近线方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以C的离心率为SKIPIF1<0故答案为：D5．（2022·新乡三模）已知双曲线SKIPIF1<0的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为（）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】B【解析】因为双曲线C的顶点SKIPIF1<0到一条渐近线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，双曲线C的离心率SKIPIF1<0.故答案为：B6．（2022·湘赣皖模拟）已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，双曲线C上一点P到x轴的距离为c，且SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】作SKIPIF1<0轴于M，依题意SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等腰直角三角形，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由双曲线定义知SKIPIF1<0．而SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，双曲线离心率SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故答案为：C．7．（2022·济南二模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点，点P在双曲线上，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为.【答案】SKIPIF1<0【解析】不妨假设点P在双曲线右支上，则SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<08．（2022·汝州模拟）已知双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线所夹锐角为SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为．【答案】SKIPIF1<0【解析】由于SKIPIF1<0，双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以双曲线的渐近线与SKIPIF1<0轴夹角小于SKIPIF1<0，由，得SKIPIF1<0，则双曲线的离心率SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0题组三题组三双曲线的标准方程1．（2022·安徽模拟）与椭圆SKIPIF1<0共焦点且过点SKIPIF1<0的双曲线的标准方程为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】椭圆SKIPIF1<0的焦点坐标为SKIPIF1<0，设双曲线的标准方程为SKIPIF1<0，由双曲线的定义可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，双曲线的方程为SKIPIF1<0。故答案为：C.2．（2022合肥期末）已知点SKIPIF1<0分别是等轴双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为8，则双曲线SKIPIF1<0的方程为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以双曲线方程为SKIPIF1<0．故答案为：D．3．（2022资阳期末）已知双曲线SKIPIF1<0过三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中的两点，则SKIPIF1<0的方程为.【答案】SKIPIF1<0【解析】根据双曲线SKIPIF1<0的对称性可知，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在双曲线图像上，将其代入双曲线方程，所以8a2=1，16a2−4b2所以双曲线C：SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.4．（2022徐汇期末）已知双曲线经过点SKIPIF1<0，其渐近线方程为SKIPIF1<0，则该双曲线的方程为．【答案】SKIPIF1<0【解析】考虑到双曲线的实轴可能在x轴，也可能在y轴，分别设双曲线方程如下：实轴在x轴时，设双曲线方程为：SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0…①其渐近线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0…②联立①②，解得SKIPIF1<0，双曲线方程为SKIPIF1<0；实轴在y轴时，设双曲线方程为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0…③其渐近线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0…④联立③④，无解；故答案为：SKIPIF1<0.5．（2022河南月考）经过点SKIPIF1<0且与双曲线SKIPIF1<0有公共渐近线的双曲线方程为．【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意设所求双曲线的方程为SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0在双曲线上，∴SKIPIF1<0，∴所求的双曲线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。答案：SKIPIF1<0。6．（2022·湖北模拟）在平面直角坐标系中，已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上任意一点，线段SKIPIF1<0的垂直平分线与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0的方程为.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0的垂直平分线上，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由双曲线的定义知点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点，SKIPIF1<0为实轴长的双曲线，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<07．（2022·辽宁模拟）已知双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线方程为SKIPIF1<0，一个焦点到一条渐近线的距离为SKIPIF1<0，则双曲线的标准方程为.【答案】SKIPIF1<0【解析】【解答】因为渐近线方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，一个焦点到一条渐近线的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故双曲线标准方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<08．（2022·宁德模拟）若过点SKIPIF1<0的双曲线的渐近线为SKIPIF1<0，则该双曲线的标准方程是.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为双曲线的渐近线为SKIPIF1<0，故设其方程为SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在双曲线上，所以，SKIPIF1<0，即所求方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<09．（2022·广州模拟）写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程．①中心在原点，焦点在y轴上；②一条渐近线方程为SKIPIF1<0﹔③焦距大于10【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一，写出一个即可）【解析】由①中心在原点，焦点在y轴上知，可设双曲线方程为：SKIPIF1<0由②一条渐近线方程为SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0由③知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则可取SKIPIF1<0（此处也可取大于SKIPIF1<0的其他数）又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0则同时满足下列性质①②③的一个双曲线方程为：SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0（答案不唯一，写出一个即可）.题组四题组四直线与双曲线的位置关系1．（2022·全国·课时练习）已知直线l的方程为SKIPIF1<0，双曲线C的方程为SKIPIF1<0.若直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】联立SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的右支交于不同的两点，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数k的取值范围为SKIPIF1<0.故选：D.2．（2022·全国·课时练习）直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0上支的交点个数为______．【答案】2【解析】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与双曲线上支的交点个数为2．故答案为：23．（2022·全国·课时练习）直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的交点坐标为______．【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0代入直线得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以直线与双曲线的交点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<04．（2022·全国·高三专题练习）直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0没有交点，则SKIPIF1<0的取值范围为_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意，双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为：SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0过原点且与双曲线SKIPIF1<0没有交点，故需满足SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<05．（2022·全国·专题练习）双曲线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交点的个数为_____.【答案】1【解析】联立方程可得SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故方程组有且只有一组解，故双曲线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0有且只有一个交点.故答案为：16．（2022·四川·仁寿一中）若直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0始终只有一个公共点，则SKIPIF1<0取值范围是_____________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<07．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））设直线l：SKIPIF1<0与双曲线C：SKIPIF1<0相交于不同的两点A，B，则k的取值范围为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】联立SKIPIF1<0消去y：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，又直线SKIPIF1<0不与渐近线SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题组五题组五弦长与中点弦1．（2022·四川·射洪中学）直线l交双曲线SKIPIF1<0于A，B两点，且SKIPIF1<0为AB的中点，则l的斜率为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0为AB的中点，则有SKIPIF1<0，又点A，B在双曲线上，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则l的斜率SKIPIF1<0，此时，直线l的方程：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去y并整理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即直线l与双曲线交于两点，所以l的斜率为2.故选：C2．（2022·全国·专题练习）双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0被斜率为SKIPIF1<0的直线截得的弦SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0则双曲线SKIPIF1<0的离心率为______.【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0将SKIPIF1<0两点坐标代入双曲线方程得：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0将上述两式相减可得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<03．（2022·全国·课时练习）过双曲线SKIPIF1<0的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，所以直线l的方程为SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<04．（2021·云南）已知双曲线3x2﹣y2＝3，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，若P为AB的中点．(1)求直线AB的方程；(2)求弦AB的长．【答案】(1)6x﹣y﹣11＝0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)设A（x1，y1），B（x2，y2），P（2，1），则3x12﹣y12＝3，3x22﹣y22＝3，两式相减得6（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）＝0，从而直线的斜率为6，故所求直线方程为6x﹣y﹣11＝0；(2)6x﹣y﹣11＝0与双曲线3x2﹣y2＝3联立，消去y，可得33x2﹣132x+124＝0，∴x1+x2＝4，x1x2S