立体几何复习

立体几何总结空间点、直线、平面之间的位置关系基础梳理1.平面的基本性质名称

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符号语言公理1如果一条直线上有两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内

公理2经过不在同一条直线上的三个点确定一个平面

A、B、C不共线A、B、C∈平面α且α是唯一的公理3如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线

若P∈α,P∈β,则α∩β=a,且P∈a公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行若a∥b,b∥c,则a∥c公理2的推论推论1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面若点A直线a,则A和a确定一个平面α推论2两条相交直线确定一个平面a∩b=P有且只有一个平面α,使aα,bα推论3两条平行直线确定一个平面a∥b有且只有一个平面α,使aα,bα2.空间直线与直线的位置关系(1)位置关系相交共面①共面与否平行异面一个公共点:相交②公共点个数平行无公共点异面(2)公理4(平行公理):平行于同一直线的两条直线互相平行.(3)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.（4）异面直线的夹角①定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线a′∥a,b′∥b，我们把两相交直线a′、b′所成的角叫做异面直线a、b所成的角（或夹角）.②范围：θ∈（0,].特别地，如果两异面直线所成的角是，我们就称这两条直线垂直，记作a⊥b.3.空间中的直线与平面的位置关系直线在平面内——有无数个公共点直线与平面相交——有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行——无公共点4.平面与平面的位置关系平行——无公共点相交——有且只有一条公共直线典例分析题型一点、线、面的位置关系【例1】下列命题:①空间不同三点确定一个平面;②有三个公共点的两个平面必重合;③空间两两相交的三条直线确定一个平面;④三角形是平面图形;⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形;⑥垂直于同一直线的两直线平行;⑦一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交;⑧两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是_______.解由公理2知,不共线的三点才能确定一个平面,所以命题①、②均错,②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时);③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点,则这三线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面;④正确;⑤中平行四边形及梯形由公理2的推论及公理1可得必为平面图形,而四边形有可能是空间四边形;如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,直线BB′⊥AB,BB′⊥BC,但AB与BC不平行,所以⑥错;AB∥CD,BB′∩AB=B,但BB′与CD不相交,所以⑦错;四边形AD′B′C中,AD′=D′B′=B′C=CA,但它不是平行四边形,所以⑧也错.题型二证明三点共线【例2】已知△ABC的三个顶点都不在平面α内,它的三边AB、BC、AC延长后分别交平面α于点P、Q、R.求证:P、Q、R三点在同一条直线上.分析要证明P、Q、R三点共线,只需证明这三点都在△ABC所在的平面和平面α的交线上即可.证明由已知条件易知,平面α与平面ABC相交.设交线为,即=α∩面ABC.∵P∈AB,∴P∈面ABC.又P∈AB∩α,∴P∈α,即P为平面α与面ABC的公共点,∴P∈.同理可证,点R和Q也在交线上.故P、Q、R三点共线于.3.在正方体ABCD-中,E是AB的中点,F是的中点.求证:E、F、、C四点共面.证明如图，连接,EF,.∵E是AB的中点,F是的中点,∴EF∥.∵∥,∴EF∥.故E、F、、C四点共面.题型三证明点线共面题型四异面直线及其所成角的问题4.在四面体A-BCD中，AB=CD，且其所成的角是60°，点M，N分别是BC，AD的中点.求直线AB与MN所成的角的大小.解析如图，取BD中点E，连接NE，EM，则ENAB,EMCD,故△EMN为等腰三角形，由条件∠MEN=60°，∴△EMN为等边三角形，且∠ENM即为AB与MN所成的角，∴∠ENM=60°.一、线线平行的证明方法：1、利用平行四边形。4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行的性质定理）5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（线面垂直的性质定理）6、平行于同一条直线的两条直线平行。3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（线面平行的性质定理）2、利用三角形或梯形的中位线。直线、平面平行的判定及其性质二、线面平行的证明方法：1、定义法：直线与平面没有公共点。2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（线面平行的判定定理）3、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。三、面面平行的证明方法：1、定义法：两平面没有公共点。2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（面面平行的判定定理）3、平行于同一平面的两个平面平行。4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。5、垂直于同一直线的两个平面平行。典例分析题型一线线平行【例1】已知四边形ABCD是空间四边形,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.分析若证四边形是平行四边形,只需证一组对边平行且相等或两组对边分别平行即可.证明如图,连接BD.∵EH是△ABD的中位线,∴EH∥BD,EH=BD.又∵FG是△CBD的中位线,∴FG∥BD,FG=BD.∴FG∥EH,且FG=EH,∴四边形EFGH是平行四边形.题型二线面平行【例2】如图,正方体ABCD-中,侧面对角线上分别有两点E,F,且.求证:EF∥平面ABCD.证明方法一:过E作EM⊥AB于M,过F作FN⊥BC于N,连接MN(如图)，则EM∥,FN∥,∴EM∥FN.∵∴AE=BF,∴EM=FN,∴四边形EMNF是平行四边形,∴EF∥MN.又∵EF平面ABCD,MN平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.方法二:连接,并延长交BC的延长线于点P,连接AP(如图).∽△PFB,又∵EF平面ABCD,AP平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.方法三:过点E作EH⊥于点H,连接FH(如图)，则EH∥AB,∵EH∩FH=H,∴平面EFH∥平面ABCD.∵EF平面EFH,∴EF∥平面ABCD.题型三面面平行【例3】如图,正方体ABCD-的棱长为1.求证:平面∥平面证明方法一:

四边形为平行四边形方法二:易知和确定一个平面,于是,四、线线垂直的证明方法：1、勾股定理。2、等腰三角形。3、菱形对角线。5、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直。6、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直8、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。4、圆所对的圆周角是直角。直线、平面垂直的判定及其性质 五、线面垂直的证明方法：1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。2、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（线面垂直的判定定理）3、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直的性质定理）4、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。5、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面。6、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面。7、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。8、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。六、面面垂直的证明方法：1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（面面垂直的判定定理）3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。典例分析题型一线线垂直【例1】如图,α∩β=CD,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,求证:CD⊥AB.证明∵α∩β=CD,∴CDα,CDβ.又∵EA⊥α,CDα,∴EA⊥CD,同理EB⊥CD.∵EA⊥CD,EB⊥CD,EA∩EB=E,∴CD⊥平面EAB.∵AB平面EAB,∴AB⊥CD.题型二线面垂直【例2】如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.求证:(1)BC⊥平面PAB;(2)AE⊥平面PBC;(3)PC⊥平面AEF.证明

(1)PA⊥平面ABCPA⊥BCAB⊥BCBC⊥平面PAB.PA∩AB=A(2)AE平面PAB,由(1)知AE⊥BCAE⊥PBAE⊥平面PBC.PB∩BC=B(3)PC平面PBC,由(2)知PC⊥AEPC⊥AFPC⊥平面AEF.AE∩AF=A题型三面面垂直【例3】如图所示,在斜三棱柱-ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面⊥底面ABC.(1)若D是BC的中点,求证:AD⊥;(2)过侧面的对角线的