抛物线及其标准方程 省赛获奖

第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线及其标准方程德化三中涂良木生活中存在着各种形式的抛物线我们对抛物线已有了哪些认识？yxo

二次函数是开口向上或向下的抛物线。问题探究：当|MF|=|MH|

，点M的轨迹是什么？探究？

可以发现,点M随着H运动的过程中,始终|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)M·Fl·e=1我们把这样的一条曲线叫做抛物线.M·Fl·e=1

在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点,直线l叫抛物线的准线|MF|=dd为M到l的距离准线焦点d抛物线的定义:想一想如果点F在直线l上，满足条件的点的轨迹是抛物线吗？抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)_________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的_____，直线l叫做抛物线的_____．试一试：在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？提示当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．1．距离相等焦点准线抛物线定义的理解(2)在抛物线的定义中，定点F不能在直线l上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．如到点F(1，0)与到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y－1＝0，轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线．1．如何建立直角坐标系？想一想探索研究推出方程求曲线方程的基本步骤·FL.FM.抛物线的标准方程：设|FK|=p(p>0),M(x,y)由抛物线定义知：|MF|=d即：.，叫作焦点在X轴正半轴上的抛物线的标准方程.说明：

焦点到准线的距离.x它所表示的抛物线的焦点Ｆ在x轴的正半轴上，坐标是（），它的准线方程是.yoLFp的几何意义:

已知抛物线的标准方程，

求其焦点坐标和准线方程.

标准方程焦点坐标准线方程巩固练习1抛物线的标准方程抛物线的焦点坐标和准线方程:关键：确定P的值反思总结.，叫作焦点在X轴正半轴上的抛物线的标准方程.xyoLF一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.想一想:抛物线的位置及其方程还有没有其它的形式？FlFlFlFl

问题：仿照前面求抛物线标准方程的方法，你能建立适当的坐标系，求下列后三幅图中抛物线的方程吗?(1)(2)(3)(4)

图

形焦点位置标准方程焦点坐标准线方程

不同位置的抛物线标准方程

x轴的正方向

x轴的负方向

y轴的正方向

y轴的负方向y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(----（P＞0）抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程___________________________________________________________________________________________________2．y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)抛物线方程左右型标准方程为y2=±2px(p>0)开口向右:y2=2px(x≥0)开口向左:y2=-2px(x≤0)标准方程为x2=±2py(p>0)开口向上:x2=2py(y≥0)开口向下:x2=-2py(y≤0)抛物线的标准方程上下型1、抛物线的焦点位置看一次，系数正时正半轴，系数负时负半轴。2、一次项的系数除以4给焦点，相反给准线。【小结】练习1：请判断下列抛物线的开口方向练习2：请判断下列抛物线的焦点坐标F(0,8)F(0,)F(-8,0)F(,0)F(0,)F(,0)是一次项系数的练习3：请判断下列抛物线的准线方程F(0,8)F(0,)F(-8,0)F(,0)F(0,)F(,0)是一次项系数的的相反数▲如何确定各曲线的焦点位置？抛物线：1.看一次项(X或Y)定焦点

2.一次项系数正负定开口椭圆：看分母大小双曲线：看符号P66思考：

二次函数的图像为什么是抛物线？当a>0时与当a<0时，结论都为：例1

已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；解:∵2P=6,∴P=3∴抛物线的焦点坐标是（，0）准线方程是x=是一次项系数的是一次项系数的的相反数例2已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）求它的标准方程。解:因为焦点在y的负半轴上,所以设所求的标准方程为x2=-2py

由题意得，即p=4∴所求的标准方程为x2=-8y（课本67页练习1）根据下列条件写出抛物线的标准方程；（1）焦点是（3，0）； （2）准线方程是x=-；（3）焦点到准线的距离是2；y2=12xy2=xy2=4xy2=-4xx2=4yx2=-4yF（5，0）F（0，-2）x=-5y=2y=-（课本67页练习2）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）y2=20x（2）x2=y（3）2y2+5x=0（4）x2+8y=0F（0，）x=F（-，0）题型一求抛物线的标准方程

分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点A(2，3)；（2）焦点到准线的距离为5/2；【例3】[思路探索]式求抛物线方程要先确定其类型，并设出标准方程，再根据已知求出系数p.若类型不能确定，应分类讨论．(1)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点A(2，3)的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3，小结：