基本不等式 省赛获奖

§3.4基本不等式:(一)新课引入ab问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积和是S’=———问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积为S=————，问3：S与S’有什么样的关系？从图形中易得，s>s’,即问题1：s,

S’有相等的情况吗？何时相等？

图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有

形的角度数的角度

当a=b时

a2+b2－2ab

=(a－b)2=0ADBCEFGHab不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。ABCDE(FGH)ab

如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”）证明：1．指出定理适用范围：2．强调取“=”的条件：定理：

如果a,b∈R+，那么

（当且仅当a=b时，式中等号成立）证明：∵∴

即：当且仅当a=b时均值定理：注意：1．适用的范围：a,b

为非负数.2．语言表述：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数。称为a，b的算术平均数，3.我们把不等式(a≥0,b≥0)称为基本不等式称的几何平均数。为a，b把看做两个正数a，b的等差中项，看做正数a，b的等比中项，那么上面不等式可以叙述为：

两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。几何直观解释：令正数a，b为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为和的两条线段，然后比较这两条线段的长。具体作图如下：（4）连接AC，BC，CA，则当a≠b时，OC>CD，即当a=b时，OC=CD，即（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b,（2）以AB为直径作半圆O；（3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C例1．已知ab>0，求证：，并推导出式中等号成立的条件。证明：因为ab>0，所以，根据均值不等式得即当且仅当时，即a2=b2时式中等号成立，因为ab>0，即a，b同号，所以式中等号成立的条件是a=b.例2．（1）一个矩形的面积为100m2，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长是36m，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？解：（1）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，依题意有xy=100(m2)，因为x>0，y>0，所以，因此，即2(x+y)≥40。当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=10。因此，当这个矩形的长与宽都是10m时，它的周长最短，最短周长是40m.（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，依题意有2(x+y)=36，即x+y=18，因为x>0，y>0，所以，因此将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81,当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的面积最大，最大值是81m2。规律：

两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；

两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。应用要点：一正二定三相等（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ab=36∴当a=b=6时，和a+b最小为12∵∵a+b=18∴当a=b=9时，积ab最大为81【应用练习】

1.已知x>0,y>0,xy=24,求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值．4.已知x>0,y>0,且x+2y=1,求的最小值．2.已知