2023届高考数学考前训练题及答案解析

2023年高考数学考前训练题

1.如图，在棱长为1的正方体中，E为线段小田的中点，F为线段48

的中点.

(1)求直线尸C到平面/EG的距离；

(2)求平面AEC\与平面EFCC\所成锐二面角的余弦值.

【分析】(1)以以为原点，D\A\,D\C\,OiD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建

立如图所示的空间坐标系，求出EC】=(一1,士,0),尸C=(-l,云0)，推出FC〃E。，

得到尸C〃平面AECy，点F到平面AEC\的距离即为直线FC到平面AEC\的距离，求出

平面的法向量,4F=(0,0),然后利用空间向量的数量积求解点尸到平面/EC

的距离.

(2)求出平面EFCC\的法向量，利用空间向量的数量积求解平面AEC\与平面EFCCi

所成锐二面角的余弦值即可.

【解答】解：(1)以5为原点，功小，D\C\,QiD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示的空间坐标系，

则/(1,0,1),C(0,1,1),Ci(0,1,0),E(L0),F(L1).

：.AE=(0,-1),ECI=(-1,0),FC=(-1,0),

AF=(0,今，0),EF=(0,0,1).

VFC=B1C1=(-1,10).

：.FC//EC\,，尸C〃平面4ECi，

・・・点厂到平面4EG的距离即为直线产。到平面的距离，

设平面AEG的法向量为1=(x,y,z),则，与一°

n-EC1=0

J^y-z=0,(2x=y

•1一+就=(r"y=2z，

取z=l,则x=l,y—2,'.n=(1,2,1),

又第1=(0,I，0),

|(O,I，0)-(1,2,1)|V6

；•点F到平面AEC\的距离为"型=

|n|•\/66

(2)设平面EFCC\的法向量为藐=Qi，Zi),贝IJ?-EF=0

m•EC1=0

z】=°,"Zi=0

—%i+2%=ob71=2%i

取用=1,则yi=2,・,•薪=(L2,0),

TT/

_m-n_5_V30

/.cos{m,

切=版=7^=丁

平面AEC\与平面EFCC\所成锐二面角的余弦值”.

6

【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断，点到平面的距离的

求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力.

2.如图，四棱锥尸-48CD中，底面/BCD是边长为1的正方形，PB=PC=1,E为/。中

1

点，PE=^.

(1)求证：平面处。J_平面P8C；

(2)求CP与平面所成角的正弦值.

【分析】(1)取BC的中点尸，连接£尸，PF,利用勾股定理证明PELPR从而可证明

8C_L平面PER则8cl.P£,进一步得到尸E_L平面P8C,由此即可证明结论；

(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数

法求出平面PAB的法向量，由向量的夹角公式求解即可.

【解答】(1)证明：取8C的中点尸，连接EF,PF,

因为P8=PC=1,底面N8C。是边长为1的正方形，£为的中点，

所以£7:\LBC,BCLPF,PF=y/PC2-CF2=EF=\,

i

又因为P£=与

所以PF2+PE2=E卢,则PELPF,

又EFCPF=F,EF,PEu平面PEF,

所以8C_L平面PER又PEu平面PEF,

贝|J8C_LPE,又PFCBC=F,PF,8Cu平面。8C,

所以PE_L平面必C,又PEu平面心O,

故平面均。，平面PBC-,

(2)解：过点尸作交EF于点0,

由(1)可知，平面尸£7口_平面ABCD,又平面PEFQ平面ABCD=EF,

贝I]PO_L平面/8处

在RtZkPEF中，PE'PF=EF'PO,解得P。=£,

所以E0=y/PE2-P02=小OF=EF-EO=本

以点O为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，

则P(0,0,务％,V，0),BG,0),C(-1,0),

所以PC=(-,，一?)，P"=(；，—A8=(0,110),

设平面RIB的法向量为I=Q,y,z）,

（t-（y=0

则里？=0,即11只

^PA-n=0（2X~4y~~4z=0

令z=l,则x=除，y=0,

故71=，0,1）,

..AT、|\PC-n\得x（T）+lx（一*）|V21

所GR以I.1|cosVPC，n>|=/J=

|PC||n|3+4+/x成+l

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判

定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将

空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.

3.如图几何体中，AA\,BB\,CCi都垂直于底面/181C1,己知小囱=8iCj=1,ZA\B\C\

=90°,AA\=\,88i=2,CC\=3.

（1）求该几何体的体积；

（2）求平面N8C与平面小囱。所成锐二面角的余弦值.

瓦1

4

【分析】(1)原几何体补形得一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，利用体积转化求

解即可.

(2)建立空间直角坐标系，求出平面N8C的法向量，平面小BiCi的一个法向量利用空

间向量的数量积求解二面角的平面角的余弦函数值即可.

【解答】解：(1)如图所示，原几何体补形得一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，

-_**_1°1(l+2)xld_3

川V几何体ABC-A、B\C1~V三棱柢FC-A\B1C\一丫四棱锥C-AEFB=2X3-321~2~

(2)建立如图所示的空间直角坐标系,

设平面/8C的法向量为i=(x,y,z),AB=(-1,0,1),BC=(0,1,1),

；：：：1°=取京=(1,-1,1),平面381cl的一个法向量为蓝=(0,