新教材高中数第6章平面向量及其应用643第3课时余弦定理正弦定理应用举例训练含解析新人教A版必修第二册

PAGE6.4.3余弦定理、正弦定理第3课时余弦定理、正弦定理应用举例课后·训练提升基础巩固1.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆,甲观测的仰角为50°,乙观测的仰角为40°,用d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有(忽略两人的身高差距)()A.d1>d2 B.d1<d2 C.d1>20m D.d2<20m解析仰角大说明距离小,仰角小说明距离大,即d1<d2.答案B2.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4m,∠A=30°,则其跨度AB的长为()A.12m B.8m C.33m D.43m解析由题意知,∠A=∠B=30°,所以∠C=180°-30°-30°=120°,由正弦定理,得ABsin即AB=AC·sinCsin答案D3.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68nmile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为()A.1762nmile/h B.34C.1722nmile/h D.34解析如图所示,在△PMN中,由正弦定理,得PMsin45∴MN=346,∴v=MN4=1762答案A4.若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°,此人往金字塔方向走了80米到达点B,测得金字塔顶端的仰角为45°,则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)(参考数据3≈1.732)()A.110米 B.112米 C.220米 D.224米解析如图,设CD为金字塔,AB=80米.设CD=h,则由已知得(80+h)×33=h,h=40(3+1)≈109(米).选项A最接近.故选A答案A5.海上的A,B两个小岛相距10nmile,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B岛与C岛之间的距离是()A.103nmile B.106C.52nmile D.56nmile解析由题意,作出示意图,如图,在△ABC中,C=180°-60°-75°=45°.由正弦定理,得BCsin60°=10sin45°,解得BC=答案D6.如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点A,B到点C的距离,已知AC=BC=1km,且∠ACB=120°,则A,B两点间的距离为()A.3km B.2km C.1.5km D.2km解析根据余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC,∴AB=AC2+BC2-答案A7.某人从A处出发,沿北偏东60°行走33km到B处,再沿正东方向行走2km到C处,则A,C两地的距离为km.

解析如图所示,由题意可知AB=33,BC=2,∠ABC=150°.由余弦定理,得AC2=27+4-2×33×2×cos150°=49,则AC=7.故A,C两地的距离为7km.答案78.坡度为45°的斜坡长为100m,现在要把坡度改为30°,则坡底要伸长m.

解析画出示意图,如图所示.BD=100,∠BDA=45°,∠BCA=30°,设CD=x,则(x+DA)·tan30°=DA·tan45°,又DA=BD·cos45°=100×22=502所以x=DA·tan45°tan30°-DA=502×13答案50(6-9.一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫,然后向右转105°,爬行10cm捕捉到另一只小虫,这时它向右转135°爬行回它的出发点,那么x=cm.

解析如图所示,设蜘蛛原来在O点,先爬行到A点,再爬行到B点,易知在△AOB中,AB=10cm,∠OAB=75°,∠ABO=45°,则∠AOB=60°.由正弦定理知,x=AB·sin∠答案1010.如图,C,D两点与烟囱底部A在同一水平直线上,利用高为1.5m的测角仪器,在点C1,D1处测得烟囱顶部B的仰角分别是α=45°和β=60°,点C,D间的距离是12m.计算烟囱的高.(结果精确到0.01m)解如图,延长C1D1,交AB于点A1,在△BC1D1中,∠BD1C1=180°-60°=120°,∠C1BD1=60°-45°=15°,由正弦定理,得C1所以BC1=C1D1·sin∠BD从而A1B=22BC1=(18+63因此AB=A1B+AA1=18+63+1.5≈29.89(m).即烟囱的高约为29.89m.11.如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60m,求建筑物的高度.解设建筑物的高度为h,由题图知,PA=2h,PB=2h,PC=233∴在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理,得cos∠PBA=602cos∠PBC=602∵∠PBA+∠PBC=180°,∴cos∠PBA+cos∠PBC=0.③由①②③,解得h=306或h=-306(舍去),即建筑物的高度为306m.能力提升1.如图,从气球A上测得其正前下方的河流两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度AD是60m,则河流的宽度BC是()A.240(3-1)m B.180(2-1)mC.120(3-1)m D.30(3+1)m解析由题意知,在Rt△ADC中,∠C=30°,AD=60m,∴AC=120m.在△ABC中,∠BAC=75°-30°=45°,∠ABC=180°-45°-30°=105°,由正弦定理,得BC=ACsin∠BACsin∠ABC=120×答案C2.起重机装置示意图如图所示,已知支杆BC=10m,吊杆AC=15m,吊索AB=519m,起吊的货物与岸的距离AD为()A.30m B.153C.153m D.45m解析在△ABC中,AC=15m,AB=519m,BC=10m,由余弦定理得cos∠ACB=A=152+1∴sin∠ACB=32又∠ACB+∠ACD=180°,∴sin∠ACD=sin∠ACB=32在Rt△ADC中,AD=AC·sin∠ACD=15×32=15答案B3.如图所示,要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度,在塔的同一侧选择C,D两个观测点,且在C,D两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得∠BCD=120°,C,D两地相距500m,则电视塔AB的高度是()A.1002m B.400m C.2003m D.500m解析设AB=x,在Rt△ABC中,∠ACB=45°,∴BC=AB=x.在Rt△ABD中,∠ADB=30°,∴BD=3x.在△BCD中,∠BCD=120°,CD=500m,由余弦定理得(3x)2=x2+5002-2×500xcos120°,解得x=500m.答案D4.如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东45°,与观测站A距离202海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处,且cosθ=45.已知A,C两处的距离为10海里,则该货船的船速为(A.485海里/时 B.385海里/时C.27海里/时 D.46海里/时解析因为cosθ=45,0°<θ<45°,所以sinθ=35,cos(45°-θ)=22×45+22×35=7210.在△ABC中,BC2=(202)2+102-2×202×10×7答案A5.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使点C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D,测得∠BDC=45°,若AB⊥平面BCD,则塔AB的高是m.

解析在△BCD中,CD=10m,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∴∠DBC=30°.由正弦定理得,BCsin45∴BC=CDsin45°sin30°=在Rt△ABC中,tan60°=ABBC∴AB=BC·tan60°=106(m).答案1066.甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距anmile,乙船正向北行驶,若甲船的速度是乙船的3倍,则甲船应沿方向行驶才能追上乙船;追上时甲船行驶了nmile.

解析如图所示,设在C处甲船追上乙船,乙船到C处用的时间为t,乙船的速度为v,则BC=tv,AC=3tv,又B=120°,则由正弦定理BCsin∠CAB=AC∴sin∠CAB=12,∴∠CAB=30°,∴甲船应沿北偏东30°方向行驶.又∠ACB=180°-120°-30°=30°,∴BC=AB=an∴AC=A=a2+a2-答案北偏东30°3a7.海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离为126nmile;在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30°,距离为83nmile;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在其东偏南30°,求:(1)A处与D处之间的距离;(2)灯塔C与D处之间的距离.解由题意,画出示意图.(1)在△ABD中,由已知得∠ADB=60°,B=45°,AB=126nmile.由正弦定理得AD=ABsin60°sin45°=24(n(2)在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos30°=242+(83)2-2×24×83×3故CD=83(nmile).答:(1)A处与D处之间的距离为24nmile;(2)灯塔C与D处之间的距离为83nmile.8.在某次地震时,震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座城市B,C,D,三座城市在同一直线上.已知B,C两市相距20km,C,D两市相距34km,C市在B,D两市之间,如图所示.某时刻C市感到地表震动,8s后B市感到地表震动,20s后D市感到地表震动.已知震波在地表传播的速度为1.5km/s,求震中A到B,C,D三市的距离.解由题意可知,在△ABC中