实际问题与二次函数 省赛获奖

上杭五中林清华22.3实际问题与二次函数（1）图形面积问题

学习目标掌握图形面积问题中变量之间的二次函数关系，会运用二次函数的顶点坐标求出图形面积的最大值（或最小值）．

学习重点

探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法．练习：求下列函数的最大值或最小值。理论知识重要例题：分别在下列各范围内求函数

y=x2+2x－3的最值(1)

x为全体实数(2)1≤x≤2(3)－2≤x≤2x0-2y2-11-3x=-15-4-3例1：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l

的变化而变化。当l

是多少时，场地的面积最大？解：矩形场地的周长是60m，一边长为l

，则另一边长为（30-l)m

依题意，得：

可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.即l是15m时，场地的面积S最大.（S=225㎡)51015202530100200lsO抛物线的对称轴恰好在题目限定的自变量的范围内，则二次函数的最大值就是所求的最大面积.（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.解决这类题目的一般步骤例2:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积。

ABCD解：

(1)∵AB为x米、篱笆长为24米∴花圃长为（24－4x）米(3)∵墙的可用长度为8米

∴S＝x（24－4x）＝－4x2＋24x∴0<24－4x≤8，4≤x<6∴当x＝4时，S最大值＝32平方米xxxx（0<x<6）24－4x抛物线的对称轴不在题目限定的自变量的范围内，则要结合二次函数的增减性求出最大面积.例3：在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6,今在四边上分别选取E、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？DCABGHFE106解：设花园的面积为y则y=60-x2–(10-x)(6-x)=-2x2+16x（0<x<6）=-2(x-4)2+32

所以当x=4时，花园的最大面积为32xxxx10-x10-x6-x6-x····例4：如图，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°，点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，几秒后ΔPBQ的面积最大？最大面积是多少？ABCPQ861cm／s2cm／sx8-2x2x设经过x秒后，ΔPBQ的面积为ycm2(0<x<4)解：设经过x秒后,ΔPBQ的面积ycm2AP=2x

cm,PB=(8-2x

)cm

QB=x

cm则y=x(8-2x)=-x2+4x=-(x2-4x

+4

-4)=-(x-2)2+4所以，当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大,最大面积是4cm2（0<x<4）ABCPQx2x8-2x例5：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；t为何值时S最小？求出S的最小值。QPCBAD6121cm/s2cm/st2t6-t

例6:如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D。(1)设AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式；(2)当AP的长为何值时，S△PCQ=S△ABC

解：(1)∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相同∴AP=CQ=x当P在线段AB上时DQPCBA2-xxx22当P在线段AB的延长线上时

DACBPQxx-2x(2)当S△PCQ＝S△ABC时，有

＝２此方程无实根②＝２

∴x1=1+,x2=1－(舍去)∴当AP长为1+时，S△PCQ＝S△ABC

22(2)当AP的长为何值时，S△PCQ=S△ABC

1.审清题意;“二次函数应用”的思路

回顾本节“最大面积”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;3.用数学的方式表示出它们之间的关系;4.求解;5.检验结果的合理性,作答.小结：解决最大面积问题的一般步骤是什么？老师提醒：

确定二次函数关系式后，应该写出相应的自变量取值范围，这