条件概率与事件独立性综述

条件概率与事件独立性综述2023/12/122第三章条件概率与事件的独立性第一节条件概率2023/12/123例:一个家庭有两个小孩，求下列事件的概率.(1)事件A为“至少有一个女孩”发生的概率.(2)在事件B为“至少有一个男孩”发生的条件下，事件A发生的概率.2023/12/124一、条件概率的概念含义：在事件B发生的条件下，另一事件A发生的概率，对于古典概型，如图所示，有称为在事件B发生条件下事件A的条件概率，2023/12/125即把B作为新的样本空间.缩减样本空间法条件概率的定义：对于古典概型，条件概率可以如下计算：2023/12/126例1设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;（2）求第二次取到红球的概率；（3）求两次均取到红球的概率.设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球思考：任一次取到红球的概率都相同吗？2023/12/127二、

概率乘法公式注：（1）由条件概率定义直接可推出，（2）由（1）可推出.2023/12/128例2一批零件共有100个，其中10个不合格品，从中不放回抽取，每次一个，求第三次才取到不合格品的概率.解：记Ai表示“第i次取出的为不合格品”，则所求概率为2023/12/129第二节

全概率公式例设有两个口袋，甲袋装有2个白球、3个红球；乙袋装有4个白球、2个红球.现从甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋取出一球.求从乙袋取出白球的概率.分析：对于较复杂事件概率的计算，首先要选择适当的符号把已知、所求事件表示出来；再根据概率法则、性质进行计算.解：设A——从甲袋取出白球；B——从乙袋取出白球；所求问题是什么？2023/12/1210P(B)的取值显然与P(A)有关系，且P(A)

=2/5.另外，在A发生与否的条件下，B发生的条件概率可求.利用乘法公式可以计算：即有2023/12/1211

全概率公式其中B1，B2，…，Bn为样本空间的一个分割（或称划分、完备事件组），则对任一事件A，有：

注：①全概率公式解决的问题是，由A的条件概率求A的概率（部分→整体）.②常用形式③条件可减弱为2023/12/1212例1某工厂两个车间生产相同型号的的产品，生产的产品混合放在一个仓库里。第一车间产品的次品率为0.15；第二车间产品的次品率为0.12；且两个车间产品的数量比是2：3.现从仓库里任取出一件产品，求它是次品的概率.解：记Ａ——取出的一件是次品；2023/12/1213例2〔摸彩模型或抽签问题〕设n张彩票中有k张中奖券，求第二人（任一人）摸到中奖券的概率.类似可求出第3、4…人摸到中奖券的概率.2023/12/1214例2〔摸彩模型或抽签问题〕设n张彩票中有k张中奖券，求第二人（任一人）摸到中奖券的概率.注：对于摸彩、抽签等问题中全概率的计算，直接利用古典概率方法，可以简化计算.任一人摸中概率都相同2023/12/1215例

某地区居民的肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是存在错误的.已知患有肝癌的人其化验结果99％呈阳性（有病），而没有患肝癌的人其化验结果99.9％呈阴性（无病）.现某人的检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率是多大？解：设B为“被检查者患有肝癌”，A为“检查结果呈阳性”，则由题意知所求问题是？第三节贝叶斯公式（逆概率公式）2023/12/12162023/12/1217补充说明若对首次检查结果呈阳性的人再次复查，这时，P(B)＝0.284，代入上式计算可得：第二次检查又呈阳性的人患肝癌的概率则为0.997,说明了此检查方法的有效性.若把B“患病”看作“原因”,把A“阳性”看作“结果”.由产生的结果对原因重新认识〔修正〕.2023/12/1218贝叶斯公式（逆概率公式）2023/12/1219例1〔狼来了〕通过计算说明为什么村民后来不再信他呢？2023/12/1220补充说明这里，称为先验概率，即原来村民对他的印象.称为后验概率，即小孩撒谎一次后，村民对他的新印象.若小孩再次撒谎，则以

替换作为先验概率，代入上述计算公式，从而得到在实际生活中，人们总是根据已发生的结果，不断地用后验概率去修正先验概率.2023/12/1221第四节事件的独立性2023/12/1222一、两个事件的独立性1、独立性的一般含义事件A与事件B发生的概率没有关系、影响.2、定义设A、B是两事件，若满足

P(AB)＝P(A)P(B) 则称事件A与B相互独立.2023/12/1223例1在52张扑克牌中任取一张，记A为“取到黑桃”，B为“取到爱司”，A、B是否独立？例2在有三个小孩的家庭，记A为“男女都有”，B为“至多一个女孩”，A、B是否独立？

2023/12/1224补充说明（1）独立性的判定必须严格按定义来确定，而不能凭主观想像和猜测，也不能与互不相容的概念混淆.（2）具有类似关系的事件在不同条件下是否独立也是有区别的.把例2中的三个小孩改为两个小孩，则A、B不相互独立.2023/12/1225例2在有三个小孩的家庭，记A为“男女都有”，B为“至多一个女孩”，A、B是否独立？

若把条件中的“三个小孩”改为“两个小孩”，则有：2023/12/12263.独立性的性质2023/12/1227一些特殊情形：2023/12/1228二、多个事件的独立性2023/12/1229例3从分别标有1,2,3,4四个数字的4张卡片中随机抽取一张,以事件A表示“取到1或2号卡片”;事件B表示“取到1或3号卡片”;事件C表示“取到1或4号卡片”.则事件A,B,C两两独立但不相互独立.2023/12/1230例4甲、乙二人同时独立向同一目标射击一次，甲击中率为0.9，乙击中率为0.8，求目标被击中的概率.

解：设A—甲击中，B—乙击中，C——目标被击中.2023/12/1231例5某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的.若你每周买一张彩票，坚持十年（520周），你从未中奖的可能性是多少？2023/12/1232第五节伯努利试验和二项概率2023/12/1233一、伯努利试验定义：设有随机试验E1和E2，若E1的任一结果（事件）与E2的任一结果（事件）都独立，则称这两个试验相互独立.如分别掷两枚硬币的试验.类似地可以定义n个相互独立的试验.特别地，如果n个相互独立的试验是相同的，则称之为n重独立重复试验；如果每次试验的结果都是两个，则称之为n重伯努利试验.如：掷n个骰子、检查n个产品的试验是n重独立重复试验，而掷n个硬币的试验则是n重伯努利试验.2023/12/1234二、二项概率问题：在n重伯努利试验中，若事件A在每次试验中出现的概率都是p，求在n次试验中恰出现k次A的概率.分析：若指定某k次出现A，则另外n-k次出现.由独立性知，该事件的概率为再由组合数知识知，在n次试验中恰出现k次A的概率为该公式与二项式定理的一般形式相同，故称之为二项概率.2023/12/1235补充说明应用二项概率时应注意：1、涉及的试验是n重伯努利试验；2、所求的事件是只知次数，不知位置；3、二项概率在实际中的应用非常广泛；4、当n较大时，二项概率的计算比较困难.2023/12/1236例1从次品率p=0.2的一批产品中，有放回地抽取5次，每次取1件.分别求5件中恰有3件次品和至多3件次品的概率.解：记k——抽取的5件中的次品数2023/12/1237例2设有1000个人购买了某项人身意外保险，每年支付投保金额300元.若在一年内发生意外，可获得的平均赔付金额为10000元.[根据资料统计，该类投保人